二次函数中的数学思想课件

1、 二次函数中的数学思想 Mathematical thinking in the quadratic function 宜宾翠屏棠湖外语学校 黄 江 燕 - 新世纪教育网版权所有数学是一种精神，一种理性的精神。 正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活。 -克莱因- 新世纪教育网版权所有 数学的学习，更重要的是数学思想的学习,只有突破数学思想，才能进行创造性的学习.- 新世纪教育网版权所有一：再学函数 -类比的数学思想一次函数反比例函数二次函数定义图像性质应用- 新世纪教育网版权所有二：探究二次函数图像与性

2、质 -从特殊到一般的数学思想- 新世纪教育网版权所有求函数解析式交点式顶点式一般式 已知某二次函数的图像过（-1，10）、（1，4）、（2，7）三点，求这个函数的解析式。已知某二次函数图像顶点（-2，1）且经过（1,0)，求二次函数解析式 。已知某二次函数图像与X轴交于(2,0) (-1,0)且过点(0,-2)求二次函数解析式 。=+=+=+-724410cbacbacba解：设所求函数解析式为cbxaxy+=2解:抛物线的顶点为(2,-1)设解析式为:y=a(x-2)2-1把点(-1,2)代入 a(-1-2)2-1=2解:抛物线与X轴交于 点(2,0)(-1,0)设解析式为: y=a(x-2

3、)(x+1)把点(0,-2)代入a(0-2)(0+1)=-2- 新世纪教育网版权所有 方程思想是通过列方程（组）求解函数问题的解题策略，体现了已知和未知的对立统一关系， 除用待定系数法求二次函数解析式外，在二次函数的一些综合题目中也时有应用。且难度可深可浅，使函数的学习变得更加多样化。三：二次函数中的方程思想- 新世纪教育网版权所有问题： 是否还有其他的数学思想也渗透在二次函数的学习中呢？- 新世纪教育网版权所有 如图是抛物线y=ax2+bx+c(a0) 的图像,请尽可能多的说出一些结论。yxO-11-34- 新世纪教育网版权所有 问题1. 方程-(x+1)2+4=0有几个实数解? 问题2.

4、方程-(x+1)2+4=1有几个实数解?- 新世纪教育网版权所有 问题1. 方程-(x+1)2+4=0有几个实数解?方程-(x+1)2+4=1有几个实数解?yxO-1 14-3y=-(x+1)2+4011x1x2结合图像思考:函数思想- 新世纪教育网版权所有 问题2. 结合图像思考： 当m为何值时, 方程-(x+1)2+4=m 有两个不相等的实数根; 有两个相等的实数根; 没有实数根?yO-1 14-3y=-(x+1)2+4y=mm1函数思想- 新世纪教育网版权所有yxO-1 14-3问题(3) 若直线y1=kx+m与抛物线y2=ax2+bx+c交于A(1,0),B(-1,4)两点. 观察图像

5、填空：(1)方程ax2+bx+c=kx+m 的解为 . (2)不等式ax2+bx+ckx+m 的解为 . (3)不等式ax2+bx+ckx+m 的解为 . ABx1=-1,x2=1-1x1函数思想x-1或x1- 新世纪教育网版权所有点评 感觉到数学的美，感觉到数与形的协调，感觉到几何的优雅，它是所有的数学家都清楚的真实的美的感觉。 -庞加莱用数表达，用形释义，数形结合，相得益彰。- 新世纪教育网版权所有五：转化的数学思想思路：将二元方程解的问题转化为二次函数的问题来求解。例：已知实数x、y满足 ，则 的最大值为 。- 新世纪教育网版权所有点评 转化思想就是换一个角度去看，换一种方式去想，换一种

6、观点去处理，把“新知识”等价转化为“旧知识”以使问题朝着有利于解决的方向发展。- 新世纪教育网版权所有例：若函数的图象与x轴总有交点，求a的取值范围。 解析：由于题设中并未说明函数的次数也未说明图象与x轴交点的个数，因此，所给函数既可以是二次函数，又可以是一次函数。- 新世纪教育网版权所有六：分类讨论的数学思想 当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况来分别求解，这种方法称为分类讨论思想。两个原则：（1）每次分类按同一个标准进行。（2）不重复、不遗漏。- 新世纪教育网版权所有例：若函数的图象与x轴总有交点，求a的取值范围。 情况一：当 时，函数为一次函数，解得a

7、=-2或a=-1；显然a=-1不符合题意，应舍去。而当a=-2时，与x轴有一个交点。 情况二：当 时，解得 且 ，由函数图象与x轴总有交点，得 ，所以，综上所述，a的取值范围是a-1- 新世纪教育网版权所有点评 分类讨论思想的作用是培养思维的周密性、克服思维的片面性，防止漏解、错解。这实际上是一种“分而治之，各个击破”的策略。 在二次函数的中考压轴题中，分类讨论的思想更是体现的淋漓尽致。- 新世纪教育网版权所有 类比的数学思想 从特殊到一般的数学思想 函数中的方程思想 数形结合的数学思想 转化的数学思想 分类讨论的数学思想 思想回顾 函数思想- 新世纪教育网版权所有二次函数中的其他数学思想：图

8、形变换思想函数建模思想 - 新世纪教育网版权所有数形结合思想、方程思想、转化思想、分类讨论思想：例：如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标分别为-1,3，与y轴负半轴交于点C，则下列说法正确的是 。 （1）2a+b=0；（2）a+b+c0；（3）只有当a= 时，ABD是等腰直角三角形；（4）使ABC为等腰三角形的a的值可以有3个。ABCD- 新世纪教育网版权所有数形结合思想、方程思想、转化思想、分类讨论思想：例：如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标分别为-1,3，与y轴负半轴交于点C，则下列说法正确的是 。 （1）2a+b=0；（2）a+b+c0；（3

9、）只有当a= 时，ABD是等腰直角三角形；（4）使ABC为等腰三角形的a的值可以有3个。ABCDEADB E- 新世纪教育网版权所有数形结合思想、方程思想、转化思想、分类讨论思想：例：如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标分别为-1,3，与y轴负半轴交于点C，则下列说法正确的是 。 （1）2a+b=0；（2）a+b+c0；（3）只有当a= 时，ABD是等腰直角三角形；（4）使ABC为等腰三角形的a的值可以有3个。ABCDABCO- 新世纪教育网版权所有在数学的天地里 重要的不是我们知道什么 而是我们怎么去知道什么- 新世纪教育网版权所有 如图为二次函数的图象，给出下列说法： ；方程 的根为 ； ；当 x1 时，y随x值的增大而增大；当 时， 其中，正确的说法有 （请写出所有正确说法的序号）思维训练1：- 新世纪教育网版权所有思维训练2： 如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于B、C两点,与y轴交于A点. (1)根据图象确定a、b、c的符号,并说明理由;(2)如果点A的坐标为(0,-3),ABC=45,ACB=60,求这个二次函数的解析式.- 新世纪教育网版权所有思维训练3：例：如图,二次函数y=x2 +（2k-1)x+k+1的图象与x轴交于O、A两点. (1)求这个二次函数的解析式