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1、第三章 圆3.4 圆周角和圆心角的关系第1课时 圆周角和圆心角、 弧的关系1课堂讲解圆周角的定义圆周角和圆心角的关系圆周角和弧的关系2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升回顾旧知什么是圆心角?它具有哪些性质?1知识点 圆周角的定义知1导 图中ACB 的顶点和边有哪些特点?AOBC顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角如:ACB圆周角的特征:角的顶点在圆上;角的两边都与圆相交,这两个特征是判定圆周角 不可缺少的条件知1讲如图,下列各角是圆周角的是()AAODBAOCCBADDBOD知1讲(来自点拨)可根据圆周角的定义进行判断,显然AOD,AOC,BOD均是圆心角,只有BAD符合圆周角的两个特征

2、导引: 例1C总 结知1讲(来自点拨) 判断一个角是否为圆周角,关键是看这个角是否具备圆周角的两个特征:(1)角的顶点在圆上;(2)角的两边都与圆相交,二者缺一不可(中考柳州)下列四个图中,x为圆周角的是()知1练(来自典中点)1C2知识点圆周角和圆心角的关系知2导如图, AOB = 80.(1)请你画出几个 所对的圆周角,这几 个圆周角有什么关系?与同伴进行交流.(2 )这些圆周角与圆心角 AOB的大小有什 么关系?你是 怎样发现的?与同伴进行交流. 在图中,改变 AOB的度数,你得到的结论还成立吗?做一做归 纳知2导(来自教材)圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.知2

3、讲1. 圆周角定理的证明: 已知:如图, C是 所对的圆 周角, AOB是 所对的圆心角. 求证: C= AOB 分析:根据圆周角和圆心的位置关系,分三 种情况讨论:知2讲(1)圆心O在 C的一条边上,如图 (1);(2)圆心O在 C的内部,如图 (2);(3)圆心O在 C的外部,如图 (3). 在三种位置关系中,我们选择(1)给出证明,其他情况可以 转化为(1)的情况进行证明.(1)圆心O在 C的一条边上,如图 (1). AOB是AOC的外角, AOB = A + C. OA = OC, A = C. AOB = 2 C, 即 C = AOB. 请你完成图 (2)和图 (3)两种情况的证明.

4、证明:知2讲如图,A,B,C,D是同一圆上的点,168,A40,则D_例2由圆周角定理的推论1可知CA40,由三角形的外角性质得D1C684028.导引:28总 结知2讲(来自点拨) 本题应用转化思想,利用“同弧所对的圆周角相等”将已知角转化为与要求的角在同一个三角形中的角,然后利用三角形的外角性质求解知2讲如图,在O中,AOC150,求ABC,ADC的度数,并判断ABC和ADC,EBC和ADC之间的度数关系例3解题的关键是分清同弧所对的圆心角和圆周角,如 所对的圆心角是AOC,所对的圆周角是ABC, 所对的圆心角是大于平角的,所对的圆周角是ADC.导引:知2讲AOC150,ABC AOC75

5、.360AOC360150210,ADC 105.EBC180ABC18075105,EBCADC,即EBC与ADC相等又ABCADC75105180,ABC和ADC互补解:如图,在O中,O = 50,求A的度数.知2练(来自教材)1解:BAC与BOC 所对的弧都是 , BAC BOC 50 25.(中考张家界)将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上,使顶点C在半圆上,点A,B的读数分别为100,150,则ACB_知2练(来自典中点)225知2练(来自典中点)【中考衡阳】如图,点A,B,C都在O上,且点C在弦AB所对的优弧上,如果AOB64,那么ACB的度数是()A26 B30 C32 D

6、643C知2练(来自典中点)【中考广州】如图,在O中,AB是直径,CD是弦,ABCD,垂足为E,连接CO,AD,BAD20,则下列说法中正确的是()AAD2OB BCEEOCOCE40 DBOC2BAD4D知2练(来自典中点)【中考黔南州】如图,AB是O的直径,弦CDAB于点E,CDB30,O的半径为5 cm,则圆心O到弦CD的距离为()A. cm B3 cm C3 cm D6 cm5A知2练(来自典中点)【中考云南】如图,B,C是A上的两点,AB的垂直平分线与A交于E,F两点,与线段AC交于点D. 若BFC20,则DBC()A30 B29 C28 D206A知2练(来自典中点)【中考泰安】如

7、图,A,B,C是O上的三点,且四边形ABCO是平行四边形,OFOC交O于点F,则BAF等于()A12.5 B15 C20 D22.57B知3导3知识点圆周角和弧的关系想一想 在如图的射门游戏中,当球员在B , D,E处射门时,所 形成的三个张角 ABC, ADC, AEC的大小有什么关系?你能用圆周角定理证明你的结论吗?归 纳知3导(来自教材)推论 同弧或等弧所对的圆周角相等.广州如图,在O中,ACBBDC60, AC2 cm. (1)求BAC的度数; (2)求O的周长(来自点拨)知3讲例4(1)观察图形发现BAC与BDC为同弧所对的圆周角,故BACBDC60;(2)要求圆的周长,需先求出半径

8、,可利用垂径定理,即连接OA,作OEAC于点E,构造直角三角形求出半径导引:(来自点拨)知3讲 解:(1)在O中,BDC与BAC均为 所对的圆周角, BACBDC60.(2)ACB60,又由(1)知BAC60, ABC为等边三角形连接OA,作OEAC于点E, 如图所示 OEAC,AC2 cm,AE cm. 在RtAOE中,AOEABC60, OAE30.OE OA. 又OE2AE2OA2,OA2 cm. O的周长为224(cm)总 结知3讲(来自点拨) 同一条弧所对的圆周角有无数个,它们都相等,这里特别要注意不要误认为 “同弦所对的圆周角” 相等 , 因为一条弦(非直径)所对的圆周角的大小有两

9、种如图,哪个角与BAC相等?你还能找到哪些相等的角?知3练(来自教材)1解:BDCBAC,如图, 相等的角还有ADBACB, ACDABD, CADCBD, 12,34.知3练(来自)【中考河池】如图,O的直径AB垂直于弦CD,CAB36,则BCD的大小是()A18 B36 C54 D722B知3练(来自典中点)【中考兰州】如图,在O中,ABBC,点D在O上,CDB25,则AOB()A45 B50 C55 D603B知3练(来自典中点)【中考黄冈】如图,在O中,OABC,AOB70,则ADC的度数为()A30 B35 C45 D704B(1)一个概念(圆周角);(2)一个定理:一条弧所对的圆周角等于该弧所对的 圆心角的一半;(3)一个推论:同圆内,同弧或等弧所对的圆周角相 等. 相等的圆周角所对的弧相等;1知识小结【中考安顺】如图,O的直径AB垂直于弦CD,垂足是E,A22

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