姿多彩的分形几何学及其应用文件课件

1、一门新兴的学科多姿多彩的分形几何学及其应用（研究生文化前沿系列讲座之一）江苏师范大学 戴朝寿2019年7月16日12019年7月 高等教育（大学）的历史使命（四大职能）： 人才培养，科学研究，社会服务， 文化传承与创新 美国杰出的物理学家（ 两弹元勋 、现代广义相对论之父）、物理学思想家、物理学教育家惠勒（ Wheeler ）断言： “ 可以相信，明天谁不熟悉分形，谁就不能被认为是科学上的文化人。” 22019年7月问 题 的 提 出 你知道人脑表面的皱纹、菜花纹路可以用数学来刻画吗？ 你知道海岸线以及各大江河主支流的状况可以用数学来刻画吗？ 你知道演绎了旷世恋情的泰坦尼克号电影中那条豪华游轮

2、在危难时的“ 海浪背景 ” 是如何生成的吗？ 你知道维数可以是分数吗？32019年7月 认 识 分 形 如果你从未听说过 “ 分形 ” ，一时又很难搞清楚分形是什么，有一个简单迅捷的方法：去市场买一颗新鲜的菜花（花椰菜），掰下一枝，切开，仔细观察，思考其组织结构。这就是分形！ 分形可以是自然存在的，也可以是人造的：花椰菜、树木山川、云朵、脑电图、材料断口等都是典型的分形；再想想闪电、冲积扇、泥裂、冻豆腐、水系、晶簇、蜂窝石、小麦须根系、树冠、支气管、星系、各种生物体的表面、小肠绒毛、大脑皮层等等的形状、结构！42019年7月分形 ( fractal ) 分形几何理论诞生于 20 世纪 70 年

3、代，创始人是美国科学院院士、著名数学家曼德尔布罗特（ B. B. Mandelbrot )，他 1982 年出版的自然界中的分形几何学 ( The Fractal Geometry of Nature ) 是这一学科经典之作。 分形 ( fractal ) 是近 20 多年来科学前沿领域提出的一个非常重要的概念。 混沌 ( chaos )、孤立子( solitons )和分形 ( fractals )是非线性科学 ( nonlinear science ) 中三个最重要的概念。52019年7月 一、从研究“英国的海岸线有多长”所引发的问题 1967 年曼德尔布罗特在 科学 上发表了题为英国的海

4、岸线有多长 ? 统计自相似性与分数维数的著名论文。 此文的原由在于曼德尔布罗特发现许多国家公布的公共边界线存在极大的误差，往往是大国公布的公共边界线短，而小国公布的公共边界线长。 原因在于边界线是一条复杂的曲线，所用的测量尺度越小，测量的长度就越长。62019年7月 二、分形几何学发展的历史回顾 分形理论是非线性科学研究中十分活跃的一个分支, 它的研究对象是自然界和非线性系统中出现的不光滑和不规则的几何形体。分形理论的数学基础是分形几何学。 分形理论的发展大致可分为三个阶段。下面简要回顾一下分形理论在这三个历史阶段的发展过程。72019年7月 第一阶段：对几类分形集的认识 自 1875 年至

5、1925 年 , 人们已认识到几类典型的分形集 , 并且力图对这类集合与经典几何的差别进行描述、分类和刻划。 自然界中的所有形状和人类迄今所考虑的一切图形，大致可分为如下两种：一种是具有特征长度的图形；另一种是不具有特征长度的图形。属于具有一定特征长度的一类物体的基本形状，具有其线、面为光滑的共同性质。 1827 年发现的布朗（ R. Brown ）运动是一种极为典型的随机分形集，其轨迹连续但处处不可微。82019年7月维尔斯特拉斯函数 1872年，德国分析学大师魏尔斯特拉斯(K. Weierstrass)构造出函数 证明了它连续而处处不可微。这一反例在当时引起了极大的震动。遗憾的是，尽管人们

6、在观念上产生了改变，但仍视这种类型的函数为“病态”之例而打入另册。92019年7月实例一 康托三分集（1872年） 记 是单位长直线段 0，1 ； 设 是去掉 中间的 1/3 部分所得到的集，即 ； 然后从构成 的 2 个子区间中分别去掉中间的 1/3 部分，所得的 4 个子区间构成 ，即 ； 如此继续下去， 是从构成 的每个区间中分别去掉中间的 1/3 部分而得到的长度为 的 个子区间之并集； 当 充分大时， 与 之间只在精细的细节上不同； 康托三分集是指由所有 的公共点构成的集，即 ， C 实际上是集序列 当 n 趋于无穷时的极限。102019年7月图 1 康托三分集前四步的构造11201

7、9年7月 实例二 科赫曲线（1904年） 设 K0 是单位长直线段； K1 是由过原三等分这线段，去掉中间一份而代之以底边为被去掉的线段的等边三角形向上指的另外两条边所得到图形，它包 含边长为 1/3 的四条线段； 对 K1 的每条线段都重复上述过程来构造 K2 ，它包含边长为 的16条线段； 如此继续下去，于是得到一个曲线序列Kn，其中Kn是将Kn-1的每条线段上中间1/3部分用底边为这1/3部分的等边三角形向上指的另外两边取代而得到的； 当 n 充分大时，曲线 Kn 和 Kn-1 只在精细的细节上不同；而当 n 时，曲线序列 Kn 的极限 就称为科赫曲线。122019年7月图 2 科赫曲线

8、前五步的构造K0K1K2K3K4K5132019年7月实例三 科赫雪片 若将 K0 换成单位长度的等边三角形，对每边按照上述方法构造科赫曲线，便得到讨人喜欢的科赫雪片，如图 3 所示。图 3 科赫雪片 前三步的构造142019年7月 第二阶段： 对长度、面积等度量单位概念的重新探索 在 1926 年到 1975 年这半个世纪里，人们对分形集的性质进行了深入的研究，特别是维数理论的研究已获得了丰富的成果。 贝西康维奇 ( Besicovitch ) 及其他学者的研究工作贯穿了第二阶段。他们研究了曲线的维数、分形集的局部性质、分形集的结构、S-集的分析与几何性质，以及在数论、调和分析、几何测度论中

9、的应用。 问题的关键一个几何对象的量度依赖于测量方式以及在测量时所选取的尺度。 152019年7月经济学上的一个实际背景 1960 年 ， 曼德尔布罗特在对棉花价格数据随 60 年时间变化的曲线进行分析时，通过在数学上对这批数据进行计算机处理，发现了惊人的结果：价格的每一次特定的变化是随机的，但长期的变化又是与时间尺度无关的，反映在价格的日变化曲线与月变化曲线在变化规律上完全类似；甚至在经历两次世界大战和一次经济大萧条的60年动荡岁月中，价格的这种变化规律保持不变。大量无序的数据里竟然存在着一种出乎意料的有序！162019年7月第三阶段：分形几何学的创立 自 1975 年至今是分形几何学创立并

10、形成独立学科，分形几何在各个领域的应用取得全面进展的阶段。 1967 年，曼德尔布罗特在国际权威杂志美国科学上发表了题为 “英国的海岸线有多长？”的研究论文，震动了整个学术界，分形的概念开始萌芽生长。 1973 年，在法兰西学院讲学期间，他提出了创立分形几何学的思想，认为分形几何学可以处理自然界中那些极不规则的构型，指出分形几何学将成为研究许多物理现象、自然现象的有力工具。172019年7月分形 “ fractal” 一词的由来 1975 年冬天的一个下午，曼德尔布罗特翻看儿子的拉丁文词典，突然受到启发：(破坏)（不规则的）（断裂）（分数）（既是名词，又是形容词； 既是英文，又是法文）1820

11、19年7月“ 分形 ” 一词的命名 70年代末 “fractal” 传到中国，一时难以定译。 中科院物理所李荫远院士认为：“fractal 应当译成 分形。” 郝柏林、张恭庆、朱照宣等院士表示赞同，于是在中国大陆，“fractal ”被定译 “分形” 。 台湾将其译为“碎形” ，显然不如 “分形” 好。 分形的特点是，整体与部分之间存在某种自相似性，整体具有多种层次结构。“ 分形 ” 之译，的确抓住了 fractal 的本质科学本质、哲学本质和艺术本质。192019年7月曼德尔布罗特的历史贡献 1975 年曼德尔布罗特用法文出版了奠基性专著分形对象:形状、机遇与维数(Les objets fr

12、actals: forme, hasard et dimension)，1977 年出版了此书的英译本 Fractals: Form, Chance and Dimension ，第一次系统地阐述了分形集合的思想、内容意义和方法。 1982 年又出版了此书的增补本，改名为自然界中的分形几何学。 这两部著作的发表，标志着分形几何学迈进了现代新兴学科之林，激发起了国际科学界的极大兴趣。 曼德尔布罗特经过长期艰苦努力所获得的巨大成就，致使他赢得了崇高的荣誉。202019年7月三、分形概念的建立 康托集 C 是自相似的，迭代过程中每步所保留的两个部分与整体的相似比例均为 1/3 ； C 具有精细结构，

13、即在任意小的比例尺度内都包含整体特征； C 是无穷次迭代的结果，连续的迭代过程可得到C之越来越好的近似 Cn ； C 难以用经典的数学语言来描述，它既不是满足某些简单几何条件的点的轨迹，也不是任何简单方程的解集； C 是无限不可数集，但其长度为康托三分集 C 的特性1. 对产生分形实际背景的分析212019年7月科赫曲线 K 的特性 科赫曲线 K 是自相似的，迭代过程中每次所得到的四个部分与整体的相似比例均为1/3 ； K 具有精细结构，即在任意小的比例尺度内都包含整体特征； K 是无穷次迭代的结果，连续迭代过程可得到K之越来越好的近似 Kn； K 难以用经典的数学语言来描述，它既不是满足某些

14、简单几何条件的点的轨迹，也不是任何简单方程的解集； K 的长度为 , 而面积为 0 。222019年7月科赫雪片 E 的面积232019年7月 波兰著名数学家谢尔平斯基（W.Sierpin-ski）在 1915 - 1916 年期间构造了几个典型的分形例子， 这些有趣的图形常分别称为谢尔平斯基垫片、 谢尔平斯基毯片与谢尔平斯基海绵。谢尔平斯基垫片、毯片与海绵242019年7月图 4 谢尔平斯基垫片 E 前五步的构造252019年7月的放大图 5 谢尔平斯基毯片 F 前四步的构造262019年7月 图 6 谢尔平斯基海绵 S 第一步的构造272019年7月图 7 谢尔平斯基海绵 S 282019

15、年7月2.分形的直观描述 曼德尔布罗特经过几十年的探索，在对大量不具有特征长度几何图形进行分析、综合的基础上，提炼出 “在尺度变换下保持不变性” （即“无标度性”）这一要素，于 1986 年给出分形概念以如下的直观描述： 分形是其组成部分以某种方式与整体相似的形（A fractal is a shape made of parts similar to the whole in some way）。亦即：如果一个图形其组成部分以某种方式与整体相似，则称该图形为分形。292019年7月自相似性在数学计算上的应用举例例 1 由解得即类似地，由解得即302019年7月例 2 记熟知这是一个收敛的几何

16、级数。注意到解得即分析：x 包含它自身的一个分数部分，即312019年7月四、分形维数 维数是几何对象的一个重要特征。欧几里得：“ 曲面有两个量度，曲线有一个量度，点连一个量度也没有。” 这里的量度即为后来人们所说的欧几里得维数。 随着数学本身的发展，人们将维数定义为确定几何对象中一个点的位置需要的独立坐标的个数。 点是 0 维的，直线是 1 维的，正方形是 2 维的，立方体是 3 维的。1. 经典的拓扑维数 322019年7月 对于更抽象或更复杂的几何形体，只要它的每个局部可以和欧几里得空间相对应，并且图形在连续形变下保持维数不变，这样的维数叫做拓扑维数。如此： 由于空间中一条规则的曲线经连

17、续形变可变为直线，故其拓扑维数是 1 ； 由于空间中一个规则的曲面经连续形变可变为正方形，故它的拓扑维数是 2 ； 由于空间中一个规则的立体经连续形变可变为正方体，所以其维数是 3 。 集合的拓扑维数始终是一个整数。332019年7月 当我们测量几何图形的长度、面积和体积时，分别用单位长线段、单位面积正方形和单位体积正方体来度量。若用单位长线段来测量面积，而用单位面积正方形来测量体积，其结果皆为无穷，说明所用的尺度太“细”；反之，若用单位面积正方形来测量长度，用单位体积正方体来测量面积，则所得的结果皆为 0，说明所用的尺度太“粗”。因此，选取的尺度必须与所测对象相匹配。2.由维数与测量尺度的密

18、切关系而得的启示342019年7月 对于分形这类复杂奇异的的几何对象，上述拓扑维数已无法作为刻画他们的特征量了。事实上： 对于康托三分集 C ，由于所以在测量康托三分集 C时，0 维尺度太细，而 1 维尺度太粗。352019年7月 对于科赫曲线 K ，由于 所以在测量科赫曲线 K 时，1 维尺度太细，而 2 维尺度太粗； 对于谢尔平斯基垫片 E 和谢尔平斯基毯片 F ，情况也是如此。362019年7月 对于谢尔平斯基海绵 S ，可以算得 所以在测量谢尔平斯基海绵 S 时，2 维尺度太细，而 3 维尺度太粗。 显然，当 “ 长度 ”、“ 面积 ”、“ 体积 ” 为 0 或 + 时，使用价值不大，

19、只有几何对象的 “ 长度 ”、“ 面积 ”、“ 体积 ” 为有限数时，才能比较集合的大小。372019年7月 将 ， ， ， 中的 0，1，2，3 用分数甚至无理数 来代替，使得 从而用 来表示 F 的度量！ （牢记：启迪乃教学之本，创新为科研之魂） 按照曼德尔布罗特的思想，可以视前述的 C，K，S 分别是一个介于 0 维与 1 维 ，1 维与 2 维，2 维与 3 维之间的几何对象。德尔布罗曼特的创新思维382019年7月3.自相似维数与豪斯道夫维数 由于分形集的复杂奇异性，对于不同的测量对象需用不同的测量方法。关于分形维数，已有多种定义和计算方法，包括较易理解的自相似维数、容量维数、信息维

20、数、盒子维数等和深奥的豪斯道夫维数等，用不同方法计算出的分形维数值稍有不同。这里只介绍自相似维数概念的建立和计算的方法。 假设一个图形的一边具有长度 L，对应的第二个自相似图形的边具有长度 ,则定义自 相 似 维 数为第二个图形对第一个图形的相似比（或比例因子）。392019年7月 为定义自相似维数，先来考察整数维情形下维数、两个自相似对象的测度与相似比之间的关系，如图 8 图 10 所示（图示中的 p = 1/3）。图 8 1 维情形下维数与相似比关系示意图 在二维面积情形，若记 A ,a 分别为原图形与对应的 第二个自相似图形的面积，则 有31 在一维长度情形，有图 9 2 维情形下维数与

21、相似比关系示意图3311402019年7月 在三维体积情形，若记 V,v 分别为原图形与对应的第二个自相似图形的体积，则有333111图 10 3 维情形下维数与相似比关系示意图412019年7月 一般地，对于一个 维的自相似几何对象 F，若每个独立方向都缩小到原来的 1/r ，则相似比（或比例因子）为 1/r 的两个自相似对象的测度 M 与 m 之间应满足 于是得 进而若记 它表示相示比为 1/r 时每次迭代所得到的相似形的个数，则 称之为分形 F 的自相似维数。422019年7月豪 斯 道 夫 维 数 分形的自相似维数 一般是分数，而分形的嵌入空间即欧几里得空间的维数 d 一般小于 其实，

22、德国数学家豪斯道夫（F.Hausdorff）1919年就提出了连续空间的概念，也就是空间维数不是跃变的，而是可以连续变化的，既可以是整数，也可以是分数，通过具体计算来确定。他对分形维数的严格数学定义被人们称之为豪斯道夫维数。数学家已经证明，在一定条件下，自相似维数与豪斯道夫维数相等，而这种条件通常是满足的，所以一般搞应用的科技工作者就称自相似维数为豪斯道夫维数。432019年7月4. 计算分形维数的典型例子 例1 由于康托三分集 C 每次迭代是由 2 个相似比为 1/3 的相似形构成的，故其自相似维数为 例2 由于科赫曲线 K 每次迭代是由 4 个相似比为 1/3 的相似形构成的，故其自相似维

23、数为 科赫曲线可作为一种海岸线模型的分形生成元。442019年7月 科学家在对海岸线的形成经过分析后，发现不同的分形生成元会产生形态各异的海岸线模型。图 1 是除科赫曲线分形生成元以外其他几种海岸线模型的分形生成元（第一步），其初始元皆为单位长度的直线段。图 2 是分形元 经四步迭代后形成的海岸线模型。作为练习，请自己分别计算出这五种分形元所生成的五条分形曲线的自相似维数。 452019年7月 462019年7月 例3 对于谢尔平斯基垫片 E ，由于每次迭代是由 3 个相似比为 1/2 的相似形构成的，故其自相似维数为 例4 对于谢尔平斯基毯片 F ，由于每次迭代是由 8 个相似比为 1/3

24、的相似形构成的，故其自相似维数为 图 3 是两种分形曲线的生成元，其中阴影部分是每次迭代后所保留下的部分。作为练习，请自己分别计算出这两种分形元所生成的两条分形曲线的自相似维数。472019年7月 例5 对于谢尔平斯基海绵 S ，由于每次迭代是由 20 个相似比为 1/3 的相似形构成的，故其自相似维数为482019年7月5. 分形的描述性定义 英国数学家法尔科内（K. J. Falconer）认为具有如下典型性质的集合 F 为分形: （1）F 具有精细结构，即在任意小的比例尺度内都包含整体特征； （2）F 是如此的不规则，以致于它的局部和整体都不能用传统的几何语言来描述； （3）F 通常具有

25、某种自相似的形式，可能是近似的或是统计意义上的； （4）一般地，F 以某种方式定义的 “ 分形维数 ” 大于它的拓扑维数； （5）在大多数令人感兴趣的情形下，F 以非常简单的方法定义，可能由递归迭代产生。492019年7月五、分形在当代社会中的应用1.在一些学科方面的应用举例 在生命科学的研究中，科学家发现，生物体的增大主要是由于细胞数目的增多在细胞一分为二的分裂过程中，所产生的子细胞在结构和功能上都与原来的母细胞是一致的，多细胞生物体的细胞数目与生物体的大小成比例。就人类而言，一个婴儿约有 个细胞，一个成人约有 个细胞。由此可见，细胞的分裂正是生物体分形的基础。502019年7月 生命是蛋白

26、质的存在形式，生命的新陈代谢和自我复制是以蛋白质的辅助为基础的。由于蛋白质在生命过程中其着异乎寻常的作用，所以自 19 世纪以来，人们对蛋白质的研究始终没有停止。蛋白质是由各种 -氨基酸通过酰胺键联成的长链分子，称为肽链。蛋白质由 4 级层次构成，其表面极不规则，布满各种空洞和缝隙。近几年来的研究表明，蛋白质的分子链和表面具有分形特征，这就为揭开生命之谜提供了新的思维方法。512019年7月 中医治病的疗效为世人所公认，但无论是生物学、生理学还是物理学，都未能对中医的治病原理作出满意的解释，而分形理论则从人体分形着手进行分析，得出令人耳目一新的结论。以针灸为例，一个穴位是人体某一部分的缩影，是

27、一个分形元。例如头、足、鼻和舌等都是分形元，是人体的缩影。美国医生斯克德（U. Schjelderup）也发现这种人体分形现象，他指出，人体的器官和功能会在某一部位的体表上反映出来，整个机体好像被缩小到这一部位上。可见当人体的某一器官或部位有病时，就必然要在相应的穴位上表现出来，在穴位上产生对痛刺激敏感、皮肤电阻降低等病理生理反映。因此，对特定的穴位施加刺激，如针灸或按摩等疗法，就会产生治疗效果。这就是中医治病的病理分形性。522019年7月 在实际工程问题中，如石油开采，一口井开采到一定程度后由于地下油压降低，最终导致无法继续产油。技术人员采取向地下灌水的方法以增大压力，继续出油。但是关于注

28、水量、水压与继续产油量之间的因果关系，传统的理论未能做出合理的解释，而利用分形理论进行研究则有可能大幅度地增产石油。532019年7月 在化学中高分子化学是重要的研究方向，工业生产部门已形成庞大的高分子产业，造福人类，美化生活。高分子化学生产中，对凝胶形成的机理、凝胶点的确定、凝胶生成的控制，成为高分子学家研究的重要课题。但化学和物理学均未能在理论上满意地解决问题，而分形理论则为化学家深化对高分子的认识提供了有力的工具。随着凝胶化问题的解决，必将进一步推进高分子工业的更大发展。542019年7月 物理学家们发现，产生美妙音乐的机理是 1/f 噪声（这里 f 为频率），它受到分形原理的支配。可以

29、预料，随着分形音乐研究的深入，更为美妙动听且更能激发共鸣的音乐作品将不断涌现。552019年7月2.一些分形维数的实际结果 以下用 表示分形维数，即前面所述的自相似维数或豪斯道夫维数。 曼德尔布罗斯经过研究计算出英国西海岸线的 澳大利亚海岸线的 南非海岸线的 西班牙与葡萄牙国界线的 日本名古屋大学分形研究会已测定出世界各大江河主流的 在1.11.3之间；若再将支流考虑进去，测得亚马逊河整条河流的 而沙漠中尼罗河整条河的 该结果定量地刻画出多雨地区的河其支流多，少雨地区的河其支流少的状况。 数学家已计算出，不论是在平面上还是在空间中，布朗运动运动轨迹的 都是 2 。562019年7月 在矿业应用

30、方面，中国工程院院士谢和平教授将分形理论应用于岩石损伤力学的研究，提出了岩石损伤的分形模型及演化机理。经研究发现，在某一平面上，岩石破碎过程的 为 而作为立体考虑，其 为 （注意，这里 与 正分别是谢尔平斯基垫片与谢尔平斯基海绵的 值）。 加拿大科学家在1986年测定出爱滋病病毒的 天文学家测定出宇宙中船帆星云的 科学家过研究，测定出人肺泡的 人脑表面皱纹的 为 人视网膜血管的 而鸡胚胎发育中血管的 国外科学家还测定出了蛋白质分子链的 。我国科学家计算出了化学中的一些高分子链的 以及若干种酶模型的 。572019年7月 将分形应用于经济学，曼德尔布罗特测定出美国60年的棉花价格随时间变化的 国

31、际上一些学者对证券价格随时间的变化和利率随时间的变化进行深入研究，得出了相应的分形维数的结果。 将分形应用于情报学与语言学，一些学者计算出了有关的具体分形维数。 这些实例足以说明分形有强大的生命力，它对于人们认识自然界和人类社会中某些现象的真实面貌是一个有力的数学工具。582019年7月3.两个有趣的应用实例 分形的理论及其应用受到多方面重视是理所当然的，因为分形现象在自然界和人类社会活动中广泛存在，从已经发表论文所涉及到的领域就可以清楚地看到其应用遍及哲学、数学、物理学、化学、生物学、冶金学、材料科学、计算机科学、地理学、地质学、水文学、气象学、天文学、地震科学、人口学、情报学、经济学、管理

32、科学，甚至在电影、音乐、美术、书法等领域也得到应用。 近二十年来，国外许多大公司组织了大批科学家致力于分形的应用研究，取得了一批富有价值的成果，突出的例子是根据分形原理合成了保温性能最佳的人造羽绒。592019年7月 分形在影视事业中也大有发展前途。20 世纪 80 年代初，弗尔（A.Fournior）将分形图形推向好莱坞影视业，致使分形在电影特技制作上大显身手，用于创作出效果奇佳的地球、宇宙中某特定地域、空 间的“实景”（如电影泰坦尼克号中那 条在拍摄时放在人工挖掘成大水塘中的豪 华游轮的 “ 海浪背景 ” ）或人世间从未 有过的绚丽多彩、奇妙无比的景象。602019年7月4.分形的计算机编

33、程实现 值得指出的是，由于分形通常是以非常简单的递归方式经无穷次迭代而生成的，因此各种分形可以借助微型电子计算机编制一定的程序来实现。分形的这种微机图形显示进一步帮助人们推开了分形艺术宫殿的大门，在这座具有无穷层次结构的大殿的每个角落，都存在着无限嵌套的迷宫和令人神往的奇景，分形正以其无穷的魅力吸引着越来越多的各个领域的学者们。612019年7月学 术 性 刊 物 1991年英国创办国际学术性刊物混沌、孤立子和分形(Chaos,Solitons and Fractals )。 目前，混沌、分形、小波、时空离散系统、斑图、自组织系统仍然是非线性科学研究的重点 ,而其中的分形与其他方面都有着密切的

34、联系。622019年7月分 形 艺 术 上世纪80年代初，弗尔聂( A. Fournier)将分形图形推向好莱坞影视业，主要影片有： 星际旅行之二：可罕之怒； 最后的星球斗士。 1988年，纽约时报记者格莱克所著混沌：开创新科学一书出版，很畅销。 1990年英国成立了一家利用混沌-分形理论生产并出售计算机艺术品的商店。632019年7月分形艺术图片642019年7月三维谢尔平斯基塔的自相似结构 652019年7月曼德尔布罗特集图 662019年7月曼德尔布罗特集图672019年7月曼德尔布罗特集逐步放大图 682019年7月曼德尔布罗特集逐步放大图 692019年7月曼德尔布罗特集逐步放大图

35、702019年7月六、结束语1. 分形几何学与欧几里得几何学的比较描 述 的 对 象特征长度表达方式维 数欧几里得几何学自然界和人类社会中简单规则的构型和现象有数学公式0，1，2或 3分形几何学自然界和人类社会中复杂奇异的构型和现象无迭代语言一般是分数（也可以是正整数）712019年7月2. 陈省身的观点 历史上几何学的发展可以分为以下七个时期：（1）公理化体系的奠基（欧几里德）；（2）坐标系的建立（笛卡儿，费马）；（3）微积分学的创立（牛顿，莱布尼兹）；（4）群论观点的引入（克莱因，李）；（5）流形理论的建立（黎曼）；（6）纤维丛理论的建立（嘉当，惠特尼）；（7）分形几何学的兴起、发展（曼德尔布罗特）。722019年7月3. 分形几何学发展的意义和作用 数千年来，无论是在思想领域的突破上，还是在科学方法论的建立上，几何学总是扮演着开路先锋的角色。当今被誉为开创了 20 世纪数学重要阶段的分形几何学，已发展成为科学的方法论分形理论，并被应用到各具特色的自然科学领域、一些工程技术和社会科学领域之中，取得了巨大成就。 分形几何学是 20 世纪 80 年代科学思想和方法的一个突破口，是数学宝库中的一朵绚丽的奇葩。正如欧几里得几何学对初