《大学物理》电磁学静电03W课件

1、4 静电场的环路定理 电势一.静电场力的功 电势能二.静电场的环路定理 电势三.电势的计算四.电势能及电场力的功的计算五.等势面 电势梯度5 带电粒子静电场中的运动（自学）作业： 3.1，3.3，3.6，3.9 ，3.11， 3.15，3.18 ，3.20，3.21 第1页，共70页。前两节，我们从电荷在电场中受到电场力这一事实出发，研究了静电场的性质，引入描述电场力学特性的物理量电场强度，电场通量高斯定理反映了通过闭合曲面的电通量与该面内电荷量的关系揭示了静电场是一个有源场的这一电场的基本特性电场的另一基本特征是： 在电场中移动电荷电场力要做功， 表明电场具有能量第2页，共70页。在这一节中

2、，我们将从电场力做功入手，导出反映静电场基本性质的另一定理 静电场环路定理，从而揭示静电场是一保守场，并引入描述这一特性的重要物理量电势第3页，共70页。一.静电场力的功 电势能类比：两个质点两个点电荷保守力保守力万静任意带电物体静电力叠加原理静电场力是保守力1. 静电场力是保守力(证明略)第4页，共70页。保守力的特征： 在保守力作用下，质点从A-B ，保守力所做的功与路径无关，而只与这两点的位置有关。或质点沿闭合路径运动一周，保守力所作的功等于零 AB回忆第5页，共70页。AB（定义了势能差）为了描述保守力做功与路径无关的特性引入一个只与位置有关的函数，A 点的函数值减去B 点的函数值，等

3、于从A B 保守力所做的功，该函数就是势能函数。势能属于相互作用为保守力的系统第6页，共70页。2. 电势能静电场力也是保守力，在静电场中,存在一个只与位置有关的函数在任意两个位置之间移动电荷电场力所作的功就等于这两个位置的函数的差值称之为电势能如图， a 和b 是静电场任意两点abL把一试探电荷q0 沿任意路径L 由a 移动到 b第7页，共70页。abL 设以 和 分别表示试探电荷q0 在a 点和 b 点处的电势能 由势能的定义可知：电势能差的定义：第8页，共70页。讨论大小： 上式只定义了电势能差，意味着电势能与重力势能相似是一个相对量。为了说明电荷在电场中某一点电势能的大小，必须选择一个

4、参考点作为“零电势能点”如选b 点为零电势能点也即则试探电荷q0 在电场 a 点的电势能为第9页，共70页。正负； 电场力作功有正有负，所以电势能也有正有负 电场力作正功， 系统电势能减少电场力作负功， 系统电势能增加静电场力所做的功 等于电势能的减少第10页，共70页。二.静电场的环路定理 电势1. 静电场的环路定理1)表述 静电场中场强沿任意闭合环路的线积分恒等于零2)证明静电场力是保守力取试探电荷q0 所受静电场力为第11页，共70页。讨论 静电场的基本方程 保守场 或称：无旋场 静电场的电力线不会形成闭合曲线反证法：假设电力线可以形成闭合曲线电场强度沿该闭合曲线线积分矛盾！假设不成立第

5、12页，共70页。讨论 微分形式第13页，共70页。由上式不难发现，试探电荷q0 在电场 a 点的电势能与q0 的大小成正比，则比值 与q0无关，选择了零电势能点则试探电荷q0 在电场 a 点的静电势能为只决定电场的性质（ ）以及场中给定a 点的位置所以这一比值是表征静电场中给定点电场性质的物理量，称之为电势第14页，共70页。2.电势定义：a如图，用 表示电场中某点a 的电势，则物理意义： 电场中某点的电势在量值上等于放在该点处的单位正电荷的电势能； 也等于单位正电荷从该点处经过任意路径 移动到无限远处时电场力所作的功第15页，共70页。 电势零点的选择(参考点)任意 视分析问题方便而定参考

6、点不同电势不同讨论通常理论计算有限带电体电势时选无限远为参考点实际应用中或研究电路问题时取大地、仪器外壳等 电势的单位： V (伏特) SI制第16页，共70页。三.电势的计算两种情况： 已知场强分布计算电势 已知电荷分布计算电势点电荷电势公式 + 电势迭加原理积分路径的选取“任意”第17页，共70页。1. 点电荷场电势公式 是点电荷 产生的静电场中的一点是由源电荷指向场点 的矢径选择无穷远处为零电势点，则 点电势等于 由 点沿任意路径到无穷远的线积分因为积分路径是任意的取沿矢径方向第18页，共70页。球对称标量 正负第19页，共70页。2. 电势迭加原理由电场强迭加原理电场中任一点的场强如图

7、，由 n个点电荷q1、q2 、.qn 组成点电荷系 是点电荷系 产生的静电场中的一点是由源电荷 指向场点 的矢径是 单独存在时产生的场强点电荷系电场的电势第20页，共70页。则 点电势第21页，共70页。点电荷系电场中任一点的电势等于各点电荷单独存在时在该点产生的电势的代数和电势叠加原理矢量和第22页，共70页。P如图，带电体的电荷是连续分布的把带电体看作是由许多个小带电体 （电荷元）组成，用 dq 表示利用电势叠加原理将dq 视为点电荷连续带电体的电势第23页，共70页。解一：半径为 R 均匀带电圆环,带电量为q，求圆环轴线上任一点的电势。建立如图示坐标系例1前面已求出轴线上的电场分布为选择

8、无穷远处为零电势点，则 点电势因为积分路径是任意的，取沿 x 轴方向第24页，共70页。第25页，共70页。解二：在圆环轴线任取一点 P，到 o 点的距离为 x在圆环上任取一线元 dl建立如图示坐标系线元 dl 对应于一电荷元 dqP点相对于线元 dl位置矢径为电荷元 dq 视为点电荷第26页，共70页。利用电势叠加原理第27页，共70页。例2 计算均匀带电球面的电势 如图由高斯定理求得均匀带电球面电场的分布为若场点在球内 即解：选择无穷远处为零电势点，则 点电势取积分路径沿矢径方向第28页，共70页。第29页，共70页。场点在球面外 即第30页，共70页。电势分布与电量集中在球心的点电荷的电

9、势分布相同图示等势体第31页，共70页。第32页，共70页。求半径为R ，总电量为q 的均匀带电圆盘轴线上一点的电势。思考题？由电势叠加原理第33页，共70页。例3 均匀带电的无限长的直线电荷线密度计算带电直线周围任一点的电势.解：考虑空间任一点P,到直线的距离为 r 由高斯定律可知场强分布为建立如图示坐标系则 点电势选择无穷远处为零电势点第34页，共70页。取积分路径沿 x 轴方向第35页，共70页。发散问题？理论计算有限带电体电势时选无限远为电势零点，这里的电荷分布延伸至无限远，故不能取无限远处为零势点第36页，共70页。因为电势零点选取是任意的，选 Q 点为电势零点，距直线的距离为r0。

10、第37页，共70页。第38页，共70页。思考题？能否用积分法求电势不能！为什么？第39页，共70页。例4设两球面同心放置，半径分别为R1和R2 ，所带电量为 q1 和q2 ，求其电势分布。解：根据电势叠加原理空间任点的电势等于两个带电球面单独存在时，产生的电势的代数和选择无穷远处为零电势点球面1 产生的电势分布第40页，共70页。球面1 产生的电势分布球面2 产生的电势分布第41页，共70页。球面1 产生的电势分布球面2 产生的电势分布第42页，共70页。球面1 产生的电势分布球面2 产生的电势分布第43页，共70页。第44页，共70页。电势计算小结 已知场强分布计算电势 已知电荷分布计算电势

11、点电荷电势公式 + 电势迭加原理第45页，共70页。四 电势能及电场力的功的计算电势能处于电场中的点电荷的电势能有限大小的带电体的电势能已知电势分布电场力的功将点电荷由a 点移动到 b 点电场力做的功等于电势能的减少第46页，共70页。电场力的功电势差与式比较方便由式第47页，共70页。a 、 b 两点间的电势差匀强电场ab第48页，共70页。五.等势面 电势梯度由电势相等的点组成的面叫等势面 常量 C 取不同的值，对应不同的等势面当常量 C 取等间隔数值时可以得到一系列平行等间距的的等势面等势面满足方程第49页，共70页。等势面当常量 C 所取间隔数值很小时，在 U1 等势面上任取一点 a，

12、到U2 等势面的距离为l第50页，共70页。等势面的疏密反映了场的强弱大的地方， 小小的地方， 大第51页，共70页。 电力线处处垂直等势面在等势面上任取两点 a、b，则等势= 0 a、b 任取 处处有 电力线与等势面的关系第52页，共70页。电力线指向电势降落的方向 电力线与等势面的关系 电力线处处垂直等势面证明上述结论思考题？第53页，共70页。电场强度和电势都是描述电场中各点性质的物理量上式以积分形式表示了场强与电势之间的关系：电势等于电场强度的线积分。反过来，场强与电势的关系也应该可以用微分形式表示出来即场强等于电势的导数。下面来导出场强与电势关系的微分形式。第54页，共70页。在电场

13、中考虑任意的相距很近的两点P1 和P2 ， P1 和P2 这两点的电势差为从P1 到P2 的微小位移矢量为P1 点和P2 点的电势分别为很小可以认为其上电场为匀强电场用P1 点的电场 来表示第55页，共70页。上式中 为电势函数沿 方向经过单位长度时的变化显然 方向不同， 不同，称作电势 在P1 点沿 方向的空间变化率等于电场沿 方向的分量不同第56页，共70页。由上式看出当 时即 沿着的 方向时，空间变化率 有最大值结论：在电场中任意一点，沿不同方向其电势空间的变化率一般是不同的，由上面知，沿电场方向电势随空间的变化率最大，就把这一最大值称为该点的电势梯度第57页，共70页。电势梯度沿电场方

14、向电势随空间的变化率 称为该点的电势梯度定义：记作电势梯度是一个矢量它的方向就是该点电场强度方向的负向或该点附近电势升高最快的方向大小：方向：第58页，共70页。电势梯度矢量式数学上可以证明，在直角坐标系中，梯度算符电势梯度已知电势函数第59页，共70页。给出电场强度和电势的微分关系第60页，共70页。说明：电场中任意点的场强等于该点电势梯度的负值，负号表示该点场强方向和电势梯度方向相反，即场强指向电势降低的方向第61页，共70页。总结电场强度与电势的关系积分关系：微分关系：静电场中，空间一点的场强不能决定该点的电势，反过来空间一点的电势也不能决定该点的场强。第62页，共70页。利用电势叠加原理半径为 R 均匀带电圆环,带电量为q，求圆环轴线上任一点的场强。例1给出了轴线上电势分布第63页，共70页。第64页，共70页。例2解：先求电势分布。用“电势叠加法”求长为l 的均匀带电线段延长线上任意一点的电势及电场分布，已知带电线密度为xo第65页，共70