二次函数知识梳理

1、关于二次函数知识梳理第一张，PPT共十九页，创作于2022年6月1.定义：一般地，如果 （ 、 、 是常数， ），那么 叫做 的二次函数.2.二次函数 用配方法可化成： 的形式.其中:第二张，PPT共十九页，创作于2022年6月3.抛物线的三要素： 开口方向、对称轴、顶点. 的符号决定抛物线的开口方向：当 时，开口向上；当 时，开口向下； 相等，抛物线的开口大小、形状相同.平行于 轴（或重合）的直线记作 特别地， 轴记作直线 .第三张，PPT共十九页，创作于2022年6月4.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同

2、.第四张，PPT共十九页，创作于2022年6月5.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法： 顶点是:对称轴是直线:第五张，PPT共十九页，创作于2022年6月（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 的形式，得到顶点为 ，对称轴是直线 （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.第六张，PPT共十九页，创作于2022年6月6.抛物线 中， 、 、 的作用（1） 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样. 开口向上开口向下

3、越大开口越小，反之越大第七张，PPT共十九页，创作于2022年6月 （2） 的符号： 和 共同决定抛物线对称轴的位置 由于抛物线 的对称轴是直线 故： 时，对称轴为 轴 （即 、 同号）时，对称轴在 轴左侧； （即 、 异号）时，对称轴在 轴右侧. （左同右异）第八张，PPT共十九页，创作于2022年6月（3） 的符号：由抛物线与 轴的交点位置确定:当 时， ，抛物线与轴有且只有一个交点（0，）： 经过坐标原点 与 轴交于正半轴与 轴交于负半轴 第九张，PPT共十九页，创作于2022年6月7.用待定系数法求二次函数的解析式：（1）一般式： .已知图象上三点或三对 、 的值，通常选择一般式.（2

4、）顶点式： .已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式（3）交点式: 已知图象与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式：第十张，PPT共十九页，创作于2022年6月8.直线与抛物线的交点（1） 轴与抛物线 的交点为（2）与 轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个交点（3）抛物线 与 轴的两个交点的横坐标 、 ，是对应一元二次方程 的两个实数根.抛物线与 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： 有两个交点 0 抛物线与 轴相交； 有一个交点（顶点在轴上） 0 抛物线与 轴相切； 没有交点 0 抛物线与 轴相离.第十一张，PPT共十九页，创作于2022年6月（4）平行于 轴的直线 与抛物

5、线的交点同上面（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，纵坐标为 ，则横坐标是 的两个实数根（5）一次函数 的图象 与二次函数 的图象 的交点，由方程组的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时 与 有两个交点; 方程组只有一组解时 与 只有一个交点；方程组无解时 与 没有交点.第十二张，PPT共十九页，创作于2022年6月（6）抛物线与 轴两交点之间的距离：若抛物线 与 轴两交点为 、 由于 、 是方程 的两个根，故 ，第十三张，PPT共十九页，创作于2022年6月 ，向上平移 个单位向左（右）平移 个单位抛物线 与 , 的形状和大小都相同，变动的只是位

6、置。（以 为基准说明） ，向下平移 个单位 ，向右平移 个单位 ，向左平移 个单位向上（下）平移 个单位第十四张，PPT共十九页，创作于2022年6月抛物线的平移、翻折与旋转的变换抛物线在变换中，开口大小未变，只是位置或开口方向发生改变确定变换前后顶点坐标及开口方向关 键关于 轴对称关于 轴对称第十五张，PPT共十九页，创作于2022年6月如图，将抛物线 沿 轴翻转到虚线的位置，那么所得到的抛物线的解析式为第十六张，PPT共十九页，创作于2022年6月在平面直角坐标系中，先将抛物线 关于 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）A BC D2009年天津中考试题第10题第十七张，PPT共十九页，创作于2022年6月图 像二次函数性 质应 用000=000=00开口方向顶点