12等腰三角形存在性问题解析版

1、等腰三角形存在性问题等腰三角形存在性问题【问题描述】如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），在x轴上取点C使得ABC是等腰三角形yBAOx【几何法】“两圆一线”得坐标（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CByBAC1OC3C5C2C4x【注意】若有三点共线的情况，则需排除作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求2yBACC1OHxC、C同理可求，下求C345yAC

2、1=AB=(4-1)2+(3-1)2=13作AHx轴于H点，AH=1C1H=C2H=13-1=23C1(1-23,0)C2(1+23,0)BAOC5x显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A、B均往下移一个单位，当点A坐标为（1,0），点B坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解：yAH=3，BH=2设AC5=x，则BC5=x，C5H=3-x(3-x)2+22=x2B解得：x=136OAC5Hx而对于本题的C，或许代数法更好用一些5故C5坐标为（196,0）【代数法】表示线段构相等yBAOC5x（1）表示点：设点C坐标为（m，0），又A点坐标（1,1）、B点坐标（4,3），5（2）表

3、示线段：AC(m1)2(01)2，BC55(m4)2(03)2（3）分类讨论：根据ACBC，可得：55(m1)212(m4)232，（4）求解得答案：解得：m23，故C坐标为23,0665【小结】几何法：（1）“两圆一线”作出点；（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标代数法：（1）表示出三个点坐标A、B、C；（2）由点坐标表示出三条线段：AB、AC、BC；（3）根据题意要求取AB=AC、AB=BC、AC=BC；（4）列出方程求解问题总结：（1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；（2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解；（3）三动点：分析可能存在的特殊边、角

4、，以此为突破口如图，在平面直角坐标系中，二次函数yax2bxc交x轴于点A(4,0)、B(2,0)，交y轴于点C(0,6)，在y轴上有一点E(0,2)，连接AE（1）求二次函数的表达式；（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求ADE面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在请说明理由yCD()()AOE【分析】（1）y3x23x6；42（2）可用铅垂法，当点D坐标为(2,6)时，ADE面积最大，最大值为14；（3）这个问题只涉及到A、E两点及直线x=-1（对称轴）当AE=AP时，以A为圆心，AE为半径画圆，与对称轴

5、交点即为所求P点AE=25，AP=25，又AH=3，PH11，11故P1,11、P1,1112当EA=EP时，以E点为圆心，EA为半径画圆，与对称轴交点即为所求P点Bx(25)1过点E作EM垂直对称轴于M点，则EM=1，PMPM342219，()()()()()()故P1,219、P1,21934当PA=PE时，作AE的垂直平分线，与对称轴交点即为所求P点设P(1,m)，PA2(14)2(m0)2，PE2=(10)2(m2)2555m29(m2)21，解得：m=1故P(1,1)5综上所述，P点坐标为P1,11、P1,11、P1,219、P1,219、P(1,1)12345yyyP1P3HP5A

6、OBxAOBxAOBxEMEEP2P4【补充】“代数法”用点坐标表示出线段，列方程求解亦可以解决1如图1，抛物线yax2bx1经过A(1,0)、B(2,0)两点，交y轴于点C点P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，交x轴于点E（1）请直接写出抛物线表达式和直线BC的表达式（2）如图1，当点P的横坐标为2时，求证：OBDABC3（3）如图2，若点P在第四象限内，当OE2PE时，求POD的面积（4）当以点O、C、D为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出动点P的坐标23【分析】（1）待定系数法即可求得；（2）先把P点的横坐标代入直线y1x1，求得DE2，从而求得DEOE，得出

7、EOD45，因为2OACEOD45，OBDABC，即可求得OBDABC；（3）分三种情况：当ODCD时，则5m2m15m2，当ODOC时，则5m2m11，当OCCD444时，则5m21，分别求解，即可求得4【解答】方法一：4a2b10a2解得22，抛物线表达式：y12xx1；22则，解得2222233解：（1）由抛物线yax2bx1可知C(0,1)，yax2bx1经过A(1,0)、B(2,0)两点，ab101b1211设直线BC的解析式为ykxb，2kb0b11kb1直线BC的表达式：y1x12故抛物线表达式：y1x21x1；直线BC的表达式：y1x112（2）如图1，当点P的横坐标为2时，把

8、x233代入y1x1，2得y1212，2DE23又OE2，3DEOEOED90EOD45又OAOC1，AOC90OAC45OEx，PE|x2x1|x2x1OACEOD又OBDABCOBDABC（3）如图2，设点P的坐标为P(x,1x21x1)2211112222又OE2PEx2(1x2212x1)解得x2，x2（不合题意舍去），12PD22P、D两点坐标分别为P(2,2()2122OE2)，D(2,222)，22POD1S122PDOE(21)2222，OC21，CD2m2(1m1)2m2，4445455（4）P(1,1)，P(4,27)，P(25,35)，P(25,35)4125253555

9、5设D(m,1m1)，2则OD2m2(1m1)25m2m1，241524当ODCD时，则5m2m15m2，解得m1，1当ODOC时，则5m2m11，解得m4，2当OCCD时，则5m21，解得m25，m25，34P(1,1)，P(,25252535，P(,)55551方法二：（1）略427)，P(3,)42535x1，把x代入，（2）lBC:y1223y，即D(，)，tanEOD()()1，t2(0t2t1)，222333O(0,0)，2233A(1,0)，C(0,1)，tanOAC1，EODOAC，OD/AC，OBDABC（3）设P(t,1t21t1)，E(t,0)，22OE2PE，1122解

10、得：t2，t2（舍)，12PD22P、D两点坐标分别为P(2,2()2122OE2)，D(2,222)，22POD1S122PDOE(21)2222(00)2(10)2(t0)2(t1)2，t0（舍)，t，（4）设P(t,1t21t1)，D(t,1t1)，O(0,0)，C(0,1)，222OCD是等腰三角形，OCOD，OCCD，ODCD，142125(00)2(10)2(t0)2(t11)2，t255112525，t，2(t0)2(t1)2(t0)2(t11)2，t1，1122P(1,1)，P(,)，p(2525555542713，25352535)p()4【点评】本题考查了待定系数法求解析式

11、、三角形相似的判定以及分类讨论的思想的应用2如图1，抛物线yx2bxc过点A(1,0)，点B(3,0)，与y轴交于点C在x轴上有一动点E(m，0)(0m3)，过点E作直线lx轴，交抛物线于点M（1）求抛物线的解析式及C点坐标；（2）当m1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若ACD是以DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；（3）如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设AEM的面积为S，MON的面积为S，12若S2S，求m的值122【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）若ACD是以DCA为底角的等腰三角形，则可以分C

12、DAD或ACAD两种情况，分别求解即可；（3）S1AEy，2SONx，即可求解1M2M1bc0b293bc0c3故抛物线的表达式为yx22x3，当x0时，y3，故点C(0,3)；（2）当m1时，点E(1,0)，设点D的坐标为(1,a)，由点A、C、D的坐标得，AC(01)2(30)210，同理可得：ADa24，CD1(a3)2，当CDAD时，即a241(a3)2，解得a1；当ACAD时，同理可得a6（舍去负值）；故点D的坐标为(1,1)或(1,6)；设直线BM的表达式为ysxt，则，解得，03stt3m3SAEy(m1)(m22m3)，222SONx(3m3)mS(m1)(m22m3)，2（3

13、）E(m,0)，则设点M(m,m22m3)，m22m3smtsm1故直线BM的表达式为y(m1)x3m3，当x0时，y3m3，故点N(0,3m3)，则ON3m3；111M12M1解得m27或1（舍去负值），故m72【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、面积的计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏3如图，已知抛物线ya(x6)(x2)过点C(0,2)，交x轴于点A和点B（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为D，对称轴DE交x轴于点E，连接EC（1）直接写出a的值，点A的坐标和抛物线对称轴的表达式；（2）若点M是抛物线对称轴DE上的点，当MCE是等腰三角

14、形时，求点M的坐标；（3）点P是抛物线上的动点，连接PC，PE，将PCE沿CE所在的直线对折，点P落在坐标平面内的点P处求当点P恰好落在直线AD上时点P的横坐标a，【分析】（1）将点C坐标代入抛物线解析式中，即可得出结论；（2）分三种情况：直接利用等腰三角形的性质，即可得出结论；（3）先判断出PQEPQE(AAS)，得出PQPQ，EQEQ，进而得出PQn，EQQEm2，确定出点P(n2,2m)，将点P的坐标代入直线AD的解析式中，和点P代入抛物线解析式中，联立方程组，求解即可得出结论【解答】解：（1）抛物线ya(x6)(x2)过点C(0,2)，2a(06)(02)，16抛物线的解析式为y(x6

15、)(x2)(x2)21166抛物线的对称轴为直线x2；针对于抛物线的解析式为y1(x6)(x2)，6令y0，则1(x6)(x2)0，6x2或x6，A(6,0)；83，（2）如图1，由（1）知，抛物线的对称轴为x2，E(2,0)，C(0,2)，OCOE2，D(2,)，CE2OC22，CED45，CME是等腰三角形，当MEMC时，ECMCED45，CME90，M(2,2)，当CECM时，MMCM2，1EM4，1M(2,4)，1当EMCE时，EMEM22，23M(2,22)，M(2，22)，23即满足条件的点M的坐标为(2,2)或(2,4)或(2，22)或(2,22)；（3）如图2，由（1）知，抛物

16、线的解析式为y1(x6)(x2)1(x2)28，66383令y0，则(x6)(x2)0，x6或x2，点A(6,0)，直线AD的解析式为y2x4，3过点P作PQx轴于Q，过点P作PQDE于Q，EQPEQP90，2m(n2)4，n(m6)(m2)，由（2）知，CEDCEB45，由折叠知，EPEP，CEPCEP，PQEPQE(AAS)，PQPQ，EQEQ，设点P(m,n)，OQm，PQn，PQn，EQQEm2，点P(n2,2m)，点P在直线AD上，23点P在抛物线上，16联立解得，m13241或m13241，22即点P的横坐标为13241或132412255154如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物

17、线F:ya(x)2与x轴交于点A(，0)和点B，与y【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键26461轴交于点C（1）求抛物线F的表达式；1（2）如图2，将抛物线F先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线F，若抛物线F与抛物121线F相交于点D，连接BD，CD，BC2求点D的坐标；判断BCD的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下，抛物线F上是否存在点P，使得BDP为等腰直角三角形，若存在，求出点P的2坐标；若不存在，请说明理由55155515【分析】（1）把点A(6，0)代入抛物线F:ya

18、(x2)264中，求出a的值，即可求解；1（2）由平移的原则：左加，右减，上加，下减，可得抛物线F的解析式，与抛物线F联立方程组，解出21可得点D的坐标；根据两点的距离公式和勾股定理的逆定理可得：BDC是等腰直角三角形；（3）设Pm，5(m3)219，根据两点的距离公式和勾股定理列方程可解出m的值，并确认两直角边3515是否相等，可得符合条件的点P的坐标【解答】解：（1）把点A(6，0)代入抛物线F:ya(x2)264中得：1抛物线F:y(x)253562640a()25515解得：a5，31，26415；3515y(x)2，（2）由平移得：抛物线F:y5(x21)2643，253193515

19、53195264(x)2(x)235153515，10 x，1033解得：x1，D(1,1)；当x0时，y54644，32515BD2(21)21210，PB2(m2)2(m)22，PD2(m1)2(m)212，C(0,4)，当y0时，5(x2)2640，3515解得：x6或2，5B(2,0)，D(1,1)，BD2(21)2(10)210，CD2(01)2(41)210，BC2224220，BD2CD2BC2且BDCD，BDC是等腰直角三角形；（3）存在，设P(m，5(m3)219)，3515B(2,0)，D(1,1)，5319531935153515分三种情况：当DBP90时，BD2PB2P

20、D2，即10(m2)25(m3)2192(m1)25(m3)21912，35153515解得：m4或1，当m4时，BD10，PB36324610，即BDP不是等腰直角三角形，不符合题意，当m1时，BD10，PB1910，BDPB，即BDP是等腰直角三角形，符合题意，P(1,3)；当BDP90时，BD2PD2PB2，即10(m1)25(m3)21912(m2)25(m3)2192，35153515解得：m1（舍)或2，当m2时，BD10，PD1910，BDPD，即此时BDP为等腰直角三角形，P(2,2)；当BPD90时，且BPDP，有BD2PD2PB2，如图3，当BDP为等腰直角三角形时，点P和

21、P不在抛物线上，此种情况不存在这样的点P；12综上，点P的坐标是(1,3)或(2,2)【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法和平移求二次函数解析式，勾股定理及逆定理，两点的距离公式，难点在于（3）根据直角三角形的直角顶点分情况讨论5如图，已知抛物线yax2bxc经过A(2,0)，B(4,0)，C(0,4)三点（1）求该抛物线的解析式；（2）经过点B的直线交y轴于点D，交线段AC于点E，若BD5DE求直线BD的解析式；已知点Q在该抛物线的对称轴l上，且纵坐标为1，点P是该抛物线上位于第一象限的动点，且在l右侧，点R是直线BD上的动点，若PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，求点

22、P的坐标GQx2x3，再利用三垂线构造出PQGQRH(AAS)，得出RHGQx2x3，QHPGx1，进而得出R(x2x4，2x)，最后代入直线BD的解析式中，即可求出x的值，即a，【分析】（1）根据交点式设出抛物线的解析式，再将点C坐标代入抛物线交点式中，即可求出a，即可得出结论；（2）先利用待定系数法求出直线AC的解析式，再利用相似三角形得出比例式求出BF，进而得出点E坐标，最后用待定系数法，即可得出结论；、当点R在直线l右侧时，先确定出点Q的坐标，设点P(x，1x2x4)(1x4)，得出PGx1，2112212可得出结论；、当R在直线l左侧时，同的方法即可得出结论【解答】解：（1）抛物线y

23、ax2bxc经过A(2,0)，B(4,0)，设抛物线的解析式为ya(x2)(x4)，将点C坐标(0,4)代入抛物线的解析式为ya(x2)(x4)中，得8a4，12抛物线的解析式为y(x2)(x4)1212x2x4；将点A(2,0)，C(0,4)，代入ykxb中，得，b4，（2）如图1，设直线AC的解析式为ykxb，2kb0k2b4直线AC的解析式为y2x4，过点E作EFx轴于F，OD/EF，BODBFE，OBBDBFBE，B(4,0)，OB4，BD5DE，BD5DEBD5，BEBDDE5DEBE6BFBE624OB4BD55，4，OFBFOB24455412，52，将x4代入直线AC:y2x4

24、中，得y2(4)412，555，12E(4)，55设直线BD的解析式为ymxn，4mn0mn51mn2直线BD的解析式为y1x2；2、当点R在直线l右侧时，抛物线与x轴的交点坐标为A(2,0)和B(4,0)，抛物线的对称轴为直线x1，点Q(1,1)，如图2，设点P(x，1x2x4)(1x4)，2PGx1，GQx2x41x2x3，RHGQx2x3，QHPGx1，R(x2x4，2x)(x2x4)22x，PGx1，GQx2x41x2x3，RHGQx2x3，QHPGx1，过点P作PGl于G，过点R作RHl于H，1122PGl，PGQ90，GPQPQG90，PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，PQ

25、RQ，PQR90，PQGRQH90，GPQHQR，PQGQRH(AAS)，1212由知，直线BD的解析式为y1x2，21122x2或x4（舍)，当x2时，y1x2x414244，22P(2,4)，、当点R在直线l左侧时，记作R，设点P(x，1x2x4)(1x4)，2过点P作PGl于G，过点R作RHl于H，1122同的方法得，PQGQRH(AAS)，12R(x2x2，x)，(x2x2)2x，12由知，直线BD的解析式为y1x2，21122x113或x113（舍)，当x113时，y1x2x42134，2P(113，2134)，即满足条件的点P的坐标为(2,4)或(113，2134)【点评】此题是二

26、次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键6如图，抛物线yax2bx4交x轴于A(3,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C，连接AC，BCM为线段OB上的一个动点，过点M作PMx轴，交抛物线于点P，交BC于点Q（1）求抛物线的表达式；（2）过点P作PNBC，垂足为点N设M点的坐标为M(m,0)，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由a9a3

27、b40【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得b1PQm2m4m4m2m，【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）PNPQsin452(1m24m)2(m2)222，即可求解；23363（3）分ACCQ、ACAQ、CQAQ三种情况，分别求解即可16a4b40故抛物线的表达式为：y1x21x4；33（2）由抛物线的表达式知，点C(0,4)，由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：yx4；设点M(m,0)，则点P(m,1m21m4)，点Q(m,m4)，3311143333OBOC，故ABCOCB45，PQNBQM45，313，PNPQsin45214222

28、(m2m)(m2)223363，260，故当m2时，PN有最大值为22；3（3）存在，理由：点A、C的坐标分别为(3,0)、(0,4)，则AC5，当ACCQ时，过点Q作QEy轴于点E，连接AQ，则CQ2CE2EQ2，即m24(m4)225，解得：m52（舍去负值），2故点Q(52，852)；22当ACAQ时，则AQAC5，在RtAMQ中，由勾股定理得：m(3)2(m4)225，解得：m1或0（舍去0)，故点Q(1,3)；当CQAQ时，则2m2m(3)2(m4)2，解得：m25（舍去）；2综上，点Q的坐标为(1,3)或(52，852)22【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质

29、、解直角三角形、等腰三角形的性质等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏7已知抛物线yax2bxc(a0)与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C(0,3)，顶点D的坐标为(1,4)（1）求抛物线的解析式（2）在y轴上找一点E，使得EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标（3）点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式，再将点C坐标代入求解，即可得出结论；（2）先求出点A，C坐标，设出点E坐标，表示出

30、AE，CE，AC，再分三种情况建立方程求解即可；（3）利用平移先确定出点Q的纵坐标，代入抛物线解析式求出点Q的横坐标，即可得出结论【解答】解：（1）抛物线的顶点为(1,4)，设抛物线的解析式为ya(x1)24，将点C(0,3)代入抛物线ya(x1)24中，得a43，a1，抛物线的解析式为ya(x1)24x22x3；(2由（1）知，抛物线的解析式为yx22x3，令y0，则x22x30，x1或x3，B(3,0)，A(1,0)，令x0，则y3，C(0,3)，AC10，设点E(0,m)，则AEm21，CE|m3|，E(0,)，m，ACE是等腰三角形，当ACAE时，10m21，m3或m3（点C的纵坐标，

31、舍去）E(0,3)，当ACCE时，10|m3|，m310，E(0,310)或(0,310)，当AECE时，m21|m3|，4343即满足条件的点E的坐标为(0,3)、(0,310)、(0,310)、(0,4)；3（3）如图，存在，D(1,4)，将线段BD向上平移4个单位，再向右（或向左）平移适当的距离，使点B的对应点落在抛物线上，这样便存在点Q，此时点D的对应点就是点P，点Q的纵坐标为4，设Q(t,4)，将点Q的坐标代入抛物线yx22x3中得，t22t34，t122或t122，Q(122，4)或(122，4)，分别过点D，Q作x轴的垂线，垂足分别为F，G，抛物线yx22x3与x轴的右边的交点B

32、的坐标为(3,0)，且D(1,4)，FBPG312，点P的横坐标为(122)2122或(122)2122，即P(122，0)、Q(122，4)或P(122，0)、Q(122，4)8如图，抛物线yax2xc经过点A(1,0)和点C(0,3)与x轴的另一交点为点B，点M是直线BC上【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的性质，平移的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键94一动点，过点M作MP/y轴，交抛物线于点P（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点Q，使得QCO是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以M为圆心，MP为半径作M

33、，当M与坐标轴相切时，求出M的半径【分析】（1）把点A(1,0)和点C(0,3)代入yax29xc求出a与c的值即可得出抛物线的解析式；4（2）当点Q在y轴右边时，假设QCO为等边三角形，过点Q作QHOC于H，OC3，则OH3，2，求出Q(，)，把x代入yx2x3，得y，则假设不成tan603333QH339273333OH222448162立；当点Q在y轴的左边时，假设QCO为等边三角形，过点Q作QTOC于T，OC3，则OT3，2，求出Q(，)，把x代入yx2x3，得y，则假设tan603333QT339273333OT222448162PMME，PDMDEMx，设P(x,x2x3)，M(x

34、,x3)，则PDx2x3，MDx3，代入即可得出结果；当M在BC延长线，M与x轴相切时，点P与A重合，M的纵坐不成立；（3）求出B(4,0)，待定系数法得出BC直线的解析式y3x3，当M在线段BC上，M与x轴相切时，4延长PM交AB于点D，则点D为M与x轴的切点，即PMMD，设P(x,3x29x3)，M(x,3x3)，444则PD3x29x3，MD3x3，由PDMDMD，求出x1，即可得出结果；当M在线段BC上，444M与y轴相切时，延长PM交AB于点D，过点M作MEy轴于E，则点E为M与y轴的切点，即393394444434标的值即为所求；当M在CB延长线，M与y轴相切时，延长PD交x轴于D

35、，过点M作MEy轴于E，则点E为M与y轴的切点，即PMME，PDMDEMx，设P(x,3x29x3)，M(x,3x3)，444则PD3x29x3，MD3x3，代入即可得出结果44490a3ca，【解答】解：（1）把点A(1,0)和点C(0,3)代入yax2xc得：43解得：4c3抛物线的解析式为：y3x29x3；4494c，（2）不存在，理由如下：当点Q在y轴右边时，如图1所示：假设QCO为等边三角形，过点Q作QHOC于H，点C(0,3)，OC3，则OH1OC3，tan60QH，22OH333QHOHtan60322，Q(333)，22把x33代入y3x29x3，244得：y273333，81

36、62假设不成立，当点Q在y轴右边时，不存在QCO为等边三角形；当点Q在y轴的左边时，如图2所示：假设QCO为等边三角形，过点Q作QTOC于T，点C(0,3)，OC3，则OT1OC3，tan60QT，22OT333QTOTtan60322，把B、C的坐标代入则，k，BC直线的解析式为：yx3，(x2x3)(x3)x3，M的半径为：MD3；，Q(333)，22把x33代入y3x29x3，244得：y273333，8162假设不成立，当点Q在y轴左边时，不存在QCO为等边三角形；综上所述，在抛物线上不存在一点Q，使得QCO是等边三角形；（3）令3x29x30，44解得：x1，x4，12B(4,0)，

37、设BC直线的解析式为：ykxb，04kb3b3解得：4b334当M在线段BC上，M与x轴相切时，如图3所示：延长PM交AB于点D，则点D为M与x轴的切点，即PMMD，设P(x,3x29x3)，M(x,3x3)，444则PD3x29x3，MD3x3，44439334444解得：x1，x4（不合题意舍去），123944(x2x3)(x3)x，当M在线段BC上，M与y轴相切时，如图4所示：延长PM交AB于点D，过点M作MEy轴于E，则点E为M与y轴的切点，即PMME，PDMDEMx，设P(x,3x29x3)，M(x,3x3)，444则PD3x29x3，MD3x3，444393444解得：x8，x0（

38、不合题意舍去），132M的半径为：EM83；当M在BC延长线，M与x轴相切时，如图5所示：点P与A重合，M的横坐标为1，M的半径为：M的纵坐标的值，即：3(1)315；44当M在CB延长线，M与y轴相切时，如图6所示：(x2x3)(x3)x，延长PM交x轴于D，过点M作MEy轴于E，则点E为M与y轴的切点，即PMME，PDMDEMx，设P(x,3x29x3)，M(x,3x3)，444则PD3x29x3，MD3x3，444393444解得：x16，x0（不合题意舍去），132M的半径为：EM16；3综上所述，M的半径为9或8或15或163443【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求

39、解析式、等边三角形的性质、圆的性质、三角函数等知识；熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键9已知二次函数yax24axc(a0)的图象与它的对称轴相交于点A，与y轴相交于点C(0,2)，其对称轴与x轴相交于点B（1）若直线BC与二次函数的图象的另一个交点D在第一象限内，且BD2，求这个二次函数的表达式；（2）已知P在y轴上，且POA为等腰三角形，若符合条件的点P恰好有2个，试直接写出a的值（C【分析】1）先求得对称轴方程，进而得B点坐标，过D作DHx轴于点H，由B，的坐标得OBC45，进而求得DH，BH，便可得D点坐标，再由待定系数法求得解析式；（2）先求出A点的坐标，再分两种情况：A点在x轴

40、上时，OPA为等腰直角三角形，符合条件的点P恰好有2个；A点不在x轴上，AOB30，OPA为等边三角形或顶角为120的等腰三角形，符合条件的点P恰好有2个据此求得a【解答】解：（1）过点D作DHx轴于点H，如图1，二次函数yax24axc，对称轴为x4a2，2aB(2,0)，C(0,2)，OBOC2，OBCDBH45，BH2，BHDH1，OHOBBH213，D(3,1)，把C(0,2)，D(3,1)代入yax24axc中得，9a12ac1c2，a1c2二次函数的解析式为yx24x2；（2）yax24axc过C(0,2)，c2，yax24axca(x2)24a2，A(2,4a2)，P在y轴上，且

41、POA为等腰三角形，若符合条件的点P恰好有2个，当抛物线的顶点A在x轴上时，POA90，则OPOA，这样的P点只有2个，正、负半轴各一个，如图2，此时A(2,0)，4a20，解得a1；2当抛物线的顶点A不在x轴上时，AOB30时，则OPA为等边三角形或AOP120的等腰三角形，这样的P点也只有两个，如图3，ABOBtan30232333，|4a2|233，a3或311112626综上，a1或113或11322626【点评】本题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键10如图，抛物线yax2bx2交

42、x轴于点A(3,0)和点B(1,0)，交y轴于点C（1）求这个抛物线的函数表达式（2）点D的坐标为(1,0)，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值（3）点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使MNO为等腰直角三角形，且MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）抛物线的表达式为：ya(x3)(x1)a(x22x3)ax22ax3a，即3a2，即可求解；四边形ADCPS（2）SAPOSCPOSODC，即可求解；（3）分点N在x轴上方、点N在x轴下方两种情况，分别求解【解答】解：（1）抛物线的表达式为：ya(x3)(x1

43、)a(x22x3)ax22ax3a，即3a2，解得：a2，3故抛物线的表达式为：y2x24x2，33（2）连接OP，设点P(x,2x24x2)，33四边形ADCPS则SSAPOSCPOS1112AOyOCxPPODC22COOD3(x2x2)2(x)21x23x2，1241123322时，S的最大值为10，故S有最大值，当x317；24（3）存在，理由：MNO为等腰直角三角形，且MNO为直角时，点N的位置如下图所示：33当点N在x轴上方时，点N的位置为N、N，12N的情况(MNO):111设点N的坐标为(x,2x24x2)，则MEx1，1144444444（2）如图，过点P作y轴垂线交y轴于点

44、N，连接MN交BC于点Q，当MQ过点N作x轴的垂线交x轴于点F，过点M作x轴的平行线交NF于点E，111FNOMNE90，MNEEMN90，EMNFNO，1111111111MENNFO90，ONMN，111111MNENOF(AAS)，MENF，11111即：x12x24x2，解得：x773（舍去负值），334则点N(773，373)；1N的情况(MNO):222同理可得：点N(173，373)；2当点N在x轴下方时，点N的位置为N、N，34同理可得：点N、N的坐标分别为：(173，373)、(773，373)34(综上，点N的坐标为：773，373)或(173，373)或(173，373)

45、或(773，4444444373)4【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及三角形全等、等腰直角三角形的性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏11如图，直线yx4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线yx2bxc经过B，C两点，与x轴另一交点为A点P以每秒2个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M（1）求抛物线的解析式；1时，求t的值；NQ2（3）如图，连接AM交BC于点D，当PDM是等腰三角形时，直接写出t的值【分析】（1）求直线yx4与x轴交点B，与y轴交点C，用待定系数法

46、即求得抛物线解析式（2）根据点B、C坐标求得OBC45，又PEx轴于点E，得到PEB是等腰直角三角形，由PB2t求得BEPEt，即可用t表示各线段，得到点M的横坐标，进而用m表示点M纵坐标，求得MP的长根据MP/CN可证MPQNCQ，故有MPMQ1，把用t表示的MP、NC代入即得到关于t的方程，NCNQ2求解即得到t的值（3）因为不确定等腰PDM的底和腰，故需分3种情况讨论：若MDMP，则MDPMPD45，故有DMP90，不合题意；若DMDP，则DMPMPD45，进而得AEME，把含t的式子代入并解方程即可；若MPDP，则PMDPDM，由对顶角相等和两直线平行内错角相等可得CFDPMDPDMC

47、DF进而得CFCD用t表示M的坐标，求直线AM解析式，求得AM与y轴交点F的坐标，即能用t表示CF的长把直线AM与直线BC解析式联立方程组，解得x的值即为点D横坐标过D作y轴垂线段DG，得等腰直角CDG，用DG即点D横坐标，进而可用t表示CD的长把含t的式子代入CFCD，解方程即得到t的值【解答】解：（1）直线yx4中，当x0时，y4C(0,4)当yx40时，解得：x4B(4,0)抛物线yx2bxc经过B，C两点164bc0b3解得：00c4c4抛物线解析式为yx23x4（2）B(4,0)，C(0,4)，BOC90OBOCOBCOCB45MEx轴于点E，PB2tBEP90RtBEP中，sinP

48、BEPEMP2PB2BEPE2PBt2xxOEOBBE4t，yPEtMPP点M在抛物线上y(4t)23(4t)4t25tMMPyyt24tMPPNy轴于点NPNONOEPEO90四边形ONPE是矩形ONPEtNCOCON4tMP/CNMPQNCQMQ1NCNQ2t24t14t2解得：t1，t4（点P不与点C重合，故舍去）122t的值为12（3）PEB90，BEPEBPEPBE45MPDBPE45若MDMP，则MDPMPD45DMP90，即DM/x轴，与题意矛盾若DMDP，则DMPMPD45AEM90AEMEyx23x40时，解得：x1，x412A(1,0)由（2）得，x4t，MEyt25tMM

49、AE4t(1)5t5tt25t解得：t1，t5(0t4，舍去）12若MPDP，则PMDPDM如图，记AM与y轴交点为F，过点D作DGy轴于点GCFDPMDPDMCDFCFCDA(1,0)，M(4t,t25t)，设直线AM解析式为yaxmam0at解得：a(4t)mt25tmt直线AM:ytxtF(0,t)CFOCOF4ttxtx4，解得：x4tt1DGx4tDt1CGD90，DCG45CD2DG2(4t)t14t2(4t)t1解得：t21综上所述，当PDM是等腰三角形时，t1或t21【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，解二元一次方程组和一元二次方程，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和

50、性质，涉及等腰三角形的分类讨论，要充分利用等腰的性质作为列方程的依据12已知：如图，抛物线yax2bx3与坐标轴分别交于点A，B(3,0)，C(1,0)，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点（1）求抛物线解析式；（2）当点P运动到什么位置时，PAB的面积最大？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE/x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由【分析】（1）用待定系数法即可求抛物线解析式（2）设点P横坐标为t，过点P作PF/y轴交AB于点F，求直线AB解析式，即能用t表示点F坐标，进而表示PF的长把PAB分成

51、PAF与PBF求面积和，即得到PAB面积与t的函数关系，配方即得到t为何值时，PAB面积最大，进而求得此时点P坐标（3）设点P横坐标为t，即能用t表示PD的长根据对称性可知点P、E关于抛物线对称轴对称，用中点坐标公式可得用t表示点E横坐标，进而用t表示PE的长（注意点P、E左右位置不确定，需分类讨论）由于PDE要成为等腰直角三角形，DPE90，所以PDPE，把含t的式子代入求值即得到点P坐标【解答】解：（1）抛物线yax2bx3过点B(3,0)，C(1,0)9a3b30a1解得：ab30b2抛物线解析式为yx22x3（2）过点P作PHx轴于点H，交AB于点Fx0时，yx22x33A(0,3)直

52、线AB解析式为yx3点P在线段AB上方抛物线上设P(t，t22t3)(3t0)F(t,t3)PFt22t3(t3)t23tPBF1SPABSPAFS1133327PFOHPFBHPFOB(t23t)(t)22222228215，PAB面积最大点P运动到坐标为(，3)4（3）存在点P使PDE为等腰直角三角形设P(t，t22t3)(3t0)，则D(t,t3)PDt22t3(t3)t23t抛物线yx22x3(x1)24对称轴为直线x1PE/x轴交抛物线于点Eyy，即点E、P关于对称轴对称EPxExP12x2x2tEPPE|xx|22t|EP22PDE为等腰直角三角形，DPE90PDPE当3t1时，P

53、E22tt23t22t解得：t1（舍去），t212P(2,3)当1t0时，PE22tt23t22t解得：t517，t517（舍去）12P(5175317，)22综上所述，点P坐标为(2,3)或(517，5317)时使PDE为等腰直角三角形2213抛物线yx2bxc与x轴交于A(1,0)，B(5,0)两点，顶点为C，对称轴交x轴于点D，点P为【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，求二次函数最值，等腰直角三角形的性质，中点坐标公式，一元二次方程的解法分类讨论进行计算时，要注意讨论求得的解是否符合分类条件，是否需要舍去29抛物线对称轴CD上的一动点（点P不与C，D重合）过点C作直线PB的垂线交PB

54、于点E，交x轴于点F（1）求抛物线的解析式；（2）当PCF的面积为5时，求点P的坐标；（3）当PCF为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标（2）确定PB、CE的表达式，联立求得点F(22m，0)，SPCFPCDF(2m)(22)5，【分析】（1）函数的表达式为：y2(x1)(x5)，即可求解；9112m3223即可求解；（3）分当CPCF、CPPF、CFPF三种情况，分别求解即可【解答】解：（1）函数的表达式为：y2(x1)(x5)2x28x10；9999（2）抛物线的对称轴为x2，则点C(2,2)，设点P(2,m)，将点P、B的坐标代入一次函数表达式：ysxt并解得：函数PB的表达式为：y1m

55、x5m，33CEPB，故直线CE表达式中的k值为3，m将点C的坐标代入一次函数表达式，同理可得直线CE的表达式为：y3x(26)，mm解得：x22m，3故点F(22m，0)，3PCFPCDF(2m)(22)5，S112m223CP2(2m)2，CF2(2m)24，PF2()2m2，解得：m5或3，故点P(2,3)或(2,5)；（3）由（2）确定的点F的坐标得：2m33，当CPCF时，即：(2m)2(2m)24，解得：m0或36(0舍去）35当CPPF时，同理可得：m9313，2当CFPF时，同理可得：m2（舍去2)，故点P(2,36)或(2,2)或(2,9313)或(2,9313)522【点评

56、】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏14如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线yax2bxc与y轴交于点A(0,6)，与x轴交于点B(2,0)，C(6,0)（1）直接写出抛物线的解析式及其对称轴；（2）如图2，连接AB，AC，设点P(m,n)是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴右侧，过点P作PDAC于点E，交x轴于点D，过点P作PG/AB交AC于点F，交x轴于点G设线段DG的长为d，求d与m的函数关系式，并注明m的取值范围；（3）在（2）的条件下，若PDG的面积为49，12求点P的坐标；设M为

57、直线AP上一动点，连接OM，直线OM交直线AC于点S，则点M在运动过程中，在抛物线上是否存在点R，使得ARS为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M及其对应的点R的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）已知抛物线与x轴交点B、C，故可设交点式，再把点A代入即求得抛物线解析式用配方法或公式求得对称轴（2）过点P作PHx轴于点H，由PDAD于点E易证PDH45，故DHPHn由PG/AB易证PGHABO，利用对应边成比例可得GHBOPH2PH1n，把含m的式子代入dDHGH即AO63得到d与m的函数关系式，再由点P的位置确定2m6，求得n的值（舍去负值），再利用nm22m6（3）用n表示DG、PH

58、，代入SPDG1491DGPH2122解关于m的方程即求得点P坐标因为ARS为等腰直角三角形且AS与y轴夹角为45，故AR与y轴夹角为45或90由于不确定ARS哪个为直角顶点，故需分3种情况讨论，画出图形，利用45或90来确定点R、S的位置，进而求点R、S坐标，再由S的坐标求直线OM解析式，把直线OM与直线AP解析式联立方程组，解得点M坐标【解答】解：（1）抛物线与x轴交于点B(2,0)，C(6,0)设交点式ya(x2)(x6)抛物线过点A(0,6)12a6a12抛物线解析式为y(x2)(x6)x22x6(x2)28111222抛物线对称轴为直线x2（2）过点P作PHx轴于点H，如图1PHD90点P(m,n)是抛物线上位于第一象限内的一动点且在对称轴右侧2m6，PHnm22m6，n0PH12OAOC6，AOC90ACO45PDAC于点ECED90CDE90ACO45DHPHnPG/ABPGHABOPGHABOGHA