2021中考数学专题05 瓜豆原理中最值问题

1、专题瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题【专题说明】动点轨迹问题是中考的重要压轴点.受学生解析几何知识的局限和思维能力的束缚,该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎,致使该压轴点成为学生在中考中失分的一个黑洞.掌握该压轴点的基本图形,构建问题解决的一般思路,是中考专题复习的一个重要途径.本文就动点轨迹问题的基本图形作一详述.动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型.【知识精讲】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。（1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值（2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后

2、的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线。当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线。当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线。如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？AQBPC【分析】当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线BAQPNMC【引例】如图，APQ是等腰直角三角形，PAQ=90且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ABPQC【

3、分析】当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段Q2ABCQ1【模型总结】必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（PAQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）结论：时P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于PAQ（当PAQ90，PAQ等于MN与BC夹角）ANQMBPCP、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQeqoac(,（由)ABCAMN，可得AP:AQ=BC:MN）ANMBC【精典例题】1、如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上

4、一点，且BE=1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边EFG，连接CG，则CG的最小值为ADFGBEC2、如图，等腰eqoac(,Rt)ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQOP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（）4B2C1A22D23、如图，矩形ABCD中，AB4，BC6，点P是矩形ABCD内一动点，且SPABSPCD，则PCPD的最小值为_4、如图，在平面内，线段AB=6，P为线段AB上的动点，三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线段AB垂直相交于点P，且满足PC=PA若点P沿AB方向从点A运动到

5、点B，则点E运动的路径长为_5、如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是直线AB上一点将线段CD绕点D顺时针旋转60得到线段DE，连结BE（1）若点D在AB边上（不与A，B重合）请依题意补全图并证明AD=BE；（2）连接AE，当AE的长最小时，求CD的长【精典例题】1、如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE=1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边EFG，连接CG，则CG的最小值为ADFGBEC【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG最小值，可以将F点看成是由点B向点A运动，由此作出G点轨迹：考虑到F点轨迹是线段，故G点轨迹也是线段

6、，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G点在G位置，最终G点在G位置（G不一定在CD边），GG即为G12212点运动轨迹ADG2G1BECCG最小值即当CGGG的时候取到，作CHGG于点H，CH即为所求的最1212过点E作EFCH于点F，则HF=GE=1，CF=CE，22所以CH=5，因此CG的最小值为小值根据模型可知：GG与AB夹角为60，故GGEG12121131522ADHG2G1FBEC2、如图，等腰eqoac(,Rt)ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQOP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（）4B2C1A2

7、2D2【答案】C【详解】连接OC，作PEAB于E，MHAB于H，QFAB于F，如图，ACB为到等腰直角三角形，AC=BC=2AB=2，A=B=45，2O为AB的中点，OCAB，OC平分ACB，OC=OA=OB=1，OCB=45，POQ=90，COA=90，AOP=COQ，在eqoac(,Rt)AOPeqoac(,和)COQ中AOCOAOCQ，AOPCOQPE=2eqoac(,Rt)AOPCOQ，AP=CQ，eqoac(,易得)APE和BFQ都为等腰直角三角形，22AP=CQ，QF=BQ，222PE+QF=222BC=（CQ+BQ）=2=1，222MH=1M点为PQ的中点，MH为梯形PEFQ的中

8、位线，1（PE+QF）=，22即点M到AB的距离为而CO=1，12，点M的运动路线为ABC的中位线，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长=12故选CAB=1，3、如图，矩形ABCD中，AB4，BC6，点P是矩形ABCD内一动点，且SPABSPCD，则PCPD的最小值为_【答案】213【详解】ABCD为矩形，ABDC又SPABSPCD点P到AB的距离与到CD的距离相等，即点P线段AD垂直平分线MN上，连接AC，交MN与点P，此时PCPD的值最小，且PCPDACAB2BC2426252213故答案为：2134、如图，在平面内，线段AB=6，P为线段AB上的动点，三角形纸片CDE的边CD所在

9、的直线与线段AB垂直相交于点P，且满足PC=PA若点P沿AB方向从点A运动到点B，则点E运动的路径长为_【答案】62【详解】解：如图，由题意可知点C运动的路径为线段AC，点E运动的路径为EE，由平移的性质可知AC=EE，在eqoac(,Rt)ABC中，易知AB=BC=6，ABC=90，EE=AC=6262=62，故答案为：625、如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是直线AB上一点将线段CD绕点D顺时针旋转60得到线段DE，连结BE（1）若点D在AB边上（不与A，B重合）请依题意补全图并证明AD=BE；（2）连接AE，当AE的长最小时，求CD的长【答案】（1）见解析；（2）27【详解】解：（

10、1）补全图形如图1所示，AD=BE，理由如下：ABC是等边三角形，AB=BC=AC，A=B=60，由旋转的性质得：ACB=DCE=60，CD=CE，ACD=BCE，ACDBCE（SAS），AD=BE（2）如图2，过点A作AFEB交EB延长线于点FACDBCE，CBE=A=60，点E的运动轨迹是直线BE，根据垂线段最短可知：当点E与F重合时，AE的值最小，此时CD=CE=CF，ACB=CBE=60，ACEF，AFBE，AFAC，在eqoac(,Rt)ACF中，=2AC2AF2=4223CF=27，CD=CF=27.专题瓜豆原理中动点轨迹圆或圆弧型最值问题【专题说明】动点的轨迹为定圆时，可利用：“

11、一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。确定动点轨迹为圆或者圆弧型的方法:（1）动点到定点的距离不变，则点的轨迹是圆或者圆弧。（2）当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆，具体运用如下;见直角，找斜边，想直径，定外心，现圆形见定角，找对边，想周角，转心角，现圆形【知识精讲】如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？AQPO【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点

12、轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有AMQAOP，QM:PO=AQ:AP=1:2PQAMO【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，由Q为AP中点可得：AM=1/2AOQ点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQAP且AQ=AP考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？QAPO【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆接下来确定圆心与半径考虑APAQ，可得Q

13、点轨迹圆圆心M满足AMAO；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO即可确定圆M位置，任意时刻均有APOAQMMQPAO如图，APQ是直角三角形，PAQ=90且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？QPAO【分析】考虑APAQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AMAO；考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1即可确定圆M位置，任意时刻均有APOAQM，且相似比为2MQPAO【模型总结】为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”此类问题的必要条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（PAQ是定值）；主动点、从动

14、点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）QQMPPAOAO【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：PAQ=OAM；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩古人云：种瓜得瓜，种豆得豆“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”【精典例题】1、如图，在RtABC中，C90，AC4，BC3，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（）A5B6C7D82、如图，在矩形纸片ABCD中，AB2

15、，AD3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将AEF沿EF所在直线翻折，得到AEF，则AC的长的最小值是()2B3A13C131D1013、如图，在eqoac(,Rt)ABC中，ABC90，ACB30，BC2eqoac(,，)ADC与ABC关于AC对称，点E、F分别是边DC、BC上的任意一点，且DECF，BE、DF相交于点P，则CP的最小值为()A1BCD24、如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将EBF沿EF所在直线折叠得到EBF，连接BD，则BD的最小值是_5、如图，eqoac(,Rt)ABC中，ABBC，AB6，BC4，P是ABC

16、内部的一个动点，且满足PABPBA90，则线段CP长的最小值为_.6、如图，点D在半圆O上，半径OB5，AD4，点C在弧BD上移动，连接AC，作DHAC，垂足为H，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是_7、如图，过抛物线于点C，已知点A的横坐标为上一点A作轴的平行线，交抛物线于另一点B，交轴（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；（2）在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D；连结BD，求BD的最小值；当点D落在抛物线的对称轴上，且在轴上方时，求直线PD的函数表达式【精典例题】1、如图，在RtABC中，C90，AC4，BC3，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N

17、分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（）A5B6C7D8OB2【答案】B【详解】如图，设O与AC相切于点D，连接OD，作OPBC垂足为P交O于F，此时垂线段OP最短，PF最小值为OPOF，AC4，BC3，AB5OPB90，OPAC点O是AB的三等分点，10OPOB25，33ACAB3OP83，O与AC相切于点D，ODAC，ODMN最小值为OPOF8MN最大值10ODBC，OA1，BCAB3OD1，51，33如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，131，33513+=6,33MN长的最大值与最小值的和是6故选B2、如图，在矩形纸片ABCD中，A

18、B2，AD3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将AEF沿EF所在直线翻折，得到AEF，则AC的长的最小值是()2B3A13【答案】DC131D101【详解】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点A在线段CE上时，AC的长取最小值，如图所示，根据折叠可知：AEAE1AB121在RtBCE中，BEAB1，BC3，B90，2CEBE2BC210，AC的最小值CEAE101故选D3、如图，在eqoac(,Rt)ABC中，ABC90，ACB30，BC2eqoac(,，)ADC与ABC关于AC对称，点E、F分别是边DC、BC上的任意一点，且DECF，BE、DF相交于点P，则CP的最小

19、值为()A1BCD2【答案】D【详解】连接AD，因为ACB30，所以BCD60，因为CBCD，所以CBD是等边三角形，所以BDDC.因为DECF，EDBFCD60，eqoac(,所以)EDBFCD，所以EBDFDC，因为FDCBDF60，所以EBDBDF60，所以BPD120，所以点P在以A为圆心，AD为半径的弧BD上，eqoac(,直角)ABC中，ACB30，BC2，所以AB2，AC4，所以AP2.当点A，P，C在一条直线上时，CP有最小值，CP的最小值是ACAP422.故选D.4、如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将EBF沿EF所在直线折叠

20、得到EBF，连接BD，则BD的最小值是_【答案】2102.【详解】如图所示点B在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当D、B、E共线时，BD的值最小，根据折叠的性质，EBFeqoac(,EB)F，B=EBF，EB=EBE是AB边的中点，AB=4，AE=EB=2AD=6，DE6222210，BD=2102故答案为21025、如图，eqoac(,Rt)ABC中，ABBC，AB6，BC4，P是ABC内部的一个动点，且满足PABPBA90，则线段CP长的最小值为_.【答案】2：【详解】PAB+PBA=90APB=90点P在以AB为直径的弧上（Peqoac(,在)ABC内）设以AB为直径的圆心为点O，如图接

21、OC，交O于点P，此时的PC最短AB=6，OB=3BC=4OCOB2BC232425PC=5-3=26、如图，点D在半圆O上，半径OB5，AD4，点C在弧BD上移动，连接AC，作DHAC，垂足为H，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是_如图，设AD的中点为点E，则EAED1【答案】2222【详解】1AD4222由题意得，点H的运动轨迹在以点E为圆心，EA为半径的圆上由点与圆的位置关系得：连接BE，与圆E交于点H，则此时BH取得最小值，EH2连接BDAB为半圆O的直径ADB90BDAB2AD2(55)242221BEBD2ED2(221)222222BHBEEH2222故答案为：2222

22、7、如图，过抛物线于点C，已知点A的横坐标为上一点A作轴的平行线，交抛物线于另一点B，交轴（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；（2）在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D；连结BD，求BD的最小值；当点D落在抛物线的对称轴上，且在轴上方时，求直线PD的函数表达式【答案】(1)x=4；B（10，5）（2）y=x+【详解】（1）由题意A（2，5），对称轴x=4，A、B关于对称轴对称，B（10，5）（2）如图1中，由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上，当O、D、B共线时，BD的最小值=OBOD=如图2中，图2当点D在对称轴上时，在eqoac(,Rt)ODE中，OD=OC=5，O

23、E=4，DE=3，点D的坐标为（4，3）设PC=PD=x，在eqoac(,Rt)PDK中，x2=（4x）2+22，x=，P（，5），直线PD的解析式为y=x+专题瓜豆原理中动点轨迹不确定型最值问题【专题说明】动点轨迹非圆或直线时，基本上将此线段转化为一个三角形中，（1）利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求最值。（2）在转化较难进行时，可借助直角三角形斜边上的中线及中位线或构建全等图形进一步转化求最值。【知识精讲】所谓“瓜豆原理”，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性，根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定从动点的轨迹，而当主动点轨迹是其他图形时

24、，从动点轨迹必然也是【精典例题】1、如图，在反比例函数y2的图像上有一个动点A，连接AO并延长交图像的x另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数yk的图像上运动，若tanCAB=2，则k的值为（）xyACOxBA2B4C6D8【模型】一、借助直角三角形斜边上的中线1、如图，在ABC中，C=90，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（）A6BCD【模型】二、借助三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边1、如图，已知等边三角形ABC边长为23，两顶点A、B分别在平

25、面直角坐标系的x轴负半轴、轴的正半轴上滑动，点C在第四象限，连接OC，则线段OC长的最小值是（）A31B33C3D32、如图，MON=90，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=4，BC=2.运动过程中点D到点O的最大距离是_3、如图，在ABC中，ACB90，CAB30，AB6，以线段AB为边向外作等边ABD，点E是线段AB的中点，连结CE并延长交线段AD于点F.(1)求证：四边形BCFD为平行四边形；(2)求平行四边形BCFD的面积；(3)如图，分别作射线CM，CN，如图中ABD的两个顶点A，B分别在射线

26、CN，CM上滑动，在这个变化的过程中，求出线段CD的最大长度.4、如图，在RtABC中，ACB90，将ABC绕顶点C逆时针旋转得到ABC,M是BC的中点，N是AB的中点，连接MN，若BC4,ABC60，则线段MN的最大值为（）A4B8C43D6【模型】三、借助构建全等图形1、如图，在ABC中，ACB90，A30，AB5，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等边BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是_2、如图，边长为12的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连结MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连结HN则在点M运动过程中，线段HN长度的最小

27、值是（）A6B3C2D15【模型】四、借助中位线1、如图，在等腰直角ABC中，斜边AB的长度为8，以AC为直径作圆，点P为半圆上的动点，连接BP，取BP的中点M，则CM的最小值为（）A35B253C102D3252、如图，抛物线y19x21与x轴交于A，B两点，D是以点C0,4为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE,BD，则线段OE的最小值是（）A2B3225CD32【精典例题】1、如图，在反比例函数y2的图像上有一个动点A，连接AO并延长交图像的x另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数yk的图像上运动，若tanCAB=2，则k的值

28、为（）xyACOxBA2B4C6D8【分析】AOC=90且AO:OC=1:2，显然点C的轨迹也是一条双曲线，分别作AM、CN垂直x轴，垂足分别为M、N，连接eqoac(,OC)，易证AMOONC，CN=2OM，ON=2AM，ONCN=4AMOM，故k=42=8yACNMOxB【思考】若将条件“tanCAB=2”改为“ABC是等边三角形”，k会是多少？【模型】一、借助直角三角形斜边上的中线1、如图，在ABC中，C=90，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（）A6BCD【答案】D【解析】解：如图，取CA的

29、中点D，连接OD、BD，则OD=CD=AC=4=2，由勾股定理得，BD=2，当O、D、B三点共线时点B到原点的距离最大，所以，点B到原点的最大距离是2+2故答案为2+2【模型】二、借助三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边1、如图，已知等边三角形ABC边长为23，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴负半轴、轴的正半轴上滑动，点C在第四象限，连接OC，则线段OC长的最小值是（）A31B33C3D3【答案】B【详解】解：如图所示：过点C作CEAB于点E，连接OE，ABC是等边三角形，CE=ACsin60=23AOB=90，323，AE=BE，EO12AB3，EC-OEOC，当点C，O，E在

30、一条直线上，此时OC最短，故OC的最小值为：OCCEEO33故选B2、如图，MON=90，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=4，BC=2.运动过程中点D到点O的最大距离是_【答案】22+2【详解】如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，ODOE+DE，当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时，AB=4，BC=2，OE=AE=12AB=2，DE=AD2AE2=222222，OD的最大值为：22+2，故答案为22+2.3、如图，在ABC中，ACB90，CAB30，AB6，以线段AB为边向外作等

31、边ABD，点E是线段AB的中点，连结CE并延长交线段AD于点F.(1)求证：四边形BCFD为平行四边形；(2)求平行四边形BCFD的面积；(3)如图，分别作射线CM，CN，如图中ABD的两个顶点A，B分别在射线CN，CM上滑动，在这个变化的过程中，求出线段CD的最大长度.【答案】(1)证明见解析；(2)93；(3)333.【详解】(1)在ABC中，ACB90，CAB30，ABC60，在等边ABD中，BAD60，BADABC60，在ABC中，ACB90，E为AB的中点，CE1E为AB的中点，AEBE，又AEFBEC，AEFBEC，1AB，BEAB，22CEAE，EACECA30，BCEEBC60

32、，又又AEFBEC，AFEBCE60，D60，AFED60，FCBD，又BADABC60，ADBC，即FDBC，四边形BCFD是平行四边形；(2)在RtABC中，BAC30，AB6，BCAC12AB3，AB2BC2623233，S平行四边形BCFD33393；(3)取AB的中点G，连结CG，DG，CDCDCGDG，CD的最大长度CGDG333.4、如图，在RtABC中，ACB90，将ABC绕顶点C逆时针旋转得到ABC,M是BC的中点，N是AB的中点，连接MN，若BC4,ABC60，则线段MN的最大值为（）A4B8C43D6【答案】D【详解】连接CN，将ABC绕顶点C逆时针旋转得到ABC，ACB

33、ACB=90，BCBC4，ABCABC60，A30，AB8N是AB的中点，CN12AB4，在CMN中，MNCM+CN，当且仅当M，C，N三点共线时，MN=CM+CN=6，线段MN的最大值为6故选D【模型】三、借助构建全等图形1、如图，在ABC中，ACB90，A30，AB5，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等边BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是_【答案】【详解】解：如图，取AB的中点E，连接CE，PEACB=90，A=30，CBE=60，BE=AE，CE=BE=AE，BCE是等边三角形，BC=BE，PBQ=CBE=60，QBC=PBE，QB=PB，CB=EB，QBCPBE（SAS