人教A版新教材高一数学必修二知识点与题型方法总结 第六章平面向量及其应用

1、学好高中数学，成就美好人生人教A版新教材高一数学必修二知识点与题型方法总结第六章平面向量及其应用【考纲要求】序考点号1平面向量的概念2平面向量的运算平面向量基本定理3及坐标表示课标要求了解向量的实际背景了解理解平面向量的概念理解理解两个向量相等的含义理解理解向量的几何表示理解掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义掌握掌握向量数乘的运算及其几何意义掌握理解两个向量共线的含义理解了解向量线性运算的性质及其几何意义了解理解平面向量数量积的含义及其物理意义理解了解平面向量的数量积与向量投影的关系了解了解平面向量的基本定理及其意义了解掌握平面向量的正交分解及其坐标表示掌握会用坐标表示平面向量的加法、

2、减法与数乘运算掌握理解用坐标表示的平面向量共线的条件理解掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算掌握能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平掌握面向量的垂直关系第1页，共50页学好高中数学，成就美好人生会用向量方法解决某些简单的平面几何问题会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量掌握掌握4平面向量的应用掌握问题能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测掌握量和几何计算有关的实际问题6.1平面向量的概念知识点总结6.1.1向量的概念及表示(1)概念:既有大小又有方向的量.(2)有向线段定义:具有方向的线段.

3、三个要素:起点、方向、长度.表示:在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以为起点、.长度:线段的长度也叫做有向线段的长度,记作.(3)向量的表示为终点的有向线段记作点拨:第2页，共50页学好高中数学，成就美好人生(1)判断一个量是否为向量,就要看它是否具备大小和方向两个因素.(2)用有向线段表示向量时,要注意的方向是由点指向点,点是向量的起点,点是向量的终点.6.1.2向量的有关概念(1)向量的模(长度):向量的大小,称为向量的长度(或称模),记作.(2)零向量:长度为的向量,记作.(3)单位向量:长度等于个单位长度的向量.6.1.3两个向量间的关系(1)平行向量:方向相同或相反的非零向量,

4、也叫做共线向量.若,是平行向量,记作规定:零向量与任意向量平行,即对任意向量,都有.(2)相等向量:长度相等且方向相同的向量,若,是相等向量,记作点拨:(1)平行向量也称为共线向量,两个概念没有区别.(2)共线向量所在直线可以平行,与平面几何中的共线不同.(3)平行向量可以共线,与平面几何中的直线平行不同.题型方法【知识点一向量的相关概念】例1给出下列命题:若,则,四点是平行四边形的四个顶点;在中,一定有;第3页，共50页.学好高中数学，成就美好人生若,则.其中所有正确命题的序号为_.答案变式训练例1下列说法中正确的是()A数量可以比较大小,向量也可以比较大小B方向不同的向量不能比较大小,但同

5、向的向量可以比较大小C.向量的大小与方向有关D.向量的模可以比较大小答案D【知识点二向量的表示】例1在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为),用直尺和圆规画出下列向量:(1),使,点在点北偏东方向上;(2),使,点在点正东方向上;(3),使,点在点北偏东方向上.变式训练例1第4页，共50页学好高中数学，成就美好人生已知飞机从地按北偏东的方向飞行到达地,再从地按南偏东的方向飞行到达地,再从地按西南方向飞行到达地.(1)作出向量(2)问地在,;地的什么方向?地距地多远?(1)见解析(2)地在地的东南方向,距地.【知识点三共线向量与相等向量】例1如图所示,是正六边形的中心,且,在每两点所确定的向量

6、中.(1)与的长度相等、方向相反的向量有哪些?(2)与共线的向量有哪些?变式训练例1（1）已知向量与向量共线,下列关于向量的说法中,正确的为()第5页，共50页学好高中数学，成就美好人生A.向量与向量一定同向B.向量,向量,向量一定共线C.向量与向量一定相等D.以上说法都不正确答案B（2）下列说法正确的是()A.若与平行,与平行,则与一定平行B.终点相同的两个向量不共线C.若,则D.单位向量的长度为1.答案D6.2平面向量的运算知识点总结6.2.1向量的加法运算1.向量加法的定义及运算法则第6页，共50页学好高中数学，成就美好人生注:(1)两个法则的使用条件不同.三角形法则适用于任意两个非零向

7、量求和,平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和.(2)在使用三角形法则时,应注意“首尾连接”;在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同.(3)位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型.2.,之间的关系一般地,当且仅当,方向相同时等号成立.第7页，共50页学好高中数学，成就美好人生3.向量加法的运算律6.2.2向量的减法运算1.相反向量与长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量,记作.(1)规定:零向量的相反向量仍是仍是零向量;(2);(3);(4)若与互为相反向量,则,，.注:相反向量与相等向量一样,从“长度”和

8、“方向”两方面进行定义,相反向量必为平行向量.2.向量的减法(1)定义:,即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.(2)几何意义:以为起点,作向量,则,如图所示,即可表示从向量的终点指向向量的终点的向量.第8页，共50页学好高中数学，成就美好人生注:(1)减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.(2)在用三角形法则作向量减法时,只要记住“连接向量终点,箭头指向被减向量”即可.(3)对于任意两个向量,都有6.2.3向量的数乘运算1.向量的数乘运算.(1)定义:规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作:方向规定如下:;当时,的方向与的方向相同;当时,的方向与的方向相反.,它

9、的长度和注:是实数,是向量,它们的积仍然是向量.实数与向量可以相乘,但是不能相加减,如,均没有意义.(2)运算律:设,为任意实数,则有:;特别地,有;第9页，共50页学好高中数学，成就美好人生.2.向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量,及任意实数,.3.向量共线的条件向量与共线,当且仅当有唯一一个实数,使.注:若将定理中的条件去掉,即当时,显然与共线.(1)若,则不存在实数,使.(2)若,则对任意实数,都有.6.2.4向量的数量积1.两向量的夹角(1)定义:已知两个非零向量,是平面上的任意一点,作,则叫做向量与的夹角.,恒有(2)特例:当时,向量与同向;当时,

10、向量与垂直,记作;当时,向量与反向.第10页，共50页学好高中数学，成就美好人生注:按照向量夹角的定义,只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角,如图所示,不是向量与的夹角.作,则才是向量与的夹角.2.向量的数量积已知两个非零向量与,它们的夹角为,把数量记作,即.规定零向量与任一向量的数量积为0.3.投影向量叫做向量与的数量积(或内积),如图(1),设,是两个非零向量,我们考虑如下变换:过的起点和终点,分别作(project),得到所在直线的垂线,垂足分别为,我们称上述变换为向量向向量投影叫做向量在向量上的投影向量.如图(2),在平面内任取一点,作,过点作直线的垂线,垂足为,则就是向

11、量在向量上的投影向量.注:若与方向相同的单位向量为,与的夹角为,则.第11页，共50页学好高中数学，成就美好人生当时,;当时,与方向相同;当时,;当时,与方向相反;当时,.4.向量数量积的性质设,是非零向量,它们的夹角是,是与方向相同的单位向量,则(1).(2).(3)当与同向时,;当与反向时,.特别地,或.(4).5.向量数量积的运算律(1)(交换律).(2)(结合律).(3)(分配律).注:(1)向量的数量积不满足消去律;若,均为非零向量,且,但得不到.(2),因为与向量共线,因此,是数量积,是实数,不是向量,所以在一般情况下不成立.第12页，共50页与向量共线,(3).题型方法【知识点一

12、向量的加法运算】例1化简:学好高中数学，成就美好人生_.答案变式训练例1如图,在正六边形中,_,_.答案；【知识点二向量的减法运算】例1答案变式训练例1化简第13页，共50页学好高中数学，成就美好人生答案【知识点三向量的数乘运算】例1如图，已知，则（）A.B.C.D.答案D变式训练例1如图所示，向量,在一条直线上，且_（用表示），则答案第14页，共50页学好高中数学，成就美好人生【知识点四向量的线性运算】例1已知向量，且答案变式训练例1（）A.B.C.D.答案B【知识点五向量共线定理】例1已知向量，若，()A.、B.、C.、D.、第15页，共50页，求，则一定共线的三点是答案A变式训练例1（2

13、019春杜集区校级期中）已知学好高中数学，成就美好人生，则()A.A、B、C三点共线B.A、B、D三点共线C.A、C、D三点共线D.B、C、D三点共线答案B【知识点六向量的数量积运算】例1在中,若角,则等于()A.B.C.D.答案C变式训练例1如图在平行四边形中,已知,则()第16页，共50页学好高中数学，成就美好人生A.B.C.D.答案C【知识点七向量的模】例1已知向量,为单位向量,若与的夹角为,则_.答案变式训练例1已知A.B.C.D.，与的夹角为，那么等于（）第17页，共50页学好高中数学，成就美好人生答案C【知识点九向量垂直】例1不共线向量,满足,且,则与的夹角为_.答案变式训练例1若

14、，则与的夹角为（）A.B.C.D.答案B【知识点八向量的夹角】例1已知向量，满足，且，则与的夹角为（）A.B.C.第18页，共50页学好高中数学，成就美好人生D.答案D变式训练例1已知向量满足且,则向量的夹角为_.答案6.3平面向量基本定理及坐标表示知识点总结6.3.1平面向量基本定理条件是同一平面内的两个不共线向量结论对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,使.基底若不共线,把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底点拨:(1)是同一平面内的两个不共线的向量,的选取不唯一,即一个平面可以有多个基底.(2)基底确定后,实数是唯一确定的.6.3.2平面向量坐标的相关概念第19页，共50页学好高中

15、数学，成就美好人生点拨:(1)平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式,只是两个基向量和互相垂直.(2)由向量坐标的定义知,两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等,即且,其中.6.3.3平面向量的坐标运算(1)若,则;.(2)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.点拨:(1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关,而与它们的具体位置无关.(2)已知向量的起点,终点,则.6.3.4两向量共线的充要条件设,其中,则共线的充要条件是.点拨:(1)两个向量共线的坐标表示还可以写成共线向量的对应坐标成比例.,即两个不平行于坐标轴的(2)当时,此时也成立,即

16、对任意向量,都有.第20页，共50页学好高中数学，成就美好人生6.3.5平面向量数量积的坐标表示已知,则.即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.点拨:公式与都是用来求两向量的数量积的,没有本质区别,只是书写形式上的差异,两者可以相互推导.6.3.6两个公式、一个充要条件(1)向量的模长公式:若,则.(2)向量的夹角公式:设,都是非零向量,是与的夹角,则.(3)两个向量垂直的充要条件设非零向量,则.点拨:若,则,即两点间的距离为.题型方法【知识点一平面向量基本定理的理解】例1设,是不共线的两个向量,给出下列四组向量:与;与;与;与.第21页，共50页学好高中数学，成就美好人生其中,不能作

17、为平面内所有向量的一组基底的是_(写出满足条件的序号).答案变式训练例1设点是平行四边形两对角线的交点,下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是()与;与;与;与.A.B.C.D.答案B【知识点二用基底表示平面向量】例1如图所示,在中,点,分别为,边上的中点,与交于点,若,试用基底表示向量,.变式训练例1第22页，共50页在学好高中数学，成就美好人生中,点在边上,且,设,则为()A.BCD答案B【知识点三平面向量基本定理的应用】例1如图,在求与中,点.是的中点,点在上,且,与相交于点,答案=4:1；=3:2变式训练例1（1）设_.是平面内的一个基底,且,则_第23

18、页，共50页学好高中数学，成就美好人生答案（2）在中，已知是边上一点，若，则_.答案【知识点四平面向量的坐标表示】例1已知(1)求向量是坐标原点,点的坐标;在第一象限,(2)若,求的坐标.变式训练例1已知长方形的单位向量,试求的长为,宽为,建立如图所示的平面直角坐标系,和的坐标.是轴上的单位向量,是轴上答案=（4,3）；=（-4,3）【知识点五平面向量的坐标运算】例1已知向量,若满足第24页，共50页,则()AB.C.D.答案A变式训练例1已知向量学好高中数学，成就美好人生,若,则的值为_.答案【知识点五平面向量的坐标运算】例2已知的坐标答案变式训练例2，且，求点及已知答案的坐标分别为,则_,

19、_.；【知识点六向量坐标运算的综合应用】例1已知点,及.(1)为何值时,点在轴上?点在轴上?点在第二象限?(2)四边形能为平行四边形吗?若能,求出的值;若不能,请说明理由.第25页，共50页学好高中数学，成就美好人生答案(1（-，）；(2)不能变式训练例1已知在平行四边形()中,对角线,交于点,则的坐标是A.BCD答案A变式训练例2已知在非平行四边形中,且三点的坐标分别为,则顶点的横坐标的取值范围是_.答案【知识点七向量共线的判定】例1已知A.B.C.,若,则的值可能是()第26页，共50页学好高中数学，成就美好人生D.答案AD变式训练例1已知,若,则的值可能是()A.B.C.D.答案CD【知

20、识点八三点共线问题】例1已知向量，且三点共线，则_答案变式训练例1若,三点共线,则的值为()A.B.C.第27页，共50页学好高中数学，成就美好人生D.答案B【知识点九向量共线的应用】例1已知向量(1)向量会与非零向量共线吗？(2)为何值时，与共线？答案（1）不共线；（2）变式训练例1如图所示，在平行四边形的中点，求、中，的坐标，并判断、是否共线，分别为答案，、共线第28页，共50页【知识点十数量积的坐标运算】例1已知向量,满足学好高中数学，成就美好人生,则()A.B.C.D.答案B变式训练例1已知两个非零向量,满足,则的值为()A.B.C.D.答案B【知识点十一平面向量的模】例1已知向量,则

21、_.答案第29页，共50页学好高中数学，成就美好人生变式训练例1已知向量,则()A.B.C.D.答案C【知识点十二平面向量的夹角】例1已知向量,则与的夹角为_.答案变式训练例1已知向量,向量为单位向量,且,则与的夹角余弦值为()A.B.第30页，共50页学好高中数学，成就美好人生C.D.答案A【知识点十三平面向量的垂直】例1已知向量,且,则()A.B.C.D.答案C变式训练例1已知向量,若,则_,若,则_.答案；6.4平面向量的应用知识点总结6.4.1平面几何中的向量方法第31页，共50页学好高中数学，成就美好人生用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”6.4.2向量在物理中的应用举例向量在物

22、理学中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解与合成与向量的减法和加法相似,可以用向量的知识来解决.(2)物理学中的功是一个标量,即为力的夹角).与位移的数量积,即(为与6.4.3余弦定理、正弦定理1.余弦定理文字语言:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.符号语言:第32页，共50页学好高中数学，成就美好人生;.注:对余弦定理的理解(1)适用范围:余弦定理对任意的三角形都成立.(2)结构特征:“平方”“夹角”“余弦”.(3)揭示的规律:余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式,它描述了任意三角形中边与角的一种数

23、量关系.2.余弦定理的推论:;.注:余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式,适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题.用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角.3.三角形的元素与解三角形(1)三角形的元素:三角形的三个角,和它们的对边,叫做三角形的元素.第33页，共50页学好高中数学，成就美好人生(2)解三角形:已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.注1:解决“已知两边及一角”解三角问题的步骤:用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程,运用解方程的方法求出此边长.再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角.注2:已知三角形的三边解三角形的方法:先

24、利用余弦定理的推论求出一个角的余弦,从而求出第一个角;再利用余弦定理的推论求出第二个角;最后利用三角形的内角和定理求出第三个角.注意若已知三角形三边的比例关系,常根据比例的性质引入,从而转化为已知三边求解.注3:利用余弦定理判断三角形形状的两种途径:(1)化边的关系:将条件中的角的关系,利用余弦定理化为边的关系,再变形条件判断.(2)化角的关系:将条件转化为角与角之间的关系,通过三角变换得出关系进行判断.注4:判断三角形时经常用到以下结论:(1)为直角三角形或或.(2)为锐角三角形,且,且.(3)为钝角三角形或或.(4)若,则或.4.正弦定理第34页，共50页学好高中数学，成就美好人生条件:在

25、中,角,所对的边分别为,.结论:.文字叙述:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.注:对正弦定理的理解(1)适用范围:正弦定理对任意的三角形都成立.(2)结构形式:分子为三角形的边长,分母为相应边所对角的正弦的连等式.(3)揭示规律:正弦定理指出的是三角形中三条边与其对应角的正弦之间的一个关系式,它描述了三角形中边与角的一种数量关系.5.正弦定理的变形:若为外接圆的半径,则(1),;(2),;(3);(4).注1:已知三角形的两角和任一边解三角形的思路(1)若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一角所对的边,再由三角形内角和定理求出第三个角.第35页，共50页学好高中数学，成就美好

26、人生(2)若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求另外两边.注2:已知两边及其中一边的对角解三角形的思路(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值;(2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角;(3)如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要分类讨论.注3:已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法(1)应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数;(2)在中,已知,和,以点为圆心,以边长为半径画弧,此弧与除去顶点的射线

27、的公共点的个数即为三角形解的个数,解的个数见下表:为钝角为直角为锐角一解无解一解无解一解一解两解无解无解一解无解注4:判断三角形形状的两种途径第36页，共50页学好高中数学，成就美好人生注意在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.6.基线:在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.7.基线与测量精确度的关系:一般来说,基线越长,测量的精确度越高.注:实际测量中的有关名称、术语名定义称仰在同一铅垂平面内,视线在水平线上方时与水平线角的夹角俯在同一铅垂平面内,视线在水平线下方时与水平线角的夹角图示方从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线向是指

28、正北或正南或正东或正西,方向角小于)角南偏西(指以正南方向为始边,转向目标方向线形成的角)第37页，共50页学好高中数学，成就美好人生方从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的位水平角角8.三角形的面积公式(1)(,分别表示边,上的高).(2).(3)(为内切圆的半径).注1:三角形的面积公式,实质上就是注2:三角形面积计算的解题思路与原来的面积公式中边上的高.(为边上的高)的关系为对于此类问题,一般用公式进行求解,可分为以下两种情况:(1)若所求面积为多边形,可通过作辅助线或其他途径构造三角形,转化为求三角形的面积.(2)若所给条件为边角关系,则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角,再利用

29、三角形面积公式进行求解.注3:三角形中几何计算问题的解题思路第38页，共50页学好高中数学，成就美好人生(1)正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点,善于应用正弦定理、余弦定理,只需通过解三角形,一般问题便能很快解决.(2)此类问题突破的关键是仔细观察,发现图形中较隐蔽的几何条件.注4:解三角形综合问题的方法(1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识联系在一起,要注意选择合适的方法、知识进行求解.(2)解三角形还常与向量、三角函数及三角恒等变换知识综合考查,解答此类题目,首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件,然后根据题目条件和要求选择正弦或余

30、弦定理求解.题型方法【知识点一向量在几何中的应用】例1.如图所示,在正方形中,分别是,的中点,求证:.变式训练例1如图,点,是平行四边形在同一直线上.的中心,分别在边,上,且.求证:点第39页，共50页学好高中数学，成就美好人生变式训练例2如图,平行四边形中,已知,对角线,求对角线的长.【知识点二向量在物理中的应用】例1在长江南岸某渡口处,江水以地渡过长江,其航向应如何确定?变式训练例1的速度向东流,渡船的速度为.渡船要垂直有一条两岸平行的河流,水流速度的大小为,小船的静水速度大小为船应朝_的方向行驶,实际行驶速度大小为_.答案.与水流方向成角；【知识点二向量在物理中的应用】,为使所走路程最短

31、,小例2.已知两恒力,作用于同一质点,使之由点移动到点,求,分别对质点所做的功.变式训练例2第40页，共50页已知两个力学好高中数学，成就美好人生的夹角为，它们的合力大小为，合力与的夹角为，那么的大小为()A.B.C.D.答案B【知识点三已知两边及一角解三角形】例1在A.BCD答案A变式训练例1中,则()（1）已知的内角,的对边分别为,则_答案（2）在中,解这个三角形.【知识点四已知三边(三边关系)解三角形】第41页，共50页例1在学好高中数学，成就美好人生中,已知,则最大角与最小角的和为()ABCD答案B变式训练例1在中,若,求的最大内角的余弦值.答案75【知识点四已知三边(三边关系)解三角

32、形】例2在中,若,则等于()ABCD答案B变式训练例2在中,角,所对的边分别为,且,则角的大小是答案【知识点五利用余弦定理判断三角形的形状】第42页，共50页学好高中数学，成就美好人生例1在中,若,试判断的形状.答案：直角三角形变式训练例1(1)在中,则一定是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形答案D(2)已知的内角,所对的边分别为,若,则的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定答案B【知识点六已知两角及一边解三角形】例1在中,已知,解这个三角形.变式训练例1在中,已知,则答案【知识点七已知两边及其中一边的对角解三角形】例1已知中的下列条件,解三角形:第43页，共50页学好高中数学，成就美好人生(1),;(2),.变式训练例1在中,则等于()A.或B.C.D.答案C变式训练例2已知在中,若三角形有两解,则的取值范围是答案【知识点八利用正弦定理判断三角形的形状】例1已知在中,角,所对的边分别是和,若,则一定是()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角