人教版九年级下册 反比例函数存在性问题解析版(综合复习)

1、反比例函数存在性问题解析版一相似1eqoac(,Rt)ABC在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数y（k0）在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，1），与AB边交于点E（2，n）（1）求反比例函数的解析式和n值；（2）当时，求直线AB的解析式；（3）设P是线段AB边上的点，在（2）的条件下，是否存在点P，以B、C、P为顶点的三角形与EDB相似？若存在，请直接写出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）D（4，1）、E（2，n）在反比例函数y的图象上，4k，2nk，k4，n2，反比例函数的解析式为y；（2）如图1，过点E作EHBC，垂足为H第1页（共49页）在RtBEH中，ta

2、nBEHtanA，EH2，所以BH1D（4，1），E（2，2），B（4，5）设直线AB的解析式为ykx+b，代入B（4，3）、E（2，2），得，解得：，因此直线AB的函数解析式为：yx+1；（3）存在，如图2，作EFBC于F，PHBC于H，当BEDBPC时，BF1，BH，第2页（共49页）CH，可得x+1，x1，点P的坐标为（1，）；如图eqoac(,3)，当BEDBCP时，EF2，BF1，由勾股定理，BE，BP，BF1，BH，CH，可得x+1，x，点P的坐标为（，），点P的坐标为（1，）；（，）二直角三角形1如图，已知直线OA与反比例函数y（m0）的图象在第一象限交于点A若OA4，直线OA与

3、x轴的夹角为60（1）求点A的坐标；（2）求反比例函数的解析式；第3页（共49页）（3）若点P是坐标轴上的一点，当AOP是直角三角形时，直接写出点P的坐标【解答】解：（1）如图1，过点A作AEx轴于E，AOE60，AEOE，OAE30，OEOA2，AEOE2，点A（2，2）；（2）反比例函数y的图象过点A，m224，反比例函数解析式为y（3）如图，；第4页（共49页）当点P1在y轴上时，且AP1O90，又AOP130，AP12，OP1AP12，点P1（0，2）；当点P2在x轴上，且AP2O90，又OAP230，OP22，点P2（2，0）；当点P3在y轴上，且P3AO90，又AOP330，OP3

4、2AP3，AOAP34，OP3，点P3（0，）；当点P4在x轴上，且P4AO90，AOP460，第5页（共49页）AP4O30，OP42OA8，点P4（8，0）；综上所述：点P的坐标为（0，2）或（2，0）或（0，）或（8，0）2如图，一次函数ykx+b（k0）与反比例函数的图象在第一象限交于A、B两点，A点的坐标为（m，4），B点的坐标为（3，2），连接OA、OB，过B作BDy轴，垂足为D，交OA于C若OCCA，（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（eqoac(,2)）求AOB的面积；（3）在直线BD上是否存在一点E，使得AOE是以AO为直角边的直角三角形，直接写出所有可能的E点坐标【解答

5、】解：（1）点B（3，2）在反比例函数y的图象上，a326，反比例函数的表达式为y，点A的纵坐标为4，点A在反比例函数y图象上，第6页（共49页）A（，4），一次函数的表达式为yx+6；（2）如图1，过点A作AFx轴于F交OB于G，B（3，2），直线OB的解析式为yx，G（，1），A（，4），AG413，eqoac(,S)AOBeqoac(,S)AOG+SABG33（3）如图2中，第7页（共49页）当AOE190时，点A（，4），直线AC的解析式为yx，直线OE1的解析式为yx，当y2时，x，E1（，2）；当OAE290时，可得直线AE2的解析式为yx+，当y2时，x，E2（，2）综上所述，满

6、足条件的点E坐标为（，2）或（，2）3已知：如图，一次函数y2x+10的图象与反比例函数y的图象相交于A、B两点（A在B的右侧），点A横坐标为4（1）求反比例函数解析式及点B的坐标；（2）观察图象，直接写出关于x的不等式2x+100的解集；第8页（共49页）（3）反比例函数图象的另一支上是否存在一点eqoac(,P)，使PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）把x4代入y2x+10得y2，A（4，2），把A（4，2）代入y，得k428反比例函数的解析式为y，解方程组，得，或，点B的坐标为（1，8）；（2）观察图象得，关于x

7、的不等式2x+100的解集为：1x4或x0；（3）存在，理由：若BAP90，过点A作AHOE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，第9页（共49页）对于y2x+10，当y0时，2x+100，解得x5，点E（5，0），OE5A（4，2），OH4，AH2，HE541AHOE，AHMAHE90又BAP90，AME+AEM90，AME+MAH90，MAHAEM，AHMEHA，即，MH4，M（0，0），第10页（共49页）可设直线AP的解析式为ymx，则有4m2，解得m，直线AP的解析式为yx，解方程组，得，点P的坐标为（4，2）若ABP90，同理可得：点P的坐标为（16，）综上所述：符合条件的点P的坐

8、标为（4，2）、（16，）4已知：一次函数y2x+10的图象与反比例函数y（k0）的图象相交于A，B两点（A在B的右侧）（1）当A（4，2）时，求反比例函数的解析式及B点的坐标；（2）在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点eqoac(,P)，使PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由第11页（共49页）【解答】解：（1）把A（4，2）代入y，得k428反比例函数的解析式为y解方程组，得，点B的坐标为（1，8）；（2）存在，理由：若BAP90，过点A作AHOE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，对于y2x+10，当y0时，2

9、x+100，解得x5，点E（5，0），OE5A（4，2），OH4，AH2，HE541第12页（共49页）AHOE，AHMAHE90又BAP90，AME+AEM90，AME+MAH90，MAHAEM，AHMEHA，即，MH4，M（0，0），可设直线AP的解析式为ymx，则有4m2，解得m，直线AP的解析式为yx，解方程组，得，点P的坐标为（4，2）若ABP90，同理可得：点P的坐标为（16，）综上所述：符合条件的点P的坐标为（4，2）、（16，）第13页（共49页）三平行四边形AB1如图，一次函数y1kx+b的图象与反比例函数y2的图象交于（2，m），（n，1）两点，连接OA，OB（1）求这个一

10、次函数的表达式；（eqoac(,2)）求OAB的面积；（3）问：在直角坐标系中，是否存在一点P，使以O，A，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）点A（2，m），B（n，1）在反比例函数y2上，2m6，n6，m3，A（2，3），B（6，1），点A（2，3），B（6，1）在一次函数y1kx+b上，一次函数的表达式为y1x+4；第14页（共49页）（2）如图1，记一次函数y1x+4的图象与x，y轴的交点为点D，C，针对于y1x+4，令x0，则y14，C（0，4），OC6，令y10，则x+40，x8，D（8，0），OD8，过点A作AEy轴

11、于E，过点B作BFx轴于F，A（2，3），B（6，1），AE2，BF1，eqoac(,S)AOBeqoac(,S)CODeqoac(,S)AOCeqoac(,S)BODOCODOCAEODBF4842818；（3）存在，如图2，BO当AB和OB为邻边时，点（6，1）先向左平移6个单位再向下平移1个单位到点（0，第15页（共49页）0），则点A也先向左平移6个单位再向下平移1个单位到点P（26，31），即P（4，2）；OA当OA和OB为邻边时，点（0，0）先向右平移2个单位再向上平移3个单位到点（2，3），则点B也先向右平移2个单位再向上平移3个单位到点P（6+2，1+3），即P（8，4）；AB

12、当AB和OA为邻边时，点（2，3）先向右平移4个单位再向下平移2个单位到点（6，1），则点O也先向右平移4个单位再向下平移2个单位到点P（0+4，02），即P（4，2）；点P的坐标为（4，2）或（4，2）或（8，4）2如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数yx+b的图象经过点A（2，0），与反比例函数y的图象交于点B（a，4）和点C（1）求一次函数和反比例函数的表达式；第16页（共49页）（2）若点P在y轴上，且PBC的面积等于6，求点P的坐标；（3）设M是直线AB上一点，过点M作MNx轴，交反比例函数y的图象于点N，若A，O，M，N为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标【解答】解：（1）

13、一次函数yx+b的图象经过点A（2，0），b2，直线解析式为yx+2，点B（a，4）在直线yx+2上，4a+2，a2，点B（2，4），反比例函数y的图象过点B（2，4），k248，反比例函数解析式为y；（2）如图1，设直线AB与y轴交于点D，点P坐标为（0，p），第17页（共49页）直线AB与y轴交于点D，点D（0，2），联立方程得：，解得：，或，C（4，2），eqoac(,S)PBCSBPD+SPDC，p0或4，P（0，0）或（0，4）；（3）如图2，设M（m2，m），则N（），第18页（共49页）以A，O，M，N为顶点的四边形为平行四边形，MNOA，OA2，MNOA2，或，点M坐标为（22

14、，）或（2，2）或（2，）或（2，）3如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数yx+b的图象经过点C（0，2），与反比例函数y（x0）的图象交于点A（1，a）（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）设M是反比例函数y（x0）图象上一点，N是直线AB上一点，若以点O、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标第19页（共49页）【解答】解：（1）点C（0，2）在直线yx+b上，b2，一次函数的表达式为yx+2；点A（1，a）在直线yx+2上，a3，点A（1，3），点A（1，3）在反比例函数y（x0）的图象上，k133，反比例函数的表达式为y；（2）由（1）知，直线AB的表达式为yx+

15、2，反比例函数的表达式为y，设点M（m，），N（n，n+2），若以点O、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形，则以OC和MN为对角线时，第20页（共49页）0，mN（，n，或m+2），（此时，点M不在第一象限，舍去），n，以CN和OM为对角线时，mn2+N（2+，或mn2），（此时，点M不在第一象限，舍去），以CM和ON为对角线时，mn或mn（此时，点M不在第一象限，舍去），N（，2+），即满足条件的点N的坐标为（，+2）或（2+，）或（，2+）4阅读理解：已知：对于实数a0，b0，满足a+b2，当且仅当ab时，等号成立，此时取得代数式a+b的最小值根据以上结论，解决以下问题：（1）拓展：若a

16、0，当且仅当a1时，a+有最小值，最小值为2；（2）应用：如图1，已知点P为双曲线y（x0）上的任意一点，过点P作PAx轴，PBy第21页（共49页）轴，四边形OAPB的周长取得最小值时，求出点P的坐标以及周长最小值；如图2，已知点Q是双曲线y（x0）上一点，且PQx轴，连接OP、OQ，当线段OP取得最小值时，在平面内取一点C，使得以O、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，求出点C的坐标【解答】解：（1）由题意得：a+22，故a+有最小值为2；此时a，解得a1（舍去负值），故答案为1，2；（2）设点P（x，），则四边形OAPB的周长2PB+2AP2（x+）2（2）8，此时x，解得x2（舍去负

17、值），则点P（2，2），故答案为：P（2，2），周长最小8；（3）设点P（x，），第22页（共49页）则由题意得：OP2x2+（）22x8，当OP最小时，x，解得x2（舍去负值），故点P（2，2），当y2时，y2，解得x4，即点Q（4，2），则PQ422，当PQ是边时，PQx轴，四边形OPQC为平行四边形时，点C在x轴上，即OCPQ2，则点C（2，0）或（2，0）；当PQ是对角线时，设点C的坐标为（x，y），由中点的性质得：（2+4）（x+0）且（2+2）（0+y），解得，故点C（6，4）故答案为：（2，0）、（2，0）或（6，4）四菱形1如图，在同一平面直角坐标系中，直线yx+2和双曲线y相

18、交于A、B两点第23页（共49页）（1）连结AO、BO，求出AOB的面积（2）已知点E在双曲线y上且横坐标为1，作EF垂直于x轴垂足为F，点H是x轴上一点，连结EH交双曲线于点I，连结IF并延长交y轴于点G，若点G坐标为（0，），请求出H点的坐标（3）已知点M在x轴上，点N是平面内一点，以点O、E、M、N为顶点的四边形是菱形，请你直接写出N点的坐标【解答】解：（1）如图1中，设AB交y轴于C由，解得或，A（2，4），B（4，2），第24页（共49页）直线AB交y轴于C（0，2），eqoac(,S)AOBeqoac(,S)AOC+SOCB22+246（2）如图2中，由题意E（1，8），F（1，0

19、），G（0，），直线FG的解析式为yx，由，解得或，I（，），直线EH的解析式为yx+令y0，解得x，H（，0）第25页（共49页）（3）如图3中，E（1，8），OE，当OM1是菱形的对角线时，E，N1关于x轴对称，可得N1（1，8）当OM为菱形的边时，可得N2（1+，8），N4（1，8）当OE为菱形的对角线时，连接M3N3交OE于T，EN3交y轴于PM3N3OE，OTM390，POETM3O，sinPOEsinOM3T，OM3，第26页（共49页）M3（，0），TN3TM3，T（，4），可得N3（，8），综上所述，满足条件的点N的坐标为（1，8）或（1+，8）或（1，8）或（，8）2如图，已

20、知直线ykx+b与反比例函数y（x0）的图象分别交于点A（m，3）和点B（6，n），与坐标轴分别交于点C和点D（1）求直线AB的解析式；（2）若点P是反比例函数第一象限内，直线CD上方一动点，当ABP面积为5时，求点P的坐标（3）若M是平面直角坐标系内一动点，在y轴上是否存在一动点Q，使以A、C、Q、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；否则，说明理由【解答】解：（1）把点A（m，3）、B（6，n）分别代入y得3m6，6n6，解得m2，n1，A（2，3），B（6，1），把A（2，3），B（6，1）代入ykx+b得，第27页（共49页）解得，直线AB的解析式为yx+4；（2）将直

21、线AB向右平移P，h个单位得到直线l，直线l与反比例函数的交点即为所求点过点D作DHl交于点H，设直线l交x轴于点M，由直线AB的表达式知，tanHMD，则sinHMD，则HDDMsinHMDhh，由点A、B的坐标知，AB2，则ABP面积ABh2h5，解得h，则DMh5，即直线AB向右平移5个单位得到直线l，则直线l的表达式为y（x5）+4，联立并解得：，故点P的坐标为（1，6）或（12，）；第28页（共49页）（3）存在，理由：设点P（a，b），点Q（0，t），由A、C的坐标知，AC25，当AC是边时，点C向右平移2个单位向下平移1个单位得到点A，同样点P（Q）向右平移2个单位向下平移1个单

22、位得到点点Q（P），则a+20且b1t且ACPC或a20且b+1t且ACQC，即a+20且b1t且a2+（b4）25或a20且b+1t且（t4）25，解得t4（舍去）或2或4，当AC是对角线时，由中点公式得：（2+0）（3+4）（b+t）且CPCQ，即a2+（b4）2（t4）2，解得t1.5；故点Q的坐标为（0，2）或（0，4+）或（0，4）或（0，1.5）3如图1，在平面直角坐标系中，直线yx+12与双曲线y交于A、B两点（点A在点B左边），过A、O两点作直线，与双曲线的另一交点为D，过B作直线AO的平行线交双曲线于点C（1）则点A坐标为（6，4），点B坐标为（3，8），并求直线BC的解析式

23、；（2）如图2，点P在y轴负半轴上，连接PB，交直线AO于点E，连接CE、PA，且eqoac(,S)PABeqoac(,S)BCE，将线段PO在y轴上移动，得到线段PO（如图3），请求出|PBOD|的最大值；（3）如图4，点M在x轴上，在平面内是否存在一点N，使以点C、D、M、N为顶点第29页（共49页）的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的N点坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）联立方程组，解得，A（6，4），B（3，8），设直线OA的解析式为ykx（k0），则46k，解得，k，第30页（共49页）直线OA的解析式为：yx，BCOA，设直线BC的解析式为yx+b，则8+b，解得

24、b6，直线BC的解析式为yx+6，故答案为：（6，4），（3，8）（2）A、D关于原点对称，A（6，4），D（6，4），设P（0，a），eqoac(,S)BCESBCA28（2）|（3）（6）|45，eqoac(,S)PAB249a，a4，P（0，4），将B向上平移4个单位，得到B1（3，12），设B1，B2关于Y轴对称，则B2（3，12），连接DB2并延长交y轴于O，|PBOD|的最大值DB2第31页（共49页）（3）联立方程组，解得，C（12，2），若CD为对角线，则M（8，0），N（10，6）若CD为边，且CDMD，则M（6+2，0），N（12+2，2）或M（62，0）N（122，2）若

25、CD为边，且CDMC，则M（6，0），N（0，2）综上所述，满足条件的点N的坐标为（10，6）或（12+2或（0，2），2）或（122，2）4如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点A、B在函数y（x0）的图象上，顶点C、D在函数y（x0）的图象上，其中0mn，对角线BDy轴，且BD第32页（共49页）AC于点P已知点B的横坐标为4（1）当m4，n20时，点B的坐标为（4，1），点D的坐标为（4，5），BD的长为5若点P的纵坐标为2，求四边形ABCD的面积若点P是BD的中点，请说明四边形ABCD是菱形（2）当四边形ABCD为正方形时，直接写出m、n之间的数量关系【解答】解：（1）当x4时

26、，y1，点B的坐标为（4，1）；当y2时，2，解得：x2，点A的坐标为（2，2）；当n20时，y，当x4时，y5，故点D（4，5），BD514，故答案为（4，1）；（4，5）；4；BDy轴，BDAC，点P的纵坐标为2，第33页（共49页）A（2，2），C（10，2）AC8，四边形ABCD的面积ACBD8416；四边形ABCD为菱形，理由如下：由得：点B的坐标为（4，1），点D的坐标为（4，5），点P为线段BD的中点，点P的坐标为（4，3）当y3时，3，解得：x，点A的坐标为（，3）；当y3时，3，解得：x，点C的坐标为（，3）PA4，PC4，PAPCPBPD，四边形ABCD为平行四边形又BDA

27、C，四边形ABCD为菱形；（2）四边形ABCD能成为正方形第34页（共49页）当四边形ABCD为正方形时，设PAPBPCPDt（t0）当x4时，y，点B的坐标为（4，），点A的坐标为（4t，+t）点A在反比例函数y的图象上，（4t）（+t）m，化简得：t4，点D的纵坐标为+2t+2（4）8，点D的坐标为（4，8），4（8）n，整理，得：m+n32即四边形ABCD能成为正方形，此时m+n325已知：如图，正比例函数y1kx（k0）的图象与反比例函数y2的图象相交于点A和点C，设点C的坐标为（2，n）（1）求k与n的值；（2）点B是x轴上的一个动点，连结AB、BC，作点A关于直线BC的对称点Q，在

28、点B的移动过程中，是否存在点B，使得四边形ABQC为菱形？若存在，求出点B的坐标；若不存在请说明理由第35页（共49页）【解答】解：（1）把点C的坐标（2，n）代入y2，解得：n3，点C的坐标为（2，3），把点C（2，3）代入y1kx得：32k，解得：k；（2）存在，理由：如图1，当点B在x轴的正半轴且ABAC时，四边形ABQC为菱形第36页（共49页）点A与点Q关于直线BC对称，ACQC，ABQB，ACQCABQB四边形ABQC为菱形由（1）中点C的坐标（2，3），可求得：OC，点A与点C关于原点对称，点A的坐标为（2，3），OAOCACAB2，AC2，过点A作AHx轴于点H，则AH3在Rt

29、AHB中，由勾股定理得：BH，又OH2，OBBHOH点B的坐标为（2，2，0）；如图2，当点B在x轴的负半轴且ABAC时，四边形ABQC为菱形过点A作ATx轴于点T，第37页（共49页）同理可求得：BT，又OT2，OBBT+OT点B的坐标为（+2，2，0），综上，当点B的坐标为（2，0）或（2，0）时，四边形ABQC为菱形五等腰三角形1如图，一次函数yx+1的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C（2，m）（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在y轴正半轴上，且与点B，C构成以BC为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标第38页（共49页）【解答】解：（1）点

30、C（2，m）在一次函数yx+1的图象上，把C点坐标代入yx+1，得m（2）+13，点C的坐标是（2，3），设反比例函数的解析式为，把点C的坐标（2，3）代入得，解得k6，反比例函数的解析式为；（2）在直线yx+1中，令x0，则y1，B（0，1），由（1）知，C（2，3），BC2，当BCBP时，BP2，OP2P（0，2+1，+1），当BCPC时，点C在BP的垂直平分线，P（0，5），即满足条件的点P的坐标为（0，5）或（0，）2如图，在平面直角坐标系中，点A（2，m）在正比例函数yx（x0）的图象上，反第39页（共49页）比例函数y（x0）的图象经过点A，点P是x轴正半轴上一动点，过点P作x轴的

31、垂线，与正比例函数yx（x0）的图象交于点C，点B是线段CP与反比例函数的交点，连接AP、AB（1）求该反比例函数的表达式；（2）观察图象，请直接写出当x0时，x的解集；（3）若eqoac(,S)ABP1，求B点坐标；（4）点Q是A点右侧双曲线上一动点，是否存在APQ为以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）当x2时，yx3，故点A（2，3），将点A的坐标代入反比例函数表达式得：3，解得k6，故反比例函数表达式为y；（2）观察图象，请直接写出当x0时，x的解集为0 x2；第40页（共49页）（3）设点B（m，），则eqoac(,S)ABPBP

32、（xBxA）|（m2）|1，解得m3或1.5，故点B的坐标为（3，2）或（1.5，4）；（4）存在，理由：设点Q的坐标为（t，），点P（n，0），APQ为以P为直角顶点的等腰直角三角形，故APQP，APQ90，过点A、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N，APM+QPN90，QPN+PQN90，APMPQN，AMPPNQ90，APQP，AMPPNQ（AAS），AMPN，PMQN，即n2且tn3，第41页（共49页）解得t6，故点Q（6，1）3已知一次函数ykx+b与反比例函数y的图象交于A（3，2）、B（1，n）两点（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（eqoac(,2)）AOB的面积为8；

33、（3）直接写出不等式kx+b的解集0 x1或x3；（4）点P在x的负半轴上，当PAO为等腰三角形时，直接写出点P的坐标【解答】解：（1）反比例函数y经过点A（3，2），m6，点B（1，n）在反比例函数图象上，n6B（1，6），把A，B的坐标代入ykx+b，则，解得，一次函数的解析式为y2x4，反比例函数的解析式为y；第42页（共49页）（2）如图设直线AB交y轴于C，则C（0，4），eqoac(,S)AOBeqoac(,S)OCA+SOCB43+418，故答案为8；（3）观察函数图象知，kx+b的解集为0 x1或x3，故答案为0 x1或x3；（4）由题意OA，当AOAP时，可得P1（6，0），当OAOP时，可