10道经典高中数学题

1、 -1.设 Sn 是等差数列An的前 n 项和,又 S6=36,Sn=324,S(n-6)=144则, n=Sn 是等差数列S6=a1*6+6(6-1)/2*d=36，则 2a1+5d=12.&最后六项的和 S=an*6-6(6-1)/2*d=6an-15dS(n-6)=Sn-S=324-(6an-15d)=144,则 2an-5d=60.&+:a1+an=36Sn=(a1+an)/2*nn=18解:Sn-S(n-6)=a(n-5)+a(n-4)+.an=324-144=180而 S6=a1+a2+.a6=36有Sn-S(n-6)+S6= a1+a2+.a6+ a(n-5)+a(n-4)+.a

2、n=6(a1+an)=180+36=216则 (a1+an)=36Sn=n(a1+an)/2=324即 36n/2 =324所以 n=182.f(*)=(*-1)2,g(*)=4(*-1),f(an和) g(an)满足，a1=2,且(an+1-an)g(an)+f(an)=0(1)是否存在常数C，使得数列an+C为等比数列？假设存在，证明你的结论；假设不存在，请说明理由。2设 bn=3f(an)-g(an+1)2，求数列bn的前 n 项和 Sn(1)存在C=-1证明如下 (an+1-an)g(an)+f(an)=0 将 f(*)、g*)带入并化简得 4an+1 - 3an -1 =0 变形为

3、4(an+1 -1)=3(an -1)所以 an-1 是以 3/4 为等比 1 为首项的等比数列(2)an-1=(3/4)nbn=3f(an)-g(an+1)2 将 f(an) g(an+1)带入不要急着化简 先将 an+1 - 1 换成 3/4 (an-1)化简后 bn=-6(an -1)2=-6*(9/16)nbn 是首项为-27/8 等比是 9/16 的等比数列Sn=a1(1-qn)/(1-q)=54/7(9/16)n-54/7函数 f(*)=*2+a*+b,当实数 p,q 满足 p+q=1,试证明 pf(*)+qf(y)=f(p*+qy)pf(*)+qf(y)=f(p*+qy) p*2

4、+pa*+pb+qy2+qay+qb=(p*+qy)2+ap*+aqy+b p*2+qy2=(p*+qy)2 p*2+qy2=p2*2+q2y2+2pq*y (p-p2)*2+(q-q2)y2=2pq*y将 q=1-p 代入，化简得(p-p2)(*2+y2)=2(p-p2)*y *2+y2=2*y.z. - p-p20 pp2 0=p=4000当且仅当 16/n=n 即 n=4 时总费用最少，故以每年进货 4 次为宜4.f(*)=a*22a*+1=0 有两正根*1,*2,且 10 为常数,.z. -(1)假设 y=f(w*)在区间-/2，2/3上是增函数，求w 的取值范围(2)设集合 A=*/

5、6=*=2/3,B=*f(*)-m2假设,A 属于 B,求实数 m 的取值范围解.f(*)=2sin*1-cos(*+/2)+1-2sin*=2sin*(1+sin*)+1-2sin*=2sin*+1(1)y=f(w*)=2sinw*+1因在区间-/2，2/3上是增函数，所以最小正同期 T=2/w2(/2+2/3)即 0w6/7,即-3/7w*4/7而-/2+2kw*/2+2k时，f(*)单调递增则必有 k=0,即-/2w*/2 时递增，则必有 2w/3/2,即 w3/4所以 w 的取值范围(0,3/4(2)|f(*)-m|=|2sin*+1-m|2,则 m-32sin*1+m 即(m-3)/

6、2sin*(1+m)/2而当/6*2/3 时，有 1/2sin*1因为 A 属于 B，必有(m-3)/21解得 1m0 且 a1,数列 an 的前项和为Sn，它满足条件(a 的 n-1 次方/Sn=1-1/a，数列 bn 中,bn=anlga 的 n 次方1求数列bn 的前 n 项和 Tn2假设对一切n正整数，都有Bn1 时：因为(an-1)/Sn=1-1/a=(a-1)/a，所以 Sn=a(an-1)/(a-1)，继而推得：S(n-1)=aa(n-1)-1/(a-1).所以 an=Sn-S(n-1)=a(an-1)/(a-1)-aa(n-1)-1/(a-1)=an.而 a1=a=a*1，符合

7、上式，所以数列an的通向公式 an=an.则 bn=n*an*lga.设数列bn的前 n 项和是 Tn，则Tn=1*a1*lga+2*a2*lga+3*a3*lga+n*an*lgaaTn=1*a2*lga+2*a3*lga+(n-1)*an*lga+n*a(n+1)*lga两式相减，得：(1-a)Tn=lga*(a1+a2+a3+an)-n*a(n+1)*lga=(lga)*a(1-an)/(1-a)-n*a(n+1)*lga所以 Tn=a(lga)(1-an)/(1-a)2-n(lga)*a(n+1)/(1-a).(2)由题意：b(n+1)-bn=(n+1)*a(n+1)*lga-n*an*lga=an*lgan(a-1)+a0.因为 an0，所以 lgan(a-1)+a0.当 a1 时，n(a-1)+a0，所以 an(a