习题反常积分的收敛判别法

1、 /18习题8.2反常积分的收敛判别法1.证明比较判别法(定理8.2.2)；举例说明，当比较判别法的极限形式中l=0或+s时，J+sp(x)dx和aJ+sf(x)dx的敛散性可以产生各种不同的的情况.a解(1)定理8.2.2(比较判别法)设在a,+s)上恒有0f(x)0，巩上a，VA，仁A0：JA(x)dxA于是|JAf(x)dx|JAKp(x)dx0，VAa，3A,A,A:JAf(x)dxKe000A于是JAp(x)dxJAA1AKf(x)dxe0，所以J+sp(x)dx也发散.a(2)设在a,+s)上有f(x)0,p(x)0，且limf(x)=0则当J+sf(x)dx发散xT+s时，J+s

2、P(x)dx也发散；但当J+sf(x)dx收敛时，J+sp(x)dx可能收敛，也可能发aaa散.例如f(x)=，P(x)=丄(0p2)，贝ylim=0显然有x2xpxt+sp(x)J+sf(x)dx收敛，而对于J+sp(x)dx，则当1p2时收敛，当0p0,申(x)0,且limf(x)=.则当f+TOf(x)dx收XT+g敛时，卜s(x)dx也收敛；但当J+gf(x)dx发散时，卜暂(x)dx可能发散，也可能aaa收敛.例如f(x)=丄,申(x)=(p1)，贝ylim竺=+g.显然有XxP2xT+gJ+gf(x)dx发散，而对于J+g申(x)dx，则当1p1时收敛.112证明Cauchy判别法

3、及其极限形式(定理8.2.3).证定理8.2.3(Cauchy判别法)设在a,+g)u(0,+g)上恒有f(x)0，K是则卜f(x)dx收敛;a则J+gf(x)dx发散.a正常数.若f(x)1,xp(2)若f(x)，且p0，且limxpf(x)=l，xT+g则若0l1，则J+gf(x)dx收敛；a若0l+g，且p0时有11一1+xsinx1+x而积分I+80dx发散,所以积分I+8011+xIsinxIdx发散.(4)当xT+8时,xq11+xpxp_q所以在pq1时，积分f+Vxdx收敛，在其余情况下积分11+xpJ+8dx发散.11+xp证明：对非负函数f(x),(cpv)I+sf(x)d

4、x收敛与I+sf(x)dx收敛是等价的.TOC o 1-5 h z8S证显然，由I+Sf(x)dx收敛可推出(cpv)I+Sf(x)dx收敛，现证明当f(x)0时ss可由(cpv)I+Sf(x)dx收敛推出I+Sf(x)dx收敛.ss由于(cpv)I+sf(x)dx收敛，可知极限slimF(A)=limIAf(x)dxAt+sAt+sA存在而且有限，由Cauchy收敛原理，Vs0，3A00，VA,A,A0:|F(A)F(A)|A，成立00|IAf(x)dx|F(A)F(A)|s与I-Bf(x)dx|F(B)F(B)|lnx而积分I込|sin2x匹1(1-cos2x),lnx2lnx|J+8|l

5、n1nxdx发散，+8卜cos2xdx收敛，所以积分J+8sinxdx发散，2|lnxI2IlnxI2lnx即积分J+8sinxdx条件收敛.2lnxTOC o 1-5 h zsinx1r1(2)当p1时，1时积分xpxp1xpJ+8沁dx绝对收敛；1xp当0p1时，因为F(A)=JAsiixdx有界，在1,+8)单调，且1xplim=0，由Dirichlet判别法，积分J+8血“dx收敛；但因为当0p1时积xT+8xp1XP分J+81sinxIdx发散，所以当0p1时，1时积分xp2xp1xpJ+8sinxarctanxdx绝对收敛；1xp当0p1时，因为F(A)=JAsinxdx有界，ar

6、ct3x1在l,+8)单调，且1xpHmarc匹二0，由Dirichlet判别法，积分广血Xarctanxdx收敛；但因为当xt+8xp1XP0P1时积分j+8arctanx-1sinxdx发散，所以当0pm+1且x充分大时，有Pmx)sinxm+1时积分q(x)x2nj+8Pmx)sinxdx绝对收敛.aq(x)n当n=m+1时，因为F(A)=j1Asinxdx有界，且当x充分大时，需单调n且limPm(x)=0，由Dirichlet判别法可知jxT+8q(x)n+8Zm凹sinxdx收敛；但由于当aq(x)nP(x)a HYPERLINK l bookmark20 o Current Do

7、cument xT+8时,m.q(x)xn分j+8上竺sinxdx条件收敛.aq(x)n当n0，若当x属于b的某个左邻域b-n0,b)时，存在正常数K，使得f(x)且p1则Jbf(X)dx收敛;af(x)(bF；且p则Jbf(x)dx发散.aJT一-一dxb-n(b-x)p由于Jb-n，f(x)dxbqJrdxs,b-q(b-x)p所以Jbf(x)dx收敛.a证(1)当p0，350，Vn,ne(0,8):由于Jb-qf(x)dxJb-q-,Kb-q(b-x)pdxs0，所以Jbf(x)dx发散.a(2)当p1时，积分Jb-dx发散，由反常积分的Cauchy收敛原理,a(b-x)pJb-q一-一

8、dxb-q(b-x)p玉00，V50，3q,qw(0,5):推论(Cauchy判别法的极限形式)设在a,b)上恒有f(x)0，且lim(b一x)pf(x)=l，xTb则若0l+8，且p1，则Jbf(x)dx收敛；a若0l1，则Jbf(x)dx发散.a证(1)由lim(b一x)pf(x)=l(p1,0l0，Vxg(b-5,b):f(x)1,0l0，Vxg(b-5,b):f(x)l2(b-x)p再应用定理8.2.3,的(2).定理8.2.5，若下列两个条件之一满足，则Jbf(x)g(x)dx收敛：a(Abel判别法)Jbf(x)dx收敛，g(x)在a,b)上单调有界；a(Dirichlet判别法)

9、F(n)=Jtf(x)dx在(0,b-a上有界，g(x)在a,b)上a单调且limg(x)=0.xb证(1)设Ig(x)lG，因为Jbf(x)dx收敛，由Cauchy收敛原理，as-2G由积分第二中值定理，JAf(x)g(x)dxA1g(A)小f(x)dx+AGJ：f(x)dx+GJA，f(x)dx0,360,VA,Ae(b6,b):JA，f(x)dx(2)设IF(n)IM，于是VA,Aea,b)，有JAf(x)dx0，360，Vxe(b6,b)，有|g(x)由积分第4M二中值定理，Jaf(x)g(x)dxA1g(A)小f(x)dx+1g(A)|JAA，f(x)dx,ss2MIg(A)I+2M

10、Ig(A)I0充分XT0+X21(2)因为lim-二-，且对任意061,XTl-X212小时，有|1所以积分J1dx收敛.0X21(3)因为cos2xsin2x(xT0+),cos2xsin2x以积分J21.dx发散.0COS2xsin2x(4)因为1COsx(xT0+),xp2xp2所以当p3时积分J2dx发散.0 xp(5)首先对任意的060充分x-0+11小时，有|lnx|p1时，积分x6(1一x)-pJ1IlnxIpdx收敛，当p0,q0时积分J1xp1(1x)q1dx收敛，在其余情况下积分0J1xp1(1x)q1dx发散.0(7)xp-1(1x)q-1IlnxI1(1x)q(xT1)

11、，且xp1(1一x)q1|lnx|0充分小时，有x-0+所以当p0,q1时积分J1xp-1(1x)q-1IlnxIdx收0敛，在其余情况下积分J1xp-1(1x)q-1IlnxIdx发散.0 /188.讨论下列反常积分的敛散性:f1_dx(p,qeR+);o1Inxf+8dx;o3x(x1)2(x2)f+80ln(1+x)dx;xpf+8arCtanxdx；0 xptanxf兀/2dx;f+8xp1exdx;0 xp0f+81dx;f+8dx.0 xp+xq2xplnqx解（1）f10 xp1xq11xp11xq11xp1一xq1.dx=f2dx12dx+11dx.lnx0lnx0lnx1ln

12、x2当p0,q0时积分f2-dx与积分f2-dx显然收敛，且当xT1olnx0lnx时,xp1xq1lnx,+(x1)p1H+(x1)q一1Lpq)(x1)x一1InG+(x-1)即f1xp-1-xq-1dx不是反常积分，所以积分f1lnx02xp一1一xq1dx收敛.lnxdx=3x(x一1)2(x一2)幻x(x一1)2(x一2)dx+f213x(x1)2(x2)dx+f+82,dx.3x(x1)2(x2)因为3x(x1)2(x2)11/n、(x0+)，321x313x(x1)2(x2)(xT1-)，2(x一1)3所以积分x（dx收敛;因为x-1)2(x-2) /183x(xI)2(x2)2

13、(x-1)313x(x1)2(x2)1V2(x2),1(x-2)3dx收敛;(x2+),1(x-2)3所以积分f213x(x-1)2(x-2)因为11x(x-1)2(x-2)3213x(x1)2(x2)所以积分广8213x(x1)2(x2)dx收敛.由此可知积分严013x(x1)2(x2)dx收敛.TOC o 1-5 h z(3)十ln(1+x)dx=f1ln(1+x)dx+f+-ln(1+x)dx.0 xP0 xP1xP由ln(1+x)1(xT0+)，可知当p2时，积分f1呗+x)dx发散；0 xp当p1时，limx2-ln(1+x)=0，即当x0充分大时，有xT+xxpln(1+x)1，可

14、知当p1时，积分f+xln(1+x)dx收敛，当xp3p-121xpx2p1时，积分f+n(l+x)dx发散；1xp综上所述，当1p2时，积分f+xln(1+x)dx收敛，在其余情况下积分0 xpf+x型匕dx发散.0 xpTOC o 1-5 h z“arctanx1arctanx丄arctanx(4)j+sdx=J1dx+J+8dx.0 xp0 xp1xp由arctanx丄(x一十)，可知当卩1时积分J+sarctanxdx收敛.xp2xpixp所以当1p2时积分j+sarctanxdx收敛，在其余情况下积分0 xpj+s竺业dx发散.0 xp/、(，八i1tanx(八；tanxr/nJta

15、nx(5)/2dx二卜/4dx+JK/2dx.0 xp0 xp兀/4xp由、tanx一1(xT0+)，可知当p时积分J兀/八tan%dx发散;20 xp由工岂(xT-)，可知积分卩/2卫丑dx收敛.xp/兀x12兀/4xp兀p(x)22I所以当p2时积分卩/2豆dx发散.0 xp(6)J+sxp1exdx0J1xp1exdx+J+sxp1exdx.01由于积分J+sxp-1e-xdx收敛,11及xp-1e-x(xT0+)，所以当p0时x1p积分J+sxp1exdx收敛，当p0时积分J+sxp1exdx发散.00J+s0 xp1+xqdx=J】0 xp+xqdx+J+s-1xp+xqdx.当p=

16、q时，显然积分J+s0 xp1+xqdx发散;当p丰q时，由于亠1(xT0+)，(xT+生)，xp+xqxmin(p,q)xp+xqxmax(p,q)所以当min(p,q)1时积分f+w0dx收敛,xp+xq其余情况下积(8)设p1,则对任意的q,当x充分大时，有11xplnqxp+1x2可知积分f+TO1一dx收敛.2xplnqx设p一p+1x2可知积分J+dx发散.2xplnqx设p=1，令lnx=t，则J+8dx2xplnqx二严d,ln2tq由此可知当p1或p=1,q1时积分W2xplnqx9.讨论下列反常积分的敛散性:f+s玉丄dx;01+x2丄sesinp11xp11由(xT0+)

17、，(xT+s)，可知当0p0);11+xp+sesinxsin2x,J+sdx;0 xp.(1)sinx+f+s_V_耳dx(p0).1xp解(1)f+s旦dxJUdx+f+s6dx.01+x201+x211+x2分J+8dx收敛，在其余情况下积分J+8dx发散.01+X201+X2当qp-1时，由口皿X1丄，可知积分卜sXq沁Xdx绝对收+xpxp-qi1+xp敛.当p-1qp时，因为F(A)=fAsinxdx有界，当x充分大时妙单11+xp调减少，且lim-=0，由Dirichlet判别法，积分j+s血xdx收敛；xT+s1+xp11+但因为积分J+s-dx发散，所以当p-1qp时，由于n

18、Ts时J2nn+n乂sinxdx不趋于零，可知积分2ne1+xpJ+s半如dx发散.11+xp+sesinxcosx1esinxcosx+sesinxcosx,TOC o 1-5 h zJ+sdx=J1dx+J+sdx.0 xp0 xp1xp由esinxcosx丄(xT0+)，可知当p1时积分J1esinxcosxdx收敛，在其xpxP0 xp余情况下积分J14兰dx发散.0 xp当P1时，易知积分J+sesinxlcosx1dx发散；当P0时，易知积分1xpJ+sesnH空dx发散.1xp、1当0p1时，因为JAesinxcosxdxe-1，单调减少，且lim=0，1xpxT+sxp由Dir

19、ichlet判别法；可知积分J+C0Sxdx收敛.1xp综上所述，当0P1时，积分J+sesinxcosxdx条件收敛，在其余情况下积0 xp丄sesinxCOSX,分J+sdx发散.TOC o 1-5 h z0XP丄小esinxsin2x1esinxsin2x丄小esinxsin2x,(4)J+8dx二J】dx+J+8dx.XPXP0 xp0 xp1由esinxsin2x2(xT0+)，可知当p2时积分J戶nxsin2xdx收敛,xPxpT0 xp在其余情况下积分Jiesinxsin2xdx发散.0 xp当1p2时，显然积分J+s1sin2x1dx收敛；当p1时，易知积分1xpJ+S貿土凹d

20、x发散；当p0时，易知积分J+sest吐dx发散.1xp1xp当0p1时,因为J(k+1)兀esinxsin2xdx二0，可知JAesinxsin2xdx有界,01xp单调减少,lim=0，由Dirichlet判别法，可知积分xT+SxpJ+sesinxsin2xdx收敛.TOC o 1-5 h z1xp综上所述，当1p2时积分J+Sesinxsin2xdx绝对收敛，当0p1时积分0 xpJ+sx矶“dx条件收敛，在其余情况下积分J+sx矶“dx发散.0 xp0 xp(5)令t=丄，则x2J1丄cos丄dx=0 xpx2J+scostdt.213p11于是可知当p1时积分J1COAdx绝对收敛

21、；当1p3时积分J1丄cos丄dx发散.0 xpx20 xpx2n=1(1)(1)sinx+1时，因为dx绝对收敛.兀当0p-_n兀+I2丿-，而级数P1(兀)pn兀+I2丿发散,所以积分严1(1)sinx+Ix丿dx发散；又因为XPsin(x+J+8x1xpdx=J+81.1sincosx+cossmxxxdx，注意至U当x充分大时,xp1sinx与xp1cos一x都是单调减少的，由Dirichlet判别法可知积分J+8xp1.(1)sinx+Ix丿xpdx收敛，所以积分J+81.(1)sinx+Ix丿xpdx条件收敛.10证明反常积分J+8xsinx4sinxdx收敛.0证对任意AAA，由

22、分部积分法，JAxsinx4sinxdx=-JAAA4x2AA-sinx”八d(cosx4)Acosx4cosxAcosx4sinx+JdxJdx.4x2AI4x2丿显然，当AT+8时，等式右端的三项都趋于零，由Cauchy收敛原理，可知反常积分J+8xsinx4sinxdx收敛.011.设f(x)单调，且当xT0+时f(x)T+8，证明：J1f(x)dx收敛的必要条0件是limxf(x)=0.x0+证首先由f(x)的单调性，对于充分小的0 x1，有x0a-f(x)0，且01x(lnx)f(x)a，VxA，有|f(x)|A时，xT+a成立f2(x)If(x)|.因为积分卜f(x)dx绝对收敛，于是由比较判别法，a积分f+af2(x)dx收敛.a若f+af2(x)dx收敛，则称f(x)在a，+a)上平方可积(类似可定义无界函数在a,b上平方可积的概念).对两种反常积分分别探讨f(x)平方可积与f(x)的反常积分收敛之间的关系；对无穷区间的反常积分，举例说明，平方可积与绝对收敛互不包含；对无界函数的反常积分，证明：平方可积必定绝对收敛，但逆命题不成立.解(1)J+gf(x)dx收敛不能保证J+gf2(x)dx收敛，例如：f(x)=響,TOC o 1-5 h zaa才x则J+gf(x)dx收敛，但J+gf2(x)dx发散；11J+gf2(x)dx收敛不能保证J+gf(