二次曲线动弦中点轨迹问题

1、关于二次曲线动弦中点轨迹问题第一张，PPT共十三页，创作于2022年6月实系数方程 ax2+bx+c=0(a0)的两根x1,x2(x1x2)则有=b2-4ac0 曲线的参数方程 x=f(k)y=g(k)消参F(x,y)=0abx1+x2=-cax1x2=第二张，PPT共十三页，创作于2022年6月解法一:(点差法)设A(x1,y1),B(x2,y2) AB中点P(x,y) 则有x12+y12=4 x22+y22=4 两式相减得： 例1：直线y=x+b与圆x2+y2=4 相交于不同两点A、B,求弦中点P的轨迹方程。（普通方程）x1-x2y1-y2k=y1+y2x1+x2-=xy-又k=1 所以y

2、=-x,又由直线与圆相交得22- x 所以y=-x( )为所求轨迹方程22- x 022-2b2 2x1+x22b又x=- 2y1+y22by=消去b得：y=-x( )22- x 所以y=-x( )22- x 为所求轨迹方程。第四张，PPT共十三页，创作于2022年6月解法三： 设弦中点为P(x,y),由题可得OPAB，当x0时有KOPKAB=-1,所以 1=-1即y=-x 又x=0也适合,所以y=-x(- x )为所求轨迹方程。22yx解法四： (向量法)设弦中点P(x,y),直线AB的方向向量为 =(1,1)又 即 =0 所以x+y=0即y=-x(- x )为所求轨迹方程。nopABopn

3、22第五张，PPT共十三页，创作于2022年6月2yxy=x+by=-x第六张，PPT共十三页，创作于2022年6月例2: 过点M(-1,-1)作直线与圆x2+y2=4相交于不同两点A、B,求弦AB中点P的轨迹方程。x2+y2 +x +y=0M（-1，-1）yx2 第七张，PPT共十三页，创作于2022年6月问题1:所求的两个方程各表示什么轨迹？3. y=2x2-3,抛物线型4. x2+2y2+x+2y=0,椭圆型问题3: 比较上面四题结论的异同，请猜测哪些条件对结论起了决定性的作用？1. 构成动弦的直线形式2. 二次曲线的形状问题4:你能否从上面的问题中探索出规律性结论吗？平行直线系所构成的

4、动弦中点轨迹为直线型，过定点的直线系所构成的动弦中点轨迹与原二次曲线同型。 问题2:将例1、例2中的圆换为抛物线： y=x2-2x+2或者椭圆x2+2y2=1,所求轨迹又如何？例1为直线的一部份，例2为圆。1. x= ,直线型322. y= ,直线型x2-第八张，PPT共十三页，创作于2022年6月问题5：直线y=kx+m(k为常数）与曲线ax2+by2=1(ab0)相交于不同两点A、B则弦AB中点轨迹是什么类型？问题6: 过点M(a、b)(a、b为常数)的直线与双曲线x2-4y2=1相交于不同两点A、B，求弦AB中点的轨迹方程？轨迹方程为x2-4y2-ax+4by=0轨迹方程为y=- ,轨迹

5、为直线型bkax第九张，PPT共十三页，创作于2022年6月问题7：判断问题6中所求的轨迹是什么曲线？问题8：根据问题6、问题7修正问题4中所探索的规律性结论，并给予证明(课外完成)。(x- )2-4(y- )2= -b2a2b2a241) -b2=0即b= 时为两直线a2a242) -b20即b 时为双曲线型a2a24第十张，PPT共十三页，创作于2022年6月小结：二次曲线动弦中点轨迹的求法一个结论(特殊到一般，简单到复杂，先猜后证)第十一张，PPT共十三页，创作于2022年6月作业：已知椭圆x2+2y2=2,(1)求被点P（ , ）平分的弦所在直线方程；(2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹。(3)过A(2,1)引椭圆的割线，求截得弦的中点轨迹。1212抛物线y=x2-2x+2与直线y=mx交于P1、P2两点(1)求线段P1P2中点Q的轨迹方