华师大版八年级上册数学课件（第13章 全等三角形）

1、第13章 全等三角形13.1 命题、定理与证明第1课时 命 题1课堂讲解命题 真命题和假命题 举反例2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升 你玩过拼图游戏吗？那是用许多各种颜色的小拼板拼成一幅幅美丽的 图画.那些拼板有不少是形状相同、大小一样的.它们相互之间有什么关系呢？发挥你的智慧，想想看！1知识点命题我们已经学过一些图形的特性，例如：（1）三角形的内角和等于180;（2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；（3）两直线平行，同位角相等；（4）直角都相等.知1导知1讲 命题的定义及要点分析： 1.定义：判断一件事情的语句，叫做命题 要点精析：(1)命题必须是一个完整的句子，且具有“判断”作用

2、(2)命题只需具有“判断”功能，而不论这个判断正 确与否知1讲 2.命题的组成：命题由条件和结论两部分组成条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项呈现方法：命题一般为“如果，那么”的 形式；其中“如果”后接的部分是条件，“那么”后 接的部分是结论注：有些命题的条件和结论不明显，可将它经过适 当变形，改写成“如果，那么”的形式 例1 下列语句中：(1)时间都去哪儿了？(2)画一条直线的平行线；(3)长方形的四个角都是直角；(4)4不是偶数命题共有() A1个B2个C3个D4个知1讲 B导引：紧扣命题的定义进行判断：(1)是一个疑问句，没有作出判断，所以不是命题；(2)没有包含判断的意思，所以不

3、是命题；(3)对一件事情作出了肯定的判断，所以是命题；(4)对事情作出了否定的判断，所以是命题总 结知1讲 命题是表示判断的语句，它包含有因果关系，一般都是以陈述句的形式展现；其他如疑问句、感叹句、祈使句以及表示画图的语句都不是命题 例2 把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果，那么”的形式，并分别指出 该命题的条件与结论.知1讲（来自教材P54）解：这个命题可以写成“如果一个三角形的三 个角都相等，那么这个三角形是等边三角形该命题的 条件是“一个三角形的三个角都相等”，结论是“这个三 角形是等边三角形.总 结知1讲 (1)命题改写的原则：不改变命题的原意；为了改写后的语句通畅

4、且保持原意，应适当地增加或删减词语或调换词序；(2)命题改写的方法：先搞清命题的条件(已知事项)部分和结论部分；再将其改写为“如果，那么”的形式：“如果”后面跟的是已知事项，“那么”后面跟的是由已知事项推出的事项(即结论)1 下列语句：钝角大于90；两点之间，线段最 短；希望明天下雨；作ADBC；同旁内角不互补，两直线不平行其中是命题的是()A B C D2 命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行” 的题设是() A平行 B两条直线 C同一条直线 D两条直线平行于同一条直线知1练 2知识点真命题和假命题知2讲1命题的种类： (1)真命题：如果条件成立，那么结论一定成立， 这样的命题叫真命题

5、(2)假命题：条件成立时，不能保证结论一定成 立，这样的命题叫假命题 例3 指出下列命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题(1)互为补角的两个角相等；(2)若：ab，则：acbc；(3)如果两个长方形的周长相等，那么这两个长方形的面积相等 知2讲导引：(1)只要指出命题的条件和结论即可；(2)要判断命题的真假：真命题需说明理由，假命题只需举一反例即可 知2讲解： (1)条件：两个角互为补角；结论：这两个角相等假命题(2)条件：ab；结论：acbc.真命题(3)条件：两个长方形的周长相等；结论：这两个长 方形的面积相等假命题知2练 知3讲3知识点举反例判断命题的真假：判断命题的真假时，真命题

6、需说明理由；假命题只需举一反例即可；举反例是说明一个命题是假命题的常用方法，而所列举的反例一般应满足命题的条件，不满足命题的结论 例4 判断下列命题是真命题还是假命题若是假 命题，举一个反例加以说明：(1)一个三角形如果有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形；(2)如果|a|b|，那么a3b3. 知3讲导引：(1) 根据题意求出第三个角的度数来判断； (2)可利用特殊值法解：(1)真命题 (2)假命题当 a2 ，b2 时，|a|b|，但a3 b3.总 结知1讲 解答本题运用了定义法，同时，解答本题还体现了特殊值法1 (中考厦门)已知命题A：“任何偶数都是8的整数 倍”在下列选项中，可以作为“

7、命题A是假命题”的反例的是()A2k B15 C24 D422 对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是()A60，的补角120，B90，的补角90，C100，的补角80，2,再作一个角，使它等于1 -2.知2练 (中考宁德)如图，用尺规作图：“过点C作CN OA”，其作图依据是()A同位角相等，两直线平行B内错角相等，两直线平行C同旁内角相等，两直线平行D同旁内角互补，两直线平行知2练 3知识点作已知角的平分线知3讲如图13.4.4，已知AOB ，为已知角，试按下列步骤用直尺和圆规准确地作出AOB的平分线. 试一试想想看，如 何将AOB四等分？知3讲第一步：在射线OA、

8、AB上，分别截取OD 、 OE.使 OD = OE；第二步：分别以点D和点E为圆心、适当长（大于 线段DE长的一半）为半径作圆弧，在AOB内，两弧交于点C;第三步：作射线OC.射线OC就是所要求作的AOB的平分线.知3讲我们可以证明这样作出来的射线是符合要求的，即 AOCBOC.如图13.4.5,连结 EC、DC .OD = OE，DC = EC，OC = OC，OCDOCE(S.S.S.),AOCBOC (全等三角形的对应角相等）.为简化推理格 式，今后只注明主 要依据，省略“已 知”、“等量代换” 等依据.知3讲1. 理论根据：作角平分线的理论根据是三角形全等的判定方法：“S.S.S.”拓

9、展：根据角平分线的作法还可以作已知角的四等分线2. 易错警示：作角平分线的最后一步“过两点作射线”时，不能简单地叙述为“连结两点”，连结两点是线段，角平分线是射线而不是线段知3讲图13.4-8图13.4-9例4知3讲点 拨知3讲 知2练 A知2练 4知识点经过一已知点作已知直线的垂线知4讲1.经过已知直线上的一点作这条直线的垂线：如图13.4-10所示，已知直线AB和AB上一点C，作AB的垂线，使它经过点C. 图13.4-10知4讲作法：如图13.4-11所示第一步：作平角ACB的平分线CF；第二步：反向延长射线CF. 直线CF就是所要求作的垂线图13.4-11知4讲2经过已知直线外一点作这条

10、直线的垂线：如图13.4-12所示，已知直线AB和AB外一点C，作AB的垂线，使它经过点C.作法：如图13.4-13所示第一步：以点C为圆心，作能与AB相交于D、E两点的弧；第二步：作 DCE的平分线CF；第三步：反向延长射线CF，则直线CF 就是所要 求 作 的 垂线图13.4-12 图13.4-13知4讲 例5 利用直尺和圆规作一个等于45的角. 作法：1. 作直线AB； 2. 过点A作直线AB的垂线AC ;3. 作CAB 的平分线AD.DAB就是要求作的角（如图13.4.8所示）知4讲 例6 如图13.4-14，已知点P和直线l，求作点P关于直线l的对称点P.解：如图13.4-15所示作

11、法：(1)过点P作直线l的垂线，垂足为点O；(2)在线段PO的延长线上截取OPOP，则点P就是点P关于直线l的对称点图13.4-14 图13.4-151 如图，点P在O的一边上, 试过点P作角两边的垂线.知4练 PO2 下列尺规作图：过直线外一点C作直线AB的垂线，只要作ACB的平分线即可；作ABC的BC边上的高，只要过点A作直线BC的垂线即可；作ABC的中线AD，只要作边BC的中垂线即可其中说法不正确的是() ABCD知4练 5知识点作已知线段的垂直平分线知5导如图13. 4. 9，已知直线l是线段的垂直平分线， 则直线l是线段仙的对称轴，对l上的任意两点C、D，通过对折可以发现，总有CA

12、= CB，DA = DB.由此，你能发现作垂直平分线的方法吗？思考图13. 4. 9知5讲1.作已知线段的垂直平分线作法：如图13.4-16所示，已知线段 AB, 求作线段 AB 的垂直平分线图13.4-16图13.4-17作法：如图13.4-17所示第一步：分别以点A和点B为圆心，大于AB 的长为半径作圆弧，两弧相交于点C和点D；知5讲第二步：作直线CD. 直线CD就是要求作的线段AB的垂直平分线2作已知线段的垂直平分线的理论依据：作已知线段的垂直平分线的理论依据是三角形全等的判定方法“S.S.S.”及等腰三角形的“三线合一”知5讲理由如下：如图13.4-18所示，连结CA，CB，DA，DB

13、.ADBD，ACBC，CDCD，ACDBCD(S.S.S.)ACDBCD(全等三角形的对应角相等)CD垂直平分线段AB(等腰三角形的“三线合一”)图13.4-18知5讲 例7 如图13.4-19，已知钝角三角形ABC，其中A是钝角，求作AC边上的中线BD和高BH. 解：如图13.4-20所示图13.4-20图13.4-191 四等分已知线段AB.知5练 BA2 (中考曲靖)如图，分别以线段AC的两个端点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于B，D两点，连接BD，AB，BC，CD，DA，以下结论：BD垂直平分AC；AC平分BAD；ACBD；四边形ABCD是中心对称图形其中正确的有()

14、A B C D知5练 1.基本作图的一般步骤：先明确已知、求作，然后在此基础上进行草图分析，找出作图的步骤，准确叙述作法，并完成作图2利用尺规作图时，先根据题目要求，判断应该运用五种基本作图中的哪一种或几种 第13章 全等三角形13.5 逆命题与逆定理第1课时 互逆命题与 互逆定理1课堂讲解命题与逆命题定理与逆定理2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1知识点命题与逆命题我们已经知道，表示判断的语句叫做命题.例如“两 直线平行，内错角相等”、“内错角相等，两直线平行”都 是命题. 知1导观察这两个命 题的条件和结论， 你发现了什么？知1讲在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第

15、一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题 .要点精析：“互逆命题”是说明两个命题之间的关系，两个命题的地位可以互换；两者可以确定其中任何一个为原命题，另一个为逆命题知1讲求一个命题的逆命题的方法：命题“两直线平行，内错角相等”的条件为: ;结论为: .因此它的逆命题为： ;每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成结论，并将结论改成条件，便可得到原命题的逆命 题. 但是原 命题正确，它的逆命题未必正确.例如真命 题“对顶角相等” 的逆命题为“相等的角是对顶角”， 此命题就是假命题.知1讲 例1 判断下列命题的真

16、假，写出逆命题，并判断逆命题的真假：(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；(2)如果ab，那么a2b2；(3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；(4)如果ab0，那么a0，b0.导引：根据题目要求，先判断原命题的真假，再将原命题的条件和结论部分互换，写出原命题的逆命题，最后判断逆命题的真假知1讲解：(1)原命题是真命题逆命题为：如果两条直线只有 一个交点，那么它们相交逆命题是真命题(2)原命题是假命题逆命题为：如果a2b2，那么 ab.逆命题是假命题(3)原命题是真命题逆命题为：如果两个数的和为 零，那么它们互为相反数逆命题是真命题(4)原命题是假命题逆命题为：如果a0，b0，

17、那么ab0.逆命题是真命题知1讲总 结 写出逆命题的关键是分清楚原命题的条件和结论，然后将它的条件和结论交换位置就得到这个命题的逆命题判断一个命题是真命题需要进行逻辑推理，判断一个命题是假命题只需要举出反例就可以了先指出下列各命题的条件和结论，再写出它们的逆命题，并判断其真假： （1）如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余；（2）等边三角形的每个角都等于60;（3）全等三角形的对应角相等；（4）如果 a = b, 那么 a3 = b3.知1练 2 下列命题：内错角相等，两直线平行；全等三角形的对应边相等；若ab，则a2b2；互补的角为邻补角；对顶角相等，它们的逆命题是真命题的有_(只

18、填序号)知1练 2知识点定理与逆定理知2导如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.我们已经知道命题“两直线平行，内错角相等”和它 的逆命题“内错角相等，两直线平行”都是定理，因此它们就是互逆定理.一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理.例如“相等的角是对顶角”是假命题,但它的逆命题 “对顶角相等”是真命题，且是定理.知2讲如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理要点精析：每个命题都有逆命题；但每个定理不一定有逆定理；只有当定理的逆命题经过证明是正确的，才能称这个逆命题为逆定理知

19、2讲 例2 判断下面两个定理是否有逆定理，若有，请写出它的逆定理，若没有，说明理由(1)在一个三角形中，等角对等边；(2)四边形的内角和等于360.导引：先写出其逆命题再分析是否为真命题若是真命 题，则它就是原定理的逆定理；若逆命题是假命 题，则原定理没有逆定理解：(1)有逆定理，它的逆定理为：在一个三角形中，等边 对等角(2)有逆定理，它的逆定理为：内角和等于360的多边 形是四边形总 结知2讲判断一个定理是否有逆定理的方法：先把定理作为命题，写出它的逆命题，然后判断其逆命题是否正确，如果不正确，举一个反例即可，如果是真命题，加以证明即可判断原定理有逆定理. 下列定理中，没有逆定理的是()A

20、两直线平行，同旁内角互补B全等三角形的对应角相等C直角三角形的两个锐角互余D两内角相等的三角形是等腰三角形知2练 1.每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成结论，并将结论改成条件，就可以得到原命题的逆命题但原命题的真假与逆命题是否为真命题没有丝毫关系2每个定理都有逆命题，但每个定理不一定都有逆定理，只有当定理的逆命题经过证明是正确的，才能称其为这个定理的逆定理 第13章 全等三角形13.5 逆命题与逆定理第2课时 线段的垂直 平分线1课堂讲解线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的判定2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1知识点线段垂直平分线的性质 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平

21、分 线是线段的对称轴. 如图13. 5. 1，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB. 将线段AB沿直线MN对折，我们发现PA与PB完全重合. 由此即有：知1导知1讲1.线段垂直平分线的性质定理：线段垂 直平分线上的点到线段两端的距离相等；条件：点在线段的垂直平分线上；结论：这个点到线段两端的距离相等表达方式：如图13.5-2，l AB，AO BO，点P在l上，则APBP.2作用：可用来证明两线段相等图13.5-2知1讲线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上 的点到线段两端的距离相等.已知：如图13. 5. 1，MN丄AB，垂足为点C，AC =BC，点P是直线MN上

22、的任意一点.求证：PA=PB.分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要 证明这两个三角形全等，便可证得PA=PB.请写出完整的证明过程.知1讲 例1 如图13.5-3，在ABC中，AC5，AB的垂直平分线DE分别交AB，AC于点E，D，(1)若BCD的周长为8，求BC的长；(2)若BC4，求BCD的周长图13.5-3知1讲导引：由DE是AB的垂直平分线，得ADBD，所以 BD与CD的长度和等于AC的长，所以由BCD的周长可求BC的长，同样由BC的长也可求BCD的周长知1讲解：DE是AB的垂直平分线，ADBD，BDCDADCDAC5.(1)BCD的周长为8， BCBCD的周长(BDCD)8

23、53. (2)BC4， BCD的周长BCBDCD549.知1讲总 结本题运用了转化思想，用线段垂直平分线的性质把BD的长转化成AD的长，从而把未知的BD与CD的长度和转化成已知的线段AC的长本题中AC的长、BC的长及BCD的周长三者可互相转化，知其二可求第三者.知1讲 例2 如图13.5-4，在ABC中，A40，B90，线段AC的垂直平分线MN与AB交于点D，与AC交于点E，则BCD的度数是_图13.5-410知1讲导引：在ABC中，B90，A40，ACB50.MN是线段AC的垂直平分线，DCDA，AECE.又DEDE，ADECDE，DCEA40.BCDACBDCA504010.知1讲总 结

24、利用线段垂直平分线的性质得出边相等，从而得出三角形全等，再利用全等三角形中对应角相等确定DCA的度数，根据角度差解决问题(中考义乌)如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA5，则线段PB的长度为()A6 B5 C4 D3知1练 2 如图，已知线段AB，BC的垂直平分线l1，l2交于点M，则线段AM，CM的大小关系是()AAMCM BAMCMCAMCM D无法确定知1练 3 (中考荆州)如图，在ABC中，ABAC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若ABC与EBC的周长分别是40 cm，24 cm，则AB_知1练 2知识点线段垂直平分线的判定知2导这

25、一定理描述了线段垂直平分线的性质，那么反过 来会有什么结果呢？探索条件结论性质定理逆命题写出该定 理与它的逆命 题的条件和结 论，想想看，其 逆命题是否是 一个真命题？ 你一定发现到线段两端距离相等的点的确在该线 段的垂直平分线上.我们可以通过“证明”说明这一结论正确.知2讲线段垂直平分线的判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上(1)条件：点到线段两端距离相等；结论：点在线段垂直平分线上(2)表达方式：如图13.5-5，PAPB，点P在线段AB的垂直平分线上(3)作用：作线段的垂直平分线的依据；可用来证线段垂直、相等 拓展：三角形三边的垂直平分线交于一点，这点到三角形的三个顶点的

26、距离相等，这个点叫这个三角形的外心图13.5-5知2讲已知：如图13.5.2, QA=QB. 求证：点Q在线段AB的垂直平分线上.分析：为了证明点Q在线段AB的垂直平分线上， 可以先经过点Q作线段AB的垂线，然后证明该垂线平 分线段AB;也可以先平分线段AB ，设线段AB的中点为 点C，然后证明QC垂直于线段AB.知2讲证明：过点Q作MN丄AB ，垂足为点C， 故QCA = QCB = 90. 在 Rt QCA 和 Rt QCB 中， QA = QB, QC = QC, Rt QCA Rt QCB (H.L ). AC =BC(全等三角形的对应边相等）. 点Q在线段AB的垂直平分线上.你能根据

27、分析中后一种添加辅助 线的方法，写出它的证明过程吗？知2讲于是就有定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分 线上.上述两条定理互为逆定理，根据上述两条定理，我们就能证明：三角形三边的垂直平分线交于一点.知2讲 例2 如图13.5-6，在ABC中，ACB90，AD平分BAC，DEAB于E.求证：直线AD是CE的垂直平分线 证明：AD平分BAC，DAEDAC.ACB90，DEAB，AED90，易证ADEADC，CDDE， 点D在CE的垂直平分线上；ACAE，点A也在CE的垂直平分线上，直线AD是CE的垂直平分线图13.5-6总 结知2讲利用判定定理要证一条直线是线段的垂直平分线，必须证明这条直

28、线上有两点到线段两端点的距离相等(即证有两点在线段的垂直平分线上)易错之处：只证明一个点在线段的垂直平分线上，就说过该点的直线是线段的垂直平分线因为过该点的直线有无穷多条，其中只有一条是线段的垂直平分线注意：证线段的垂直平分线也可以利用定义 知2讲从图13. 5. 3中可以看出，要证明三角形三条边的垂 直平分线交于一点，只需证明其中两条边的垂直平分线 的交点一定在第三条边的垂直平分线上就可以了.其思 路可表示如下：试试看，现在你会证明了吗？试一试知2讲 例3 如图13.5-7，已知ABAD，BCDC，E是AC上一点，求证：(1)BEDE；(2)ABEADE.导引：(1)连结BD，要证BEDE，

29、只要证明E点 是线段BD的垂直平分线上的点即可由 ABAD，说明A点是线段BD的垂直平分 线上的点，由BCDC，说明C点也是线 段BD的垂直平分线上的点，所以AC是线 段BD的垂直平分线，而已知E是AC上一 点，问题得以解决(2)要证明角相等，只需证明ABEADE即可图13.5-7知2讲证明：(1)连结BD，如图13.57， ABAD，BCCD， A，C两点均在线段BD的垂直平分线上 AC是线段BD的垂直平分线 又E是AC上一点， BEDE.(2)在ABE和ADE中， ABAD，BEDE，AEAE， ABEADE， ABEADE.总 结知2讲由线段垂直平分线的判定定理确定AC是线段BD的垂直平

30、分线，再由线段垂直平分线的性质得BEDE，这是线段垂直平分线的性质和判定定理的综合运用 知2讲 例4 如图13.5-8，某城市规划局为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A，B，C之间修建一个购物中心，试问：该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？图13.5-8知2讲导引：本题转化为数学问题就是要找一个点，使它到三角形的三个顶点的距离相等首先考虑到A，B两点距离相等的点应该在线段AB的垂直平分线上，到B，C两点距离相等的点应该在线段BC的垂直平分线上，两条垂直平分线的交点即为所求的点图13.5-9知2讲解：连结AB，BC，分别作AB，BC的垂直平分线DE，GF，两直线交于点M，则

31、点M就是所要确定的购物中心的位置如图13.5-9.图13.5-9总 结知2讲解决作图选点性问题：若要找到某两个点的距离相等的点，一般在这两点所连线段的垂直平分线上去找 总 结知2讲线段垂直平分线的判定有两种方法：(1)定义法；(2)判定定理我们一般习惯用定义法进行证明，但利用判定定理则更为简单，用判定定理判定一条直线是线段的垂直平分线时，需证直线上有两点到线段两端点的距离相等 锐角三角形ABC内有一点P，满足PAPBPC，则点P是ABC()A三条角平分线的交点 B三条中线的交点C三条高的交点 D三边垂直平分线的交点知2练 2 如图，点D在ABC的BC边上，且BCBDAD，则点D在线段()的垂直

32、平分线上AAB BAC CBC D不确定知2练 1线段的垂直平分线的性质和判定的“两点作用”： (1)利用线段垂直平分线的性质可证明两线段相等，只需直线满足垂直、平分即可；(2)利用线段垂直平分线的判定可证明垂直关系和线段相等关系2应用线段垂直平分线的性质要注意两点： (1)点一定在垂直平分线上；(2)距离指的是点到线段两个端点的距离 第13章 全等三角形13.5 逆命题与逆定理第3课时 角平分线角 平分线的性质1课堂讲解角平分线的画法角平分线的性质2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1知识点角平分线的画法知1讲图13.4-8 例1 如图13.4-8所示，已知AOB， 求作：AOM AOB.导

33、引：要作射线OM，使AOM AOB，可作 AOB的平分线知1讲 图13.4-9解：作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径 画弧，交OA于点E，交OB于点F；(2) 分别以点E，F为圆心，大于 EF 的长为半径画弧，两弧在AOB的 内部交于点C；(3)画射线OC；(4)同理，作AOC的平分线OM.AOM即为所求(如图13.4-9所示)知1讲总 结 作法中“以适当长为半径”的目的是为方便作图，不能太大或太小；“大于 EF的长为半径画弧”是因为若以小于或等于 EF的长为半径画弧时，画出的两弧不能相交用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明AOCBOC的依据是() AS.S.S. BA.

34、S.A. CA.A.S. D角平分线上的点到角两边的距离相等知1练 2 (中考玉林)根据图中尺规作图的痕迹，先判断得出结论：_，然后证明你的结论(不要求写已知、求证)知1练 2知识点角平分线的性质知2导我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直 线是角的对称轴.如图13. 5. 4，OC是AOB的平分线， P是OC上任一点，作PD丄OA，PE丄OB，垂足分别为 点D和点E. 将AOB沿OC对折，我们发现PD与PE 完全重合.由此即有：角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边 的距离相等.回忆知2讲1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距 离相等要点精析：(1)点一定要在角平分线上；

35、(2)点到角两边的距离是指点到角两边垂线段的长度；(3)角平分线的性质可用来证明两条线段相等2书写格式：如图13.5-12，OP平分AOB，PDOA于点D，PEOB于点E, PDPE.3易错警示：易找错距离，误以为角平分线上的点到角的两边的距离就是角平分线上的点与角两边上任意点间的距离图13.5-12知2讲已知: 如图13. 5.4, OC是 AOB的平分线,点P是 OC上的任意一点，PD丄OA, PE丄OB, 垂足分别为点 D和点E.求证：PD=PE.分析：图中有两个直角三角形PDO和PEO，只要 证明这两个三角形全等，便可证得PD=PE.请写出完整的证明过程.知2讲 例2 如图13.5-1

36、3，在ABC中，C90，AD平分CAB，DEAB于E，F在AC上，BEFC，求证：BDDF.导引：要证BDDF，可考虑证两线段所在的BDE和FDC全等，两个三角形中已有一角和一边相等，只要再证DECD即可，这可由AD平分CAB及垂直条件证得图13.5-13知2讲证明：AD平分CAB，DEAB于E，C90， DEDC.在BDE和 FDC中，EDCD，DEBC，BEFC，BDEFDC, BDDF.总 结知2讲由角平分线的性质不用证全等可以直接得线段相等，这是证线段相等的一个简捷方法. 知2讲 例3 如图13.5-14，在ABC中，C90，BCAC，AD是BAC的平分线，DEAB于点E. 若AB10

37、 cm，求DBE的周长图13.5-14知2讲解：AD平分CAB，且C90，DEAB，DCDE.又CDEA90，ADAD，RtACDRtAED，ACAE .又ACBC，ACAEBC .DEEB BD DC EB BD BC EB AE EB AB.又AB10 cm，DBE的周长为DBBEDE10 cm.如图，OP平分AOB，PAOA，PBOB，垂足分别为A，B .下列结论中不一定成立的是()APAPB BPO平分APBCOAOB DAB垂直平分OP知2练 2 如图，OP平分MON，PAON于点A，Q是射线OM上的一个动点，若PA2，则PQ的最小值为()A1 B2 C3 D4知2练 3 如图，已知

38、在ABC中，CD是AB边上的高，BE平分ABC，交CD于点E，BC50，DE14，则BCE的面积等于_知2练 角的平分线图形结构中的“两种数量关系”：如图，OC平分AOB，PDOA于D，PEOB于E，DE交OC于点F.(1)角的相等关系：AOCBOCPDFPEF；ODPOEPDFOEFODFP EFP90；DPOEPOODFOEF.(2)线段的相等关系：ODOE，DPEP，DFEF . 1运用角平分线的性质解决与面积有关的问题的方法：首先运用三角形的面积公式将面积关系转化为线段关系，再结合角平分线的性质进一步转化为三角形边长之间的关系，从而把两者建立起关系，结合已知条件可解决问题2过角平分线上

39、一点作垂线是解决有关角平分线问题最常用的作辅助线的方法 第13章 全等三角形13.5 逆命题与逆定理第4课时 角平分线角平 分线的判定1课堂讲解角平分线的判定三角形的角平分线2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1知识点角平分线的判定知1导这一定理描述了角平分线的性质，那么反过来会有 什么结果呢？你一定发现到角两边距离相等的点的确在该角的 平分线上.我们可以通过“证明”说明这一结论正确.探索条件结论性质定理逆命题 写出该定理与逆命题的条件与结论，想想看，其逆命题是否是一个真命题？知1讲角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离 相等的点在角的平分线上(1)书写格式：如图13.5-15，PDOA，P

40、EOB，PDPE, 点P在AOB的平分线上(或AOCBOC)(2)作用：运用角平分线的判定，可以证明两个角相等或一条射线是角的平分线图13.5-15知1讲已知：如图13.5.5，QD丄OA，QE丄OB，点D、E为垂足，QD = QE.求证：点Q在AOB的平分线上.分析：为了证明点Q在AOB的平分线上，可以作射线OQ，然后证明Rt QDO Rt QEO, 从而得到 AOQ = BOQ.图13.5.5知1讲证明：过点O、Q作射线OQ. QDOA, QEOB ， QDO= BOQ = 90.在 Rt QDO和 Rt QEO中， OQ = OQ，QD = QE， Rt QDO Rt QEO, (H.

41、L.), DOQ= EOQ(全等三角形的对应角相等).点Q在AOB的平分线上.归 纳知1讲 角平分线的判定定理与性质定理的关系：(1)如图13.5-16，都与距离有关：即条件PDOA，PEOB都具备；(2)点在角平分线上性质判定点到角两边的距离相等图13.5-16知1讲 例1 如图13.5-16，BECF，DFAC于点F，DEAB于点E，BF和CE相交于点D.求证：AD平分BAC.导引：要证AD平分BAC，已知条件中有两个垂直，即有点到角的两边的距离，再证这两个距离相等即可证明结论，证这两条垂线段相等，可通过证明BDE和CDF全等来完成图13.5-16知1讲证明：DFAC于点F，DEAB于点E

42、，DEBDFC90.在BDE和CDF中，BDECDF，DEBDFC，BECF， BDECDF，DEDF.又DFAC于点F，DEAB于点E，AD平分BAC.总 结知1讲 判定角平分线的两步：(1)找出与角的两边都垂直的垂线段；(2)证明两条垂线段相等知1讲 例2 如图13.5-17，在ABC中，ABC100，ACB20，点E在ACB的平分线上，D是AC上一点，若CBD20，求ADE的度数图13.5-17知1讲解：如图13.5-17，作ENCA于点N，EMBD于点M，EPCB交CB的延长线于点P，ABDABCCBD1002080，PBA18010080，PBAABD.EMBD于点M，EPCB于点P

43、，EPEM.又点E在ACB的平分线上，ENCA，EPCB，ENEP，ENEM，DE平分ADB.ADBACBCBD40，ADE ADB 4020.总 结知1讲 本题根据角的和差关系计算有关角的度数，利用角平分线的性质定理证明EPEM和ENEP，得到ENEM，由角平分线的判定判断DE平分ADB，便可求出ADE的度数知1讲 例3 如图13.5-18，在ABC中，请证明：(1)若AD为BAC的平分线，则SABDSACD ABAC；(2)设D为BC上的一点，连结AD，若SABD SACDABAC，则AD为BAC的平分线图13.5-18知1讲证明：如图13.5-18，过D作DEAB于E，DFAC于F.(1)AD平分BAC且DEAB，DFAC，DEDF.SABDSACD（ AB DE）（ AC DF）ABAC.(2)SABDSACDABAC， （ AB DE）（ AC DF） ABAC，DEDF.又DEAB，DFAC，