课本典型例题

1、课本典型例题、习题必修1【集合】1.期中考试，某班数学优秀率为70%，语文优秀率为 75% .问:上述两门学科都优秀的百分率至少为多少？【函数概念与基本初等函数I】.已知一个函数的解析式为y x2,它的值域为1,4,这样的函数有多少个？试写出其中两个函数.解下列方程： log2（3x） log2（2x 1）2） log5（2x 1） log5（x2 2） 1gx 1 lg（x 1）.解下列不等式：5x 22 （2）33 x 6 （3） 1og3（x 2） 3（4） 1g（x 1） 1.利用计算器，求方程1g x 3 x的近似解（精确到0.1）51vlog a x的图像，并求方.分力就a 2,a

2、 ,a 一回出函数 y a , y42程ax log a x的解的个数探究：当0 a 1时，方程axlog a x只有一个解吗？.在经济学中，函数f(x)的边际函数 Mf(x) f(x 1) f(x).某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台(x N )的收入函数 2R(x) 3000 x 20 x (单位:元)淇成本函数为C(x) 500 x 4000(单位：元)，利润是收入与成本之差.(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x);(2)禾I润函数P(x)与边际利润函数 MP(x)是否具有相同的最大值？ 3_3 . 一.计算(lg2)3lg2?lg5 (lg5)的值.设a,b,c

3、都是不等于1的正数，且ab 1，求证alogcbblogca.研究方程lg(x 1) lg(3 x) lg(a x)(a R)的实数解的个数.必修3【算法初步】.下面的流程图表示了什么样算法 ?( P11(2).设计一个计算10个数的平均数的算法.(P13(li5).用Ni代表第i个学生的学号，Gi代表第i个学生的成绩(i 1,2,50),下图表示了一个什么样的算法？( P14(2)3.写出用区间二分法求方程 x x 10在区间1,1.5内的一个近似解(误差不超过0.001)的一个算法.(P29(anli3).写出求ai,a2, ,aioo中最小数的一个算法.(P34(8)【统计】.某教师出了

4、一份共三道题的测试卷 ，每道题1分.全班得3分、2分、1分和 0分的学生所占比例分别为 30%,50%,10%和10%.(1)若全班共10人，则平均分是的多少？(2)若全班共20人，则平均分是的多少？(3)如果该班人数未知，能求出该班平均分吗?( P66(4).为了保护学生的视力，教师内的日光灯在使用一段时间后必须更换.已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试估计这批日光灯的平均使用寿命和标准差.天 数151-180181-210211-240241-270271-3 00301-330331-360361-390灯 泡 数1111820251672(P68(li5)3. 一

5、年按365天计算,2名同学在同一天过生日的概率为 4.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣 TOC o 1-5 h z 于齐王的下等马.现各出上、中、下等三匹马分组分别进行一场比赛，胜两场以上即为获胜.如双方均不知对方马的出场顺序，试探求田忌获胜的概率.设有正方形网格，其中每个最小正方形的边长都等于6厘米.现用直径等于2厘米的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线有公共点的概率.有5条线段，其长度分别为1,3,5,7,9.现任取三条，求能够成三角形的概率. 一次口试，每位考生要在8道口试题中随机抽出2道题

6、回答，若答对其中1题即为及格.(1)现有某位考生会答8道题中的5道题，那么，这位考生及格的概率有多大？(2)如果一位考生及格的概率小于50%,则他最多只会几道题 ？.两个水平相当的选手在决赛中相遇，决赛采用五局三胜制，胜者获得全部奖金，前3局打成2:1时比赛因故终止.有人提出按2:1分配奖金，你认为这 样分配合理吗？必修4【三角函数】.设 是第一象限角，试探究：2 一定不是第几象限角？ (2)一是第几象限角？3.当角，满足什么条件时，有 sin sin ?.若为锐角(单位为弧度)，试利用单位圆及三角函数线比较：,sin , tan 之间的大小.设O为坐标原点，P|(x1, y1)和P2( x2

7、, y2)为单位圆上两点，且P1OP2,求证： x1x2 y1y2 cos.求y cosx sin x的最值.在ABC中，4(1)已知 cos A ,cos B 5，一3(2)已知 sin A 一,cos B 5,12, 八,求 cosC ； 135, 八一,求 cosC . 13(1)判断sin与sin sin 的大小，并说明理由;.设，都是锐角，(2)已知10. (1)求值:1 sin)的值.(2)判断cos 与cos cos 的 大小，并说明理由. (1)如图，有一壁画，最高点 A处离地 面4m,最低点B处离地面2m,若从离地高1.5m的C处观赏它，则离墙多远时，视角最大？(2)把一根长

8、为30cm的木条锯成两段， 分别作钝角三角形 ABC的两边AB和BC, 且 ABC=120 .如何锯断木条，才能使 第三条边AC 最短？(3)如图，已知 A为定角，P,Q分别在 为定长.当P,Q处于什么位置时， APQ的 面积最大？(4)在O点的正上方有气球 P,从。点的工 A点，测得气球 P的仰角为45 ,同时从O球P的仰角为60 , A,B两点间的距离为 200m.问：气球P离地面约多少米 (精确到1m) ?. (1)化简：cos A cos(120 A) cos(120 A)；(-,2 ),化简：J1 sin 2sin15 cos5 sin 20;cos15 cos5 cos 20 TO

9、C o 1-5 h z 一一1 HYPERLINK l bookmark51 o Current Document (2)已知tan()一, tan() HYPERLINK l bookmark73 o Current Document 22211. (1)求证： 1 .2cos2tan1 sin 2 cos 2 sin50 (1 73tan10 ) 1；(2)已知 sin msin(2 ),且k-k (k Z), (k Z),m 1.22求证：tan()tan1 m.(1)如图，在半径为 R、圆心角为60的扇形AB弧任 取一点P ,作扇形的内接矩形 PNMQ ,使点Q在OA上,点M , N在

10、OB上，求这个矩形面积的最大值及相应的口 AOP的值.(2)如图，半圆。的直径为2, A为直径延长线上的一点,形ABC.问：点B在什么位置，四边形OA 2,B为半圆上任意一点，以 AB为一边作等边三角2.由倍角公式cos2x 2cos x 1,可知cos2x可以表本为cosx的二次对 于 cos3x , 我 们 有cos3x cos(2 xx) cos2x cosx sin 2xsin x2(2 cos x3=2 cos x1)cosxcosx 2(12(sin xcosx)sin xcos2 x) cos x=4cos3 x 3cos x可见cos3x可以表示为cosx的三 3cos3x 4

11、cos x 3cos x ,求出 sin18 的 值.(提示：3 18902 18 )14.一半彳空为3m的水轮如图所示，水轮圆心O 距离水面2m,已知水轮每分钟转动 4圈，如 果当水轮上点 P从水中浮现时(图中点 F0) 开始计算时间.(1)将点P距离水面的高度 z(m)表示为时间 t(s)的函数；(2)点P第一次到达最高点大约要多长时间？15.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后 落潮时返回海洋。下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：时刻水深/米时刻水深/米时刻水深/米0: 005. 019:

12、002. 518: 005. 03: 007. 512: 005. 021 : 002. 56: 005. 015: 007. 524: 005. 0(1)选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系,给出整点时的水深的近似数值。(2) 一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为 4米，安全条例规 定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离)，该船何时能进入港口？ 在港口能呆多久？(3)若某船的吃水深度为 4米，安全间隙为1.5米，该船在2: 00开 始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停 止卸货，将船驶向较深的水域?【平面向量】r r r r r1

13、.证明：如果存在不全为 0的实数s,t,使彳导sa tb 0 ,那么a与b是 r rr r r共线向量；如果a与b不共线，且sa tb 0 ,那么s t 0.2.如图，平行四边形 向量的方法证明： 三等分点.ABCD中，E是DC中点，AE交BD于M,试用M是BD的一个uur r uuu r设P,Q分别是四边形的对角线 AC与BD的中点，BC a, DA b, r rr ruuu并且a,b不是共线向量，试用基底 a, b表示向量PQ . uuuuuur在 ABC中，设AB (2, 3), AC (1,k),且 ABC是直角三角形， 求k的值.r rrr rr设a,b是两个非零向量，如果 a3b7

14、a5b,且r r r r r ra 4b 7a 2b ,求a与b的夹角.rrr -r设a x,3 ,b (2, 1),若a与b的夹角为钝角，求x的取值范围. uuur uuurr uurr r rr rr r设 ABC 中，ABc, BCa,CAb,且 abb cca,判断ABC的形状. uuu uur uuinluuruuir uuu已知：OA BC,OB AC.求证：OC AB.9.已知两点A(xi, yi), B(x2, y2)，试用向量的方法证明以线段AB为直径的圆的方程为(x x1)(x x2)10.已知 uuu OA向量 uuu OBuuu uuu uuinOA,OB,OC 满 u

15、uirOC 1 ,求证：(y yi)(y 力)0.uuu uuu uuur足条件OA OB OCABC为正三角形.必修5【数列】1. (1)在等差数列an中，已知apq,aq(2)在等差数列an中，已知Sp q,Sqp(p q),求 ap q.P(P q),求 Sp q.2.已知an是等差数列，当m np q时，是否一定有amanap aq ?3.已知一个凸多边形的内角度数组成公差为5的等差数列，且最小角为120 ,问它是几边形.(1)教育储蓄是一种零存整取定期储蓄存款，它享受整存整取利率，利 息免税.教育储蓄的对象为在校小学四年级(含四年级)以上的学生.假设零存整取3年期教育储蓄的月利率为

16、2.1%.(I)欲在3年后一次支取本息合计 2万元，每月大约存入多少元？(n)零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时3年后本息合计约为多少？(精确到 1元)(2)某人2004年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元购买住房，月利率3.375%。，按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷.如果10年还清，那么每月应还贷多少元？(3)某人自己创业，向银行贷款，有两种方案.甲方案：一次性贷款 10万元，第一年可获利 1万元，以后每一年比上一年增加30%的利润.乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利 1万元，以后每年都比上一年增加利润0.5万元.两种方案使用期都是10年，到期一次

17、性还本付息.若银行贷款利率均按 年息10%的复利计算，试比较两种方案的优劣.(1)某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加 22%, 人均粮食占有量比现在提高10%.如果人口增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到1公顷)？(注：粮食单产总产量耕地面积,人均粮食占有量总产量总人口数(2)某林场去年年底森林木材存储量为 330万m3.若树林以每年25%的增 长率生长，计划从今年起，每年底要砍伐的木材量为x万m3,为了实现经过20年木材储存量翻两番的目标，每年砍伐的木材量x的最大值是多少？(3)资料表明，2000年我国工业废弃垃圾达 7.4X108t ,每吨占地

18、1m2.环保 部门每回收或处理 1t废旧物资，相当于消灭 4t工业废弃垃圾.如果环保部 门2002年共回收处理了 10t废旧物资，且以后每年的回收量递增 20%.(I ) 2010年能回收多少废旧物资？(n)从2002年到2010年底，可节约土地多少平方千米？(精确到1km2)【不等式】.某厂扩建后计划后年的产量不低于今年的2倍，那么明、后年每年的平均增长率至少是多少？.国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策.已知某种酒每瓶70元，不加收附加税时，每年大约销售100万瓶；若政府征收附加税，每销售100元要征税R元(叫做税率 R%),则每年的销售量将 减少10R万瓶.要使每年在此经

19、营中所收取的附加税不少于112万元，R应怎样确定？.已知汽车从刹车到停车所滑行的距离S ( m)与速度v(km/h)的平方及汽车的总重量a(t)的乘积成正比.设某辆卡车不装货物以 50km/h行驶时，从刹车到停车滑行了 20m.如果这辆卡车装载着与车身相等重量的货物行驶，并与前面的车辆距离为15m,为了保证在前面车辆紧急停车时不与前面车辆相撞，那么最大车速是多少？(假定卡车司机从发现前面车辆停车到自己刹车需耽搁4.用“上方”或“下方”填空：(1)若B0,不等式Ax By 的;不等式 AxAx By C 0 的(2)若B0,不等式 Ax By 的;不等式 Ax1s,答案精确到1km/h)C 0表

20、示的区域在直线 Ax By C 0By C 0表示的区域在直线C 0表示的区域在直线 Ax By C 0By C 0表示的区域在直线Ax By C 0 的. 一份印刷品的排版面积(矩形)为 A,它的两边都留有宽为 a的空白， 顶部和底部都留有宽为 b的空白.如何选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最小?.半径为1的球内切于一个圆锥，当圆锥的底面半径为多少时，圆锥的体 积最小？.某种产品的两种原料相继提价，因此，产品生产者决定根据这两种原料 提价的百分比，对产品分两次提价，现在有三种提价方案：方案甲：第一次提价 p% ,第二次提价q% ;方案乙：第一次提价 q%,第二次提价p% ;方案丙：第一次提价-

21、pq% ,第二次提价-pq%.22其中p q 0,比较上述三种方案，哪一种提价少？哪一种提价多?一 cc4，一.求函数y 23x (x0)的最大值.x.求半圆上一点到直径两端点距离之和的最大值.如图，ABDC为梯形，其中 AB a,CD b,设。为对角线的交点若GH表示平行于两底且与它们等距离的线段(即梯形的中位线)，KL表示平行于两底且使梯形 ABLK与梯形KLDC相似的线段，EF表示平行于两底且过点 。的线段，MN表示平行于两底且将梯形 ABDC分为面积相等的两个梯形的线段.试研究线段GH,KL,EF,MN与代数式a b -2a2b2.-2-,ab,l2-a b间的关系，并据此得到它们之间

22、的 一个大小关系.你能用基本不等式证 明所得的结论.必修2【立体几何】.P14 3.P18 7.如图，在三棱锥 A BCD中，E,F,G,H分 别是边AB,BC,CD, DA的中点.(1)求证：四边形 EFGH是平行四边形；(2)若AC BD,求证：四边形EFGH为棱 形；(3)当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH 是正方形？.P31 例 2.P32 例 3.P36 例 4.P37思考.在三棱锥P ABC中，顶点P在平面ABC内的射影是 ABC的外心， 求证：PA PB PC.P40 例 1.P47 4.有一根长为5cm,底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管壁 上缠绕4圈，并使

23、铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为 厘米.用半径为r的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是多 少？.用一个正三棱台的两个底面的边长分别等于8cm和18cm,侧棱长等于13cm,求它的侧面积.P56 例 2. P61 11.P64 12. P14 14、16【平面解析几何初步】.已知三角形的顶点为 A(2,4), B(1, 2),C( 2,3),求BC边上的高AD所 在的直线方程.P83 例 5.P103 10、11.已知圆C的方程是x2 y2 r2,求证：经过圆C上一点M(x0,y0)的切 线方程是x0 x y0yr2.2222.已知圆 C : x y r ,

24、直线 l : ax by r .(1)当点P(a,b)在圆C上时，直线l在圆C具有怎样的位置关系？(2)当点P(a,b)在圆C外时，直线l具有什么特点？.求与点A(32,10), B(42,0), C(0,0)的距离都相等的点的坐标.过点P (1, 2)作一直线l ,使直线l与点M (2,3)和点N (4,-5)的距 离相等，求直线l的方程.已知平面内两点 A (-4, 1), B (3,-1),直线y kx 2与线段AB恒有 公共点，则实数k的取值范围.若直线y x b与曲线x Ji y2恰有一个公共点,则实数b的取值范 围为.已知圆C : x2y2 2x 4y 4 0 ,是否存在斜率为1的

25、直线l ,使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.把函数y f(x)在x a和x b之间的一段图象近似地看做直线，且 设a c b,试用f(a), f(b)来估计f(c).以下各题理科班做.已知正四棱锥P ABCD的底面边长为5底，侧棱长为13,试建立适当 的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.已知空间三点 A( 1,0,1), B(2, 4,3), C(5,8,5),求证:A,B,C 在同一条 直线上.选彳2-1【圆锥曲线】221,已知方程 x y 1表示焦点在 y轴上的椭圆，求 m的取值范 m 1 2 m围.2.已知A, B两地相距800m,

26、一炮弹在某处爆炸，在 A处听到爆炸声的时 间比在B处迟2s,设声速为340m/s.爆炸点在什么曲线上？求这条曲线的方程. 2.23.(1)已知双曲线过点(3,-2),且与椭圆4x 9y 36有相同的焦点，求 双曲线白方程.(2)求与双曲线有公共渐近线，且过点A ( 3,2 J3)的双曲线方程.已知抛物线的焦点在 y轴上，点M(m, 3)是抛物线上的一点，M到焦点的距离为5,求m的值及抛物线的标准方程、准线方程 .已知动抛物线的准线为 y轴，且经过点(1,0),求抛物线焦点的轨迹方 程.2.一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x2 2y(0 y 20).在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒

27、杯底部，那么玻璃球的半径r应满足 什么条件？. 2.已知定点Q (7, 2),抛物线y2x上的动点P到焦点的距离为d ,求d PQ的最小值，并确定取最小值时 P点的坐标.【空间向量与立体几何】一一理科班做.在空间直角坐标系内， 设平面 经过点P(Xo, yO, 4),平面 的法向量为 e (A, B,C), M(x,y,z)是平面 内任意一点，求 x,y,z满足的关系式.在一个二面角的一个面内有一点，它到棱的距离等于到另一个面的距离 的2倍，求这个二面角的度数.A.如图，已知 ABC和DBC所在的平面垂直， AB BC BD, CBA DBC 120 ,求： (1) AD与BC所成的角； (2

28、) AD与面BCD所成的角； (3)二面角A BD C的大小.已知平面OAB,OBC,OAC相交于一点O, AOB BOC COA 60 ,求交线 OA与平面OBC所成的角. TOC o 1-5 h z .如图，平行六面体 ABCD A1B1C1D1的底面ABCD是菱形， LB1且 CiCBCiCDBCD .(1)求证：CiC BD ；1 /(2)当黑的值为多少时，/7能使AC 平面C1BD?请给出证明.选彳2-2【导数及其应用】.有一隧道既是交通拥挤地段，又是事故多发地段.为了保证安全，交通部门 规定，隧道内的车距d(m)正比于车速v(km/h)的平方与自身长l(m)的积, 且车距不得小于半

29、个车身长 .而当车速为60(km/h)时，车距为1.44个车身 长.在交通繁忙时，应规定怎样的车速，可以使隧道的车流量最大？.如图，质点P在半彳至为10cm的圆上逆时针作匀速圆周运动，角速度为t时，点P在y轴上的射影点M的2rad /s.设A(10,0)为起始点，求时刻 速度.【推理与证明】1.先解答(1),再通过结构类比解答(2)：(1) 求证：tan(x ) 1-tan-x ;41 tan x(2)设x R, a为非零常数，且f(x a) 1-，试问：f(x)是1 f(x)周期函数吗？证明你的结论 .(理科做)试比较nn1与(n 1)n(n N*)的大小，分别取n 1,2,3,4,5 TO

30、C o 1-5 h z 加以验证，根据试验结果猜测一个一般性结论，并用数学归纳法证明.三角形三边a,b,c的长都是整数，且a b c.如果b m (m N*),这 样的三角形共有多少个？【数系的扩充】 HYPERLINK l bookmark133 o Current Document _13.,2 c3,1.设 1,求证：(1)10;(2)1 .2222.已知z7 24i ,求复数z. HYPERLINK l bookmark137 o Current Document 4，.求证：x 4 (x 1 i)(x 1 i)(x 1 i)(x 1 i),并由此写出在 复数范围内一1的4个四次方根.

31、已知Z (z 1) 5i ,求复数z.1.已知z是虚数，z ,求证： R的充要条件是 z 1.已知z1,z2C,z1z21,z1z2J3 ,求 zz2 .选彳2-3 理科班做【计数原理】.从0, 1, 2,，9这10个数字中选出5个不同的数字组成五位数，其 中大于13000的有多少个？.如图所示，某地有南北街道5条，东西街道6条， TOC o 1-5 h z 一邮递员从该地东北角的邮局 A出发，送信到西南角的B地，且途经C地，要求所走的路程最短，共一有多少种不同的走法？. (1)求(1 一r展开式中含一5的项; 2xx(2)求(2x3 )10展开式中的第8项.2x(3)求(x2 3x 2)5的

32、展开式中含x项的系数.有10只不同的试验产品，其中有 4只不合格品，6只合格品.现每次取一 只测试，直到4只不合格品全测出为止，问最后一只不合格品正好在第五次 测试时被发现的不同的情形有多少种.某国际旅行社现有翻译人员 11人，其中有5人只会英语，4人只会日语, 另2人既会英语又会日语.现从这11人中选4人当英语翻译，再从其余人中 选4人当日语翻译，共有多少种不同的安排方法？【概率】.从一批含有10件合格品、3件不合格品的产品中随机地逐个抽取，抽出 后的产品不放回，设 X表示直到取得合格品时的抽取次数，试求：(1)直到第2次才取到合格品的概率 P(X 2);(2)直到第3次才取到合格品的概率 P(X 3).抛两颗质量均匀的骰子各一次，(1)向上的点数之和为 7时，其中有一个的点数是 2的概率是多少？(2)向上的点数不同时，其中有一个的点数为4的概率是多少？.设某保险公司吸收 10000人参加人身意外保险，该公司规定：每人每年付给公司120元，若意外死亡，公司 10000元.如果已知每人每年意外死亡 的概率为0.006,问：该公司赔本及盈利额在 40000