立体几何(几何法)-线面角

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业立体几何（几何法）线面角例1（2012广一模）（本小题满分14分）图5如图5所示，在三棱锥中，平面平面，于点， ，（1）证明为直角三角形；（2）求直线与平面所成角的正弦值（1）证明1：因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面1分记边上的中点为，在中，所以因为，所以3分因为，所以为直角三角形因为，所以4分连接，在中，因为，所以5分因为平面，平面，所以在中，因为，所以6分在中，因为，所以所以为直角三角形7分证明2：因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面1分记边上的中点为，

2、在中，因为，所以 因为，所以3分连接，在中，因为，所以4分在中，因为，所以，所以5分因为平面，平面，所以6分因为，所以平面 因为平面，所以所以为直角三角形7分（2）解法1：过点作平面的垂线，垂足为，连，则为直线与平面所成的角8分由（1）知，的面积9分因为，所以10分由（1）知为直角三角形，所以的面积11分因为三棱锥与三棱锥的体积相等，即，即，所以12分在中，因为，所以13分因为所以直线与平面所成角的正弦值为14分解法2：过点作，设，则与平面所成的角等于与平面所成的角8分由（1）知，且，所以平面因为平面，所以平面平面过点作于点，连接，则平面所以为直线与平面所成的角10分在中，因为，所以11分因为

3、，所以，即，所以12分由（1）知，且，所以13分因为，所以直线与平面所成角的正弦值为14分解法3：延长至点，使得，连接、，8分在中，所以，即在中，因为，所以，所以因为，所以平面9分过点作于点，因为平面，所以因为，所以平面所以为直线与平面所成的角11分由（1）知，所以在中，点、分别为边、的中点，所以12分在中，所以，即13分因为所以直线与平面所成角的正弦值为14分解法4：以点为坐标原点，以，所在的直线分别为轴，轴建立如图的空间直角坐标系，8分 则，于是，设平面的法向量为，则即取，则，所以平面的一个法向量为12分设直线与平面所成的角为，则所以直线与平面所成角的正弦值为14分 若第（1）、（2）问都

4、用向量法求解，给分如下：（1）以点为坐标原点，以，所在的直线分别为轴，轴建立如图的空间直角坐标系，1分 则，于是，因为，所以所以所以为直角三角形7分（2）由（1）可得，于是，设平面的法向量为，则即取，则，所以平面的一个法向量为12分设直线与平面所成的角为，则所以直线与平面所成角的正弦值为14分例2（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，是上的一点，。（）证明：平面；（）设二面角为，求与平面所成角的大小。【答案】解：方法一：(1)证明：因为底面ABCD为菱形，所以BDAC，又PA底面ABCD，所以PCBD.设ACBDF，连结EF.因为AC2eq r(2)

5、，PA2，PE2EC，故PC2eq r(3)，ECeq f(2r(3),3)，FCeq r(2)，从而eq f(PC,FC)eq r(6)，eq f(AC,EC)eq r(6).因为eq f(PC,FC)eq f(AC,EC)，FCEPCA，所以FCEPCA，FECPAC90，由此知PCEF.PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC平面BED.(2)在平面PAB内过点A作AGPB，G为垂足因为二面角APBC为90，所以平面PAB平面PBC.又平面PAB平面PBCPB，故AG平面PBC，AGBC.BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，故BC平面PAB，于是BCAB，所以

6、底面ABCD为正方形，AD2，PDeq r(PA2AD2)2eq r(2).设D到平面PBC的距离为d.因为ADBC，且AD平面PBC，BC平面PBC，故AD平面PBC，AD两点到平面PBC的距离相等，即dAGeq r(2).设PD与平面PBC所成的角为，则sineq f(d,PD)eq f(1,2).所以PD与平面PBC所成的角为30.方法二：(1)以A为坐标原点，射线AC为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.设C(2eq r(2)，0,0)，D(eq r(2)，b,0)，其中b0，则P(0,0,2)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(f(4r(2),3)，0，f(

7、2,3)，B(eq r(2)，b,0)于是eq o(PC,sup6()(2eq r(2)，0，2)，eq o(BE,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),3)，b，f(2,3)，eq o(DE,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),3)，b，f(2,3)，从而eq o(PC,sup6()eq o(BE,sup6()0，eq o(PC,sup6()eq o(DE,sup6()0，故PCBE，PCDE.又BEDEE，所以PC平面BDE.(2)eq o(AP,sup6()(0,0,2)，eq o(AB,sup6()(eq r(2)，b,0)

8、设(x，y，z)为平面PAB的法向量，则eq o(AP,sup6()0，eq o(AB,sup6()0，即2z0且eq r(2)xby0，令xb，则(b，eq r(2)，0)设(p，q，r)为平面PBC的法向量，则eq o(PC,sup6()0，eq o(BE,sup6()0，即2eq r(2)p2r0且eq f(r(2)p,3)bqeq f(2,3)r0，令p1，则req r(2)，qeq f(r(2),b)，eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(r(2),b)，r(2).因为面PAB面PBC，故0，即beq f(2,b)0，故beq r(2)，于是(1，1，eq r(2)，eq

9、 o(DP,sup6()(eq r(2)，eq r(2)，2)，cos，eq o(DP,sup6()eq f(no(DP,sup6(),|n|o(DP,sup6()|)eq f(1,2)，eq o(DP,sup6()60.因为PD与平面PBC所成的角和，eq o(DP,sup6()互余，故PD与平面PBC所成的角为30.例2（2012高考天津文科17）（本小题满分13分）如图14，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，ADPD，BC1，PC2eq r(3)，PDCD2.(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值；(2)证明平面PDC平面ABCD；(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值图

10、14【答案】解：(1)如图所示，在四棱锥PABCD中，因为底面ABCD是矩形，所以ADBC且ADBC，又因为ADPD，故PAD为异面直线PA与BC所成的角在RtPDA中，tanPADeq f(PD,AD)2.所以，异面直线PA与BC所成角的正切值为2.(2)证明：由于底面ABCD是矩形，故ADCD，又由于ADPD，CDPDD，因此AD平面PDC，而AD平面ABCD，所以平面PDC平面ABCD.(3)在平面PDC内，过点P作PECD交直线CD于点E，连接EB.由于平面PDC平面ABCD，而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线，故PE平面ABCD.由此得PBE为直线PB与平面ABCD所成的角在

11、PDC中，由于PDCD2，PC2eq r(3)，可得PCD30.在RtPEC中，PEPCsin30eq r(3).由ADBC，AD平面PDC，得BC平面PDC，因此BCPC.在RtPCB中，PBeq r(PC2BC2)eq r(13).在RtPEB中，sinPBEeq f(PE,PB)eq f(r(39),13).所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为eq f(r(39),13).例3（2012高考浙江文20）（本题满分15分）如图15，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，ADAB，ABeq r(2)，AD2，BC4，AA12，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与

12、直线AA1的交点(1)证明：(i)EFA1D1；(ii)BA1平面B1C1EF；(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值图15 【答案】解：(1)证明：()因为C1B1A1D1，C1B1平面A1D1DA，所以C1B1平面A1D1DA，又因为平面B1C1EF平面A1D1DAEF，所以C1B1EF，所以A1D1EF.()因为BB1平面A1B1C1D1，所以BB1B1C1.又因为B1C1B1A1，所以B1C1平面ABB1A1，所以B1C1BA1.在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，tanA1B1FtanAA1Beq f(r(2),2)，即A1B1FAA1B，故BA1B1F，所以BA1平面B1C1EF.(2)设BA1与B1F交点为H，连结C