人口增长模型

1、A题人口增长模型匹1=1摘要人口的增长是当前世界上引起普遍关注的问题，作为世界上人口最多的国家，我国 的人口问题是十分突出的，由于人口基数大，尽管我国已经实行了 20多年的计划生育 政策，人口的增长依然很快，巨大的人口压力给我国的社会、政治、经济、医疗、就业 等带来了一系列的问题。因此，研究和解决人口问题在我国显得尤为重要。我们经常 在报刊上看见关于人口增长的预报，说到本世纪末，或到下世纪中叶，全世界（或某地区） 的人口将达到多少亿。你可能注意到不同报刊对同一时间人口的预报在数字上长有较大 的区别，这显然是由于用了不同的人口模型计算的结果。人类社会进入20世纪以来，在科学技术和生产力飞速发展的

2、同时，世界人口也以空前 的规模增长。人口每增加十亿的时间，由一百年缩短为十二三年.我们赖以生存的地球，已 经携带着它的60亿子民踏入21世纪.长期以来，人类的繁殖一直在自发地进行着，只是由于人口数量的迅速膨胀和环境质 量的急剧恶化，人们才猛然醒悟，开始研究人类和自然的关系、人口数量的变化规律，以 及如何进行人口控制等问题。本文建立两个模型：（1）中国人口的指数增长模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。（2）中国人口的Logistic模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。而且利用MATLAB图形，标出中国人口的实际统计数据，并画出两种模型的预测曲线 和两种预测模型的误差比

3、较图，并分别标出其误差。关键词：指数增长模型Logistic模型MATLAB软件人口增长预测一、 问题的重述下表列出了中国19821998年的人口统计数据，取1982年为起始年（t=0），人 口自然增长率14%，以36亿作为我国的人口容纳量，试建立一个较好的数学模型并给出 相应的算法和程序，并与实际人口相比较。时间（年）198219831984198519861987人口（万人）101654103008104357105851107507109300时间（年）198819891990199119921993人口（万人）111026112704114333115823117171118517时间

4、（年）19941995199619971998人口（万人）119850121121122389123626124810二、问题分析从图中我们可以看到人口数在19821998年是呈增长趋势的，而且我们很容易发 现上述图表和我们学过指数函数的图表有很大的相似性，所以我们很自然想到建立指数 模型，但是指数模型有个不妥之处就是没有考虑社会因素的，即资源的有限性，也就是 人口不可能无限制的增长，所以有必要改进模型，这里我们假设人口增长率随人口增加 而呈线性递减，从而建立起比较优越阻滞增长模型三、符号定义与说明符号定义及说明t表示年份（选定初始年份的t=0）r表示人口增长率x表示人口数量这里只给出主要符号

5、的意义，其他符号将在文中给出，在此不再一一赘述。四、模型的建立及求解4.1人口指数增长模型4.1.1模型假设：（1）假设不存在某抽样年龄段出现0死亡概率；（2）假设人口平稳增长，无大型自然灾害，战争等因素的影响；（3）假设境内外迁移率对我国未来人口影响不计；（4）人口的净增长率（即出生率减去死亡率）为常数；（5）时刻t的人口函数是连续可微的。4.1.2模型的建立及求解记时刻t的人口为x(t)，当考察一个国家或一个很大地区的人口时，x(t)是很大的整数。为了利用微积分这一数学工具，将x(t)视为连续、可微函数。记初始时刻(t=0)的人口为，人口增长率为r，r是单位时间内x(t)的增量与x(t)的

6、 比例系数。根据r是常数的基本假设，t到t+也时间内人口的增量为出+也)嘉)=从贝(1)于是x(t)满足如下的微分方程：(r dx 一 =rxzqa TOC o 1-5 h z 1 dt(2)x (0) = x0由这个线性常系数微分方程容易解出x(t) = x ert(3)表明人口将按指数规律无限增长(r0)。将t以年为单位离散化，(3)式表明，人口以er为公比的等比数列增长。因为这时r表示年增长率，通常r1，所以可用近似关系eg 1 + r可得出x(t) n x (1 + r)t(4)由(3)或(4)式给出的模型可以很好地吻合一些人口增长率长期稳定不变 的国家和地区进行预报，结果也十分可观。

7、4.1.3模型检验通过matlab软件得到指数增长模型预测出的人口数与实际人口数的比较曲线， 如图1所示。年份图1指数模型预测人口增长曲线与实际人口数比较1998年由指数增长模型预测出的人口数与实际人口数相差最小，而其他年份的真实值与预测值之间有差别如下表所示：表一预测出的人口数与实际人口数相差比较年份实际人口（万人）指数增长模型（万人）误差1982101654101654.001983103008103087.2791984104357104540.51841985105851106014.41631986107507107509.021987109300109024.72751988111

8、026110561.84641989112704112120.65831990114333113701.36321991115823115304.35191992117171116929.92411993118517118578.5621994119850120250.24001995121121121945.68251996122389123664.812761997123626125408.317821998124810127176.42366其中人口的自然增长率为这几年的平均增长率r=0.014，指数增长模型预测的结果很好的反映了实际情况。按此模型预测现在中国人口已超过13亿，到2016

9、年中国人口将超过15亿。我们看到，尽管中国人口调控政策比较得力，但中国近 几年处于高生育期，按指数增长模型预测的结果均比实际人口要少。同时由于中 国人口调控政策比较得力，中国人口的自然增长率在逐年下降，已经从1991年的千分之十五降到1998年的千分之十左右。而按照近几年的平均增长率r=0.014预测，肯定和实际之间有一定的误差。4.1.4模型讨论指数增长模型在一定的社会发展下反映了人口的发展情况，马尔萨斯模型很 好反映了人口变化发展，人口增长趋势呈指数增长；但是由于资源及其其他因素 的影响，人口增长不会一直按指数增长，所以人口的增长应该还受到其他因素的 影响，这是指数模型无法反映和处理的，所

10、以要更准确地预测1998的人口就必须 对马尔萨斯模型进行改进。因此我们在马尔萨斯模型的基础上进行修改得到了模 型二：阻滞增长模型(Logistic模型)。4.2人口的Logistic增长模型4.2.1模型假设地球上的资源有限，不妨设为1；而一个人的正常生存需要占用资源1/P*(这里事实上也内在的假定了地球的极限承载人口数为P*)；在时刻t，人口增长的速率与当时人口数成正比，为简单起见也假设与当时剩余资源s = 1-P/P*成正比；比例系数r表示人口的固有增长率；设人口数P(t)足够大，可以视做连续变量处理，且 P(t)关于t连续可微。4.2.2模型的建立和求解由模型假设，可将人口数的净增长率r

11、视为人口数P(t)的函数，由于资源对人口增长的限制，r(P)应是P(t)的减函数，特别是当达到P(t)极限承载人口数P*时，应有净增长率r(P) = 0，当人口数P(t)超过P*时，应当发生负增长。基于如上想法，可令r(P) = r x (1 - P / P *)(5)用r（P）代替指数增长模型中的r导出如下微分方程模型:（6）这是一个伯努利方程的初值问题，其解为P(t)=P *-P*-、1 + (- 1)e -r (t-tQ)o（7）在这个模型中，我们考虑了资源量对人口增长率的阻滞作用，因而称为阻滞增长模型（或Logistic模型）。其图形如图2所示。年份图2阻滞增长模型模型预测人口增长曲线

12、与实际人口数比较4.2.3模型检验从图2可以看出，人口总数具有如下规律：人口数的初始值P P*时，人口曲线（虚线）单调递增，与实际人口增长曲线（实 线）相吻合，也叫符合实际人口增长情况；当t T8，人口数趋于极限值P *。人口实际增长的真实值与阻滞增长模型预测值之间比较如表二所示: 表二预测出的人口数与实际人口数相差比较年份实际人口（万人）阻滞增长模型（万人）误差198210165410165401983103008102678330198410435710370964819851058511047461105198610750710578917181987109300106837246319

13、88111026107892313419891127041089533751199011433311002043131991115823111092473119921171711121705001199311851711325452631994119850114344550419951211211154395682199612238911654058491997123626117646598019981248101187576053从表二结合图2可知虽然，在短骂可几年内阻滞增长模型预测出的人口数与实际人口数相差比较大，但在长期预测中还是相当吻合的。4.2.4模型讨论阻滞增长模型在某种程度上较好

14、地反映了人口的增长规律，特别是在预测现代 社会人口发展趋势有较高的科学性。因为现代社会人口已经达到一定的饱和程度， 社会因素对人口的发展产生了很大的影响，比如粮食资源，水资源，环境问题已 经对人类的可持续发展构成了约束作用。因此，作为中长期预测，阻滞增长模型 比马尔萨斯（指数）模型要合理一些。五、结果分析阻滞增长模型从一定程度上克服了指数增长模型的不足，可以被用来做相对较 长时期的人口预测，而指数增长模型在做人口的短期预测时因为其形式的相对简 单性也常被采用。不论是指数增长模型曲线，还是阻滞增长模型曲线，它们有一个共同的特点， 即均为单调曲线。但我们可以从一些有关我国人口预测的资料发现这样的预

15、测结 果：在直到2030年这一段时期内，我国的人口一直将保持增加的势头，到2030 年前后我国人口将达到最大峰值16亿，之后，将进入缓慢减少的过程这是一 条非单调的曲线，即说明其预测方法不是本节提到的两种方法的任何一种。一定 还有比指数增长模型、阻滞增长模型更好的人口预测方法。六、模型的评价与推广用指数增长模型确实可以预测人口的增长，但是它只适合于短期的人口预测，为了使人口预报特别是长期预报更好地符合实际情况，必须修改指数增长模型关 于人口增长率是常数这个基本假设了。阻滞增长模型在某种程度上较好地反映了人口的增长规律，因为现代社会人 口已经达到一定的饱和程度，社会因素对人口的增长产生了很大的影

16、响，比如粮 食资源，水资源，环境问题已经对人类的可持续发展构成了约束作用。因此，作 为中长期预测，选用阻滞增长模型比较更合理一些。事实上，人口的预测是一个相当复杂的问题，影响人口增长的因素除了人口基 数与可利用资源量外，还和医药卫生条件的改善、人们生育观念的变化等因素有 关，特别在做中短期预测时，我们希望得到满足一定预测精度的结果，比如在刚 刚经历过战争或是由于在特定的历史条件下采纳了特殊的人口政策等，这些因素 本身以及由此而引起的人口年龄结构的变动就会变的相当重要，进而需要必须予 以考虑。参考文献姜启源.数学模型M.北京：高等教育出版社.1987年4月第一版；于洪彦.Excel统计分析与决策

17、M.北京:高等教育出版社.2006年4月；胡守信，李柏年.基于MATLAB的数学实验M.北京：科学出版社.2004年6月；扬启帆，康旭升，等.数学建模M.北京：高等教育出版社.2006年5月；于学军.中国人口科学2000年第2期，时间:2000-4-6,中国人口信息网.附录1主要matlab算法程序指数增长模型主要程序x=1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998;y=101654.000*exp(0.014*(x-1982);Y=101654 103008 104357 105851 107507 109300 111026 112704 114333 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124810;plot(x,y,r);hold on;grid on;scatter(x,Y,b);legend(预测人口增长曲线，实际人口数);xlabel(年份);ylabel(人口数);title(预测人口增长曲线与实际人口数比较);阻滞增长模型主要程序x=1982:1:2400;y=360000./(1+(360000/101654-1)*exp(-0