高中数学必修4配人教A版-课后习题Word版第二章　2.2.3　向量数乘运算及其几何意义

1、第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.3向量数乘运算及其几何意义课后篇巩固探究基础巩固1.下列说法正确的个数为()0a=0;0a=0;a0=0;a0=0.A.1B.2C.3D.4解析本题考查数乘向量运算的理解,由于数乘向量的结果是一个向量而不是一个数,因此本题所给的四种说法中只有与的结果是一个向量,因此选B.答案B2.1312(2a+8b)-(4a-2b)等于()A.2a-bB.2b-aC.b-aD.a-b解析原式=16(2a+8b)-13(4a-2b)=13a+43b-43a+23b=-a+2b=2b-a.答案B3.在ABC中,D是线段BC的中点,且AB+AC=4AE,则()A.AD

2、=2AEB.AD=4AEC.AD=2EAD.AD=4EA解析由已知得AB+AC=2AD,所以AD=2AE.答案A4.已知AB=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3(a-b),则()A.A,C,D三点共线B.B,C,D三点共线C.A,B,C三点共线D.A,B,D三点共线解析因为BD=BC+CD=(-2a+8b)+3(a-b)=a+5b,所以AB=BD.又AB与BD有公共点B,所以A,B,D三点共线.答案D5.已知向量a与b不共线,AB=a+mb,AC=na+b(m,nR),则AB与AC共线的条件是()A.m+n=0B.m-n=0C.mn+1=0D.mn-1=0解析由AB=a+mb,AC=na+

3、b(m,nR)共线,得a+mb=(na+b)=na+b,向量a与b不共线,1=n,m=,即mn-1=0,故选D.答案D6.若AB=5e,CD=-7e,且|AD|=|BC|,则四边形ABCD的形状是.解析由已知得AB=-57CD,因此ABCD,且|AB|CD|,又知|AD|=|BC|,所以四边形ABCD是等腰梯形.答案等腰梯形7.在四边形ABCD中,ABCD,AB=3DC,E为BC的中点,则AE=AB+AD.解析BC=BA+AD+DC=-23AB+AD,AE=AB+BE=AB+12BC=AB+12(AD23AB)=23AB+12AD.答案23128.在ABC中,点M为边AB的中点,若OPOM,且

4、OP=xOA+yOB(x0),则yx=.解析M为AB的中点,OM=12(OA+OB).又OPOM,存在实数,使OP=OM,OP=2(OA+OB)=2OA+2OB,x=y=2,yx=1.答案19.如图,已知D,E分别为ABC的边AB,AC的中点,延长CD到M使DM=CD,延长BE至N使BE=EN,求证:M,A,N三点共线.证明D为MC的中点,且D为AB的中点,AB=AM+AC.AM=ABAC=CB.同理可证明AN=ACAB=BC.AM=-AN.AM,AN共线,又AM与AN有公共点A.M,A,N三点共线.10.(1)已知a=3i+2j,b=2i-j,求13a-ba-23b+(2b-a);(2)已知

5、向量a,b,且5x+2y=a,3x-y=b,求x,y.解(1)原式=13a-b-a+23b+2b-a=13-1-1a+-1+23+2b=-53a+53b.a=3i+2j,b=2i-j,原式=-53(3i+2j)+53(2i-j)=-5+103i+-103-53j=-53i-5j.(2)将3x-y=b两边同乘2,得6x-2y=2b.与5x+2y=a相加,得11x=a+2b,x=111a+211b.y=3x-b=3111a+211b-b=311a-511b.能力提升1.如图,AB是O的直径,点C,D是半圆弧AB的两个三等分点,AB=a,AC=b,则AD=()A.a-12bB.12a-bC.a+12

6、bD.12a+b解析由已知易得四边形AODC为菱形,所以AD=AO+AC=12AB+AC=12a+b.答案D2.已知点P是ABC内的一点,AP=13(AB+AC),则ABC的面积与PBC的面积之比为()A.2B.3C.32D.6解析设BC的中点为D,则AB+AC=2AD.AP=13(AB+AC)=23AD,如图,过点A作AEBC,交BC于点E,过点P作PFBC,交BC于点F,则|PF|AE|=|PD|AD|=13.SABCSPBC=12|BC|AE|12|BC|PF|=3.答案B3.已知OM=23OA+13OB,设AM=AB,则实数的值为.解析因为OM=23OA+13OB,所以23OM+13O

7、M=23OA+13OB,于是23OM23OA=13OB13OM,即23AM=13MB,所以AM=12MB,所以AM=13AB,故=13.答案134.在平行四边形ABCD中,DE=12EC,BF=FC,若AC=AE+AF,其中,R,则+=.解析由平面向量的加法运算,有AC=AB+AD.因为AC=AE+AF=(AD+DE)+(AB+BF)=AD+13AB+AB+12AD=3+AB+2AD.所以AB+AD=3+AB+2AD,即3+=1,+2=1,解得=35,=45,故+=75.答案755.在ABC中,点P是AB上一点,且CP=23CA+13CB,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,且CM=tCP,

8、求t的值.解CP=23CA+13CB,3CP=2CA+CB,即2CP-2CA=CBCP.2AP=PB,即P为AB的一个三等分点(靠近点A),如图所示.A,M,Q三点共线,设CM=xCQ+(1-x)CA=x2CB+(x-1)AC,又CB=ABAC,CM=x2AB+x2-1AC.又CP=APAC=13ABAC,且CM=tCP,x2AB+x2-1AC=t13AB-AC.x2=t3,x2-1=-t,解得t=34.6.已知OBC中,点A是线段BC的中点,点D是线段OB的一个三等分点(靠近点B),设AB=a,AO=b.(1)用向量a与b表示向量OC;(2)若OE=35OA,判断C,D,E是否共线,并说明理由.解(1)AB=a,AO=b,点A是BC的中点,AC=-a.OC=OA+AC=-a-b.(2)假设存在实数,使CE=CD.CE=C