高中数学必修5配人教A版-课后习题Word版模块复习课 第1课时　解三角形

1、模块复习课第1课时解三角形课后篇巩固提升基础巩固1.已知在ABC中,a=15,b=10,A=60,则cos B=()A.-223B.223C.-63D.63解析由正弦定理得15sin60=10sinB,所以sin B=10sin6015=103215=33.因为ab,A=60,所以B为锐角,故cos B=1-sin2B=1-332=63.答案D2.已知在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b2+c2-bc,bc=4,则ABC的面积为()A.12B.1C.3D.2解析因为a2=b2+c2-bc,所以cos A=12,因此A=3.又因为bc=4,所以ABC的面积为12bcsin

2、 A=3.答案C3.已知在ABC中,满足a=3,b=2,B=30,则这样的三角形有()A.0个B.1个C.2个D.无数个解析由已知及正弦定理得,asinA=bsinB,即3sinA=2sin30,sin A=34.又A(0,),且ab,这样的三角形有2个.故选C.答案C4.张晓华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶,在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30方向上,15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75方向上,则电动车在点B时与电视塔S的距离是()A.22 kmB.32 kmC.33 kmD.23 km解析画出示意图如图所示.由条件知AB=241560=6(

3、km).在ABS中,BAS=30,AB=6 km,ABS=180-75=105,所以ASB=45.由正弦定理知BSsin30=ABsin45,所以BS=ABsin30sin45=32(km).答案B5.已知在ABC中,若BCCA=12,ABC的面积等于8,则tan C的值等于()A.23B.-23C.43D.-43解析由已知可得abcos(180-C)=12,即abcos C=-12.因为12absin C=8,所以absin C=16,于是tan C=absinCabcosC=-43.答案D6.在ABC中,a=3,b=6,A=23,则B=.解析根据正弦定理asinA=bsinB,得sin B

4、=bsinAa=6sin233,sin B=22.B=4或B=34.又ab,AB,B=4.答案47.如图,在ABC中,B=3,点D在BC上,cosADC=17,则cosBAD=.解析cosADC=17,sinADC=1-cos2ADC=437,则cosBAD=cos(ADC-B)=cosADCcos B+sinADCsin B=1712+43732=1314.答案13148.如图,为测量出山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点,从A处测得M的仰角MAN=60,C的仰角CAB=45以及MAC=75,从C处测得MCA=60.若山高BC=100 m,则山高MN=m.解析依题意可得AB=BC=

5、100 m,AMC=45,所以AC=1002 m.在ACM中,由正弦定理可得AM=ACsin45sin 60=1003(m),所以MN=AMsin 60=150(m).答案1509.在锐角三角形ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且asinA=2c3 .(1)求角C的大小;(2)若c=3,且ABC的面积为532,求a2+b2的值.解(1)asinA=2c3=csinC,sin C=32.ABC是锐角三角形,C=3.(2)SABC=12absin C=532,C=3,ab=10.由余弦定理得a2+b2-2abcos3=9,a2+b2=19.10.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为

6、a,b,c,若b=ctan B,且C为钝角.(1)证明C=B+2;(2)若c=3a,求角B的大小.(1)证明由b=ctan B及正弦定理得sin B=sin CsinBcosB,所以sin C=cos B,即sin C=sin2+B.因为C为钝角,所以2+B2,故C=B+2.(2)解由(1)知A=-B-C=2-2B.由c=3a可得sin C=3sin A,即sinB+2=3sin2-2B,所以cos B=3cos 2B,cos B=3(2cos2B-1),解得cos B=32cosB=-33舍去,故B=6.能力提升1.已知在锐角三角形ABC中,AB=3,AC=4,SABC=33,则BC=()A

7、.5B.13或37C.37D.13解析由SABC=12ABACsinBAC=1234sinBAC=33,得sinBAC=32.因为ABC为锐角三角形,所以BAC0,2,故BAC=3.在ABC中,由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2ACABcosBAC=42+32-243cos3=13.所以BC=13,故选D.答案D2.在非等腰三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos A=bcos B,则C等于()A.30B.45C.90D.120解析由acos A=bcos B可得sin Acos A=sin Bcos B,于是sin 2A=sin 2B.因为ABC不是等腰三角形,所

8、以2A=180-2B,则A+B=90,即C=90.答案C3.在ABC中,若B=60,a+c=2,则b的取值范围是()A.1,2)B.(0,2)C.(0,1D.(2,+)解析由正弦定理可得asinA=csinC=bsinB,所以a+csinA+sinC=bsinB,于是2sinA+sinC=b32,因此b=3sinA+sinC=3sinA+sin(120-A)=332sinA+32cosA=1sin(A+30).由于A+C=120,所以0A120,因此30A+30150,则12sin(A+30)1,即11sin(A+30)0,知0B2,得cos B=13.由余弦定理可得cos B=a2+c2-b

9、22ac=13,即a2+1-82a=13,整理得3a2-2a-21=0,解得a=3或a=-73(舍去).故a=3.答案35.如图,在ABC中,点D在AC上,ABBD,BC=33,BD=5,tanABC=-23913,则CD的长为.解析由tanABC=-23913可得sin ABC=235.由于ABC=90+DBC,因此sinABC=sin(90+DBC)=cosDBC=235.在DBC中,由余弦定理可得CD=(33)2+52-2335235=4.答案46.在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若asinB+bsinA=2c,则A的大小是.解析由正弦定理可得sinAsinB+sinBs

10、inA=2sin C.由sin C1,得sinAsinB+sinBsinA2.因为sinAsinB+sinBsinA2(由基本不等式可得),当且仅当sin A=sin B,取得等号,所以sin C=1,C=2,sin A=sin B.故A=B=4.答案47.在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知sin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1.(1)求证:a,b,c成等差数列;(2)若C=23,求ab的值.(1)证明由已知得sin Asin B+sin Bsin C+1-2sin2B=1,故sin Asin B+sin Bsin C=2sin2B.因为sin B0,所

11、以sin A+sin C=2sin B.由正弦定理得a+c=2b,所以a,b,c成等差数列.(2)解在ABC中,由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,得(2b-a)2=a2+b2-2abcos23,即(2b-a)2=a2+b2+ab,展开并化简,得3b2=5ab.故ab=35.8.如图,有一直径为8 m的半圆形空地,现计划种植甲、乙两种果树,已知单位面积种植甲种果树的经济价值是种植乙种果树经济价值的5倍,但种植甲种果树需要有辅助光照.半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足甲种果树生长的需要,该光源照射范围是ECF=6,点E,F在直径AB上,且ABC=6.(1)若CE=13 m,求AE的长;(2)设ACE=,求该空地产生最大经济价值时种植甲种果树的面积.解(1)由已知,点C在以AB为直径的半圆周上,所以ACB为直角三角形,因为AB=8,ABC=6,所以BAC=3,AC=4.在ACE中,CE2=AC2+AE2-2ACAEcosBAC,且CE=13,所以13=16+AE2-4AE,解得AE=1或AE=3.故AE的长为1 m或3 m.(2)因为ACB=2,ECF=6,所以ACE=0,3,所以AFC=-BAC-ACF=-3+6=2-.在ACF中,CFsinBAC=ACsinAFC=ACsin2-=ACcos,所以CF=23c