高中数学选修1-2配北师版-课后习题Word版第三章　1.1　归纳推理

1、第三章DISANZHANG推理与证明1归纳与类比1.1归纳推理课后篇巩固提升A组1.已知数列an的前n项和Sn=n2an(n2),a1=1,猜想an等于()A.2(n+1)2B.2n(n+1)C.22n-1D.22n-1答案B解析由a1=1,Sn=n2an,得a2=13,a3=16,a4=110,猜想an=2n(n+1),故选B.2.将全体正整数排成一个三角形数阵:按照以上排列的规律,则第20行从左向右的第3个数为()A.193B.192C.174D.173答案A解析由排列的规律可得,第n-1行结束的时候共排了1+2+3+(n-1)=(n-1)(1+n-1)2=(n-1)n2个数,则第n行的第

2、一个数字为n(n-1)2+1,则第20行的第一个数字为191,故第20行从左向右的第3个数为193.故选A.3.定义A*B,B*C,C*D,D*B依次对应下列4个图形:则下列4个图形中,可以表示A*D,A*C的分别是()A.图1,图2B.图1,图3C.图2,图4D.图1,图4答案C解析由可归纳得出:符号“*”表示图形的叠加,字母A代表竖线,字母B代表大矩形,字母C代表横线,字母D代表小矩形.故A*D是图2,A*C是图4.4.如图是元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形,照此规律闪烁,下一个呈现出来的图形是()答案A5.已知x1,观察下列不等式:x+1x2,x2+2x3,x3+3x4

3、,按此规律,第n个不等式为.答案xn+nxn+1解析由x+1x2,x2+2x3,x3+3x4可知第n个不等式为xn+nxn+1.6.观察下列等式(1+1)=21(2+1)(2+2)=2213(3+1)(3+2)(3+3)=23135照此规律,第n个等式可为.答案(n+1)(n+2)(n+n)=2n135(2n-1)解析等号左边为n项的乘积;等号右边为两部分:一部分为2n,另一部分为n个连续奇数的乘积.故第n个等式为(n+1)(n+2)(n+3)(n+n)=2n135(2n-1).7.已知数列an对一切的nN+,an0,设前n项和为Sn,且2Sn=an+1,则通过前几项猜想出数列的通项公式为an

4、=.答案2n-1解析因为2Sn=an+1,所以2S1=a1+1,即2a1=a1+1,所以a1=1.又2S2=a2+1,所以2a1+a2=a2+1.所以a22-2a2-3=0.因为对一切的nN+,an0,所以a2=3.同理可求得a3=5,a4=7,猜测出an=2n-1(nN+).8.经计算发现下列正确不等式:2+18210,4.5+15.5210,3+2+17-20,b0)解析各不等式右边相同,左边两根号内的数之和等于20.9.观察下列各式:sin230+cos260+sin 30cos 60=34;sin240+cos270+sin 40cos 70=34;sin215+cos245+sin

5、15cos 45=34.分析以上各式的共同特点,根据其特点写出反映一般规律的等式,并对等式是否正确加以证明.解反映一般规律的等式是:sin2+cos2(+30)+sin cos(+30)=34.(表达形式不唯一)该等式是正确的,证明如下:sin2+cos2(+30)+sin cos(+30)=sin2+(cos cos 30-sin sin 30)2+sin (cos cos 30-sin sin 30)=sin2+32cos-12sin2+32sin cos -12sin2=sin2+34cos2+14sin2-32sin cos +32sin cos -12sin2=34(sin2+cos

6、2)=34.10.由下列各式:112;1+12+131;1+12+13+14+15+16+1732;1+12+13+14+1152.请你归纳出一般结论.解将题中所给四个式子变形121-112;1+12+122-122;1+12+13+14+15+16+123-132;1+12+13+14+124-142.归纳概括,猜测得1+12+13+12n-1n2.B组1.观察下列各式:1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,可以得出的一般结论是()A.n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=n2B.n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2

7、C.n+(n+1)+(n+2)+(3n-1)=n2D.n+(n+1)+(n+2)+(3n-1)=(2n-1)2答案B解析观察各式很容易发现规律:n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2.2.观察下列数表规律则数2 017的箭头方向是()答案C3.如图,已知ABC的面积为4,连接ABC三边的中点构成第二个三角形,再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形,依此类推,第2 021个三角形的面积为()A.142 017B.142 018C.142 019D.142 020答案C解析观察图形可知后一个三角形的面积是前一个三角形面积的14,设第n个三角形的面积为an,则数列an是首项为a

8、1=4,公比为14的等比数列,an=414n-1=14n-2,第2 021个三角形的面积为a2 021=142 019=142 019.故选C.4.观察(x2)=2x,(x4)=4x3,(cos x)=-sin x,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)=()A.f(x)B.-f(x)C.g(x)D.-g(x)答案D解析由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数,g(-x)=-g(x),选D.5.观察下列式子:1+12232,1+122+13253,1+122+132+14274根据以上式子可以猜想:1+122+132+12

9、0212.答案4 0412 021解析由已知的式子:1+12232,1+122+13253,1+122+132+14274可得1+122+132+1n22n-1n.故1+122+132+12 02124 0412 021.6.设an是首项为1的正数项数列,且(n+1)an+12-nan2+an+1an=0(nN+),经归纳猜想可得这个数列的通项公式为.答案an=1n(nN+)解析由首项为1,得a1=1;当n=1时,由2a22-1+a2=0,得a2=12;当n=2时,由3a32-2122+12a3=0,即6a32+a3-1=0,解得a3=13;归纳猜想该数列的通项公式为an=1n(nN+).7.

10、根据图中线段的排列规则,试猜想第8个图形中线段的条数为.答案509解析分别求出前4个图形中线段的数目,发现规律,得出猜想,图形到中线段的条数分别为1,5,13,29.因为1=22-3,5=23-3,13=24-3,29=25-3,所以猜想第8个图形中线段的条数为28+1-3=509.8.设数列an的前n项和为Sn,且Sn=2-an(nN+).(1)计算a1,a2,a3,a4,并猜想an;(2)用数学归纳法证明你的猜想.解(1)当n=1时,S1=2-a1,a1=1;当n=2时,S2=a1+a2=2-a2,a2=12;当n=3时,S3=a1+a2+a3=2-a3,a3=14;当n=4时,S4=a1+a2+a3+a4=2-a4,a4=18.故猜想an=12n-1.(2)下面用数学归纳法证明猜想:当n=1时,a1=121-1=1,猜想成立;假设当n=k时猜想成立,即ak=12k-1成立;那么,当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=(2-ak+1)-(2-ak),所以2ak+1=ak=12k-1,所以ak+1=12k=12(k+1)-1,即n=k+1时,猜想成立.由可知,对nN*猜想均成立.9.已知数列an的前n项和为Sn,a1=-23,且Sn+1Sn+2=an(n2,nN+),计算S1,S2,S3,S4,并猜