高中数学选修2-3配人教A版-课后习题word版-第一章　计数原理1.2.1　排列

1、1.2排列与组合1.2.1排列课后篇巩固提升基础巩固1.A76-A65A54等于()A.12B.24C.30D.36解析A76-A65A54=76A54-6A54A54=36.答案D2.3位老师和3名学生站成一排,要求任何学生都不相邻,则不同的排法总数为()A.144B.72C.36D.12解析利用插空法,先将老师排好,有A33种排法,形成4个空,将3名学生插入4个空中,有A43种排法,故共有A33A43=144(种)排法.答案A3.已知An+12An2=10,则n的值为()A.4B.5C.6D.7解析由An+12An2=10,得(n+1)n-n(n-1)=10,解得n=5.答案B4.若要在某

2、跨海大桥上建造风格不同的3个报警电话亭和3个观景区,要求它们各自互不相邻,则不同的排法种数为()A.144B.72C.36D.9解析若电话亭用表示,观景区用表示,先排电话亭有A33种方法.则观景区插入电话亭所形成的空时,只有或两类,观景区有2A33种排法.故共有2A33A33=72(种)排法.答案B5.某单位安排7位员工在10月1日至7日值班,每天安排1人,每人值班1天.若7位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在10月1日,丁不排在10月7日,则不同的安排方案共有()A.504种B.960种C.1 008种D.1 108种解析甲、乙相邻的所有方案有A22A66=1 440(种);其中满足甲、乙

3、两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班的方法有A51A22A44=240(种),满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丁在10月7日值班的方法有A51A22A44=240(种),满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班,丁在10月7日值班的方法有A41A22A33=48(种),故符合题设要求的不同安排方案有:1 440-2240+48=1 008(种),故选C.答案C6.从数字0,1,3,5,7中任取两个数做除法,可得不同的商共有.解析当取的数有0时,商只有一种为0,当取的数没有0时,有A42=12种.故共有13种不同的商.答案13种7.三个人坐在一排八个座位上,若每人的两边都要有

4、空位,则不同的坐法种数为.解析“每人两边都有空位”是说三个人不相邻,且不能坐两头,只要将3个人插入5个空位形成的4个空档中即可.有A43=24(种)不同坐法.答案248.某一天上午的课程表要排入语文、数学、物理、体育共4节课,如果第一节不排体育,最后一节不排数学,那么共有不同排法种.解析(方法一)若第一节排数学,共有A33=6(种)方法,若第一节不排数学,第一节有2种排法,最后一节有2种排法,中间两节任意排,有222=8(种)方法,根据分类加法计数原理,共有6+8=14(种),故答案为14.(方法二)间接法:4节课全部可能的排法有A44=24(种),其中体育排第一节的有A33=6(种),数学排

5、最后一节的有A33=6(种),体育排第一节且数学排最后一节的有A22=2(种),故符合要求的排法种数为A44-2A33+A22=14(种).答案149.7名班委有7种不同的职务,甲、乙、丙三人在7名班委中,现对7名班委进行职务具体分工.(1)若正、副班长两职只能从甲、乙、丙三人中选两人担任,有多少种不同的分工方案?(2)若正、副班长两职至少要选甲、乙、丙三人中的一人担任,有多少种不同的分工方案?解(1)先排正、副班长,有A32种方法,再安排其余职务有A55种方法,由分步乘法计数原理,知共有A32A55=720(种)不同的分工方案.(2)7人中任意分工,有A77种不同的分工方案,甲、乙、丙三人中

6、无一人担任正、副班长的分工方案有A42A55种,因此甲、乙、丙三人中至少有一人担任正、副班长的分工方案有A77A42A55=3 600(种).10.规定Axm=x(x-1)(x-m+1),其中xR,m为正整数,且Ax0=1,这是排列数Anm(n,m是正整数,且mn)的一种推广.(1)求A-153的值;(2)确定函数f(x)=Ax3的单调区间.解(1)由已知得A-153=(-15)(-16)(-17)=-4 080.(2)函数f(x)=Ax3=x(x-1)(x-2)=x3-3x2+2x,则f(x)=3x2-6x+2.令f(x)0,得x3+33或x3-33,所以函数f(x)的单调增区间为-,3-3

7、3,3+33,+;令f(x)0,得3-33x3+33,所以函数f(x)的单调减区间为3-33,3+33.11.把1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数,并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列.(1)43 251是这个数列的第几项?(2)这个数列的第96项是多少?(3)求这个数列的各项和.解(1)先考虑大于43 251的数,分为以下三类.第1类,以5开头的有A44=24(个);第2类,以45开头的有A33=6(个);第3类,以435开头的有A22=2(个).故不大于43 251的五位数有A55-(A44+A33+A22)=88(个),即43 251是第88项.(2)数列共有A55=1

8、20(项),96项以后还有120-96=24(项),即比96项所表示的五位数大的五位数有24个,所以小于以5开头的五位数中最大的一个就是该数列的第96项,即为45 321.(3)因为1,2,3,4,5各在万位上时都有A44个五位数,所以万位上数字的和为(1+2+3+4+5)A4410 000,同理它们在千位、百位、十位、个位上也都有A44个五位数,所以这个数列的各项和为(1+2+3+4+5)A44(1+10+100+1 000+10 000)=152411 111=3 999 960.能力提升1.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数”.现从1,2,3,4,5,6这

9、六个数字中任取3个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有()A.120个B.80个C.40个D.20个解析当十位是3时,个位与百位从1,2中选,有A22种选法;当十位是4时,个位与百位从1,2,3中选,有A32种选法;当十位是5时,个位与百位从1,2,3,4中选,有A42种选法;当十位是6时,个位与百位从1,2,3,4,5中选,有A52种选法,则伞数有A22+A32+A42+A52=2+6+12+20=40(个).答案C2.在航天员进行的一项太空试验中,要先后实施6个程序,其中程序A只能出现在第一步或最后一步,程序B和C在实施时必须相邻,则试验顺序的编排方法共有()A.24种B.48种C.

10、96种D.144种解析本题是一个分步计数问题,由题意知程序A只能出现在第一步或最后一步,从第一个位置和最后一个位置中选一个位置排A,有A21=2(种)方法.因为程序B和C在实施时必须相邻,所以把B和C看作一个元素,同除A外的3个元素排列,注意B和C之间有2种排法,即共有A44A22=48(种)方法.根据分步乘法计数原理知,共有248=96(种)方法,故选C.答案C3.在学校组织的一次演讲比赛中,高一、高二、高三分别有1名、2名、3名同学获奖,将这6名同学排成一排合影,要求同年级的同学相邻,则不同的排法共有()A.6种B.36种C.72种D.120种解析依题意知,满足题意的不同排法共有A22A3

11、3A33=72(种).答案C4.用0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的6位数,其中个位数字小于十位数字的六位数共有()A.300个B.464个C.600个D.720个解析(方法一)确定最高位有A51种不同方法.确定万位、千位、百位,从剩下的5个数字中取3个排列,共有A53种不同的方法,剩下两个数字,把大的排在十位上即可,由分步乘法计数原理知,共有A51A53=300(个).(方法二)由于个位数字大于十位数字与个位数字小于十位数字的应各占一半,故有12A51A55=300(个).答案A5.某大楼安装了5个彩灯,它们闪亮的顺序不固定.每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色,且这5个彩灯

12、所闪亮的颜色各不相同,记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁.在每个闪烁中,每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮,而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒.如果要实现所有不同的闪烁,那么需要的时间至少是()A.1 205秒B.1 200秒C.1 195秒D.1 190秒解析由题意每次闪烁共5秒,所有不同的闪烁为A55个,相邻两个闪烁的时间间隔为5秒,因此需要的时间至少是5A55+(A55-1)5=1 195(秒).答案C6.为配制某种染色剂,需要加入3种有机染料、2种无机染料和2种添加剂,其中有机染料的添加顺序不能相邻.现要研究所有不同添加顺序对染色效果的影响,总共要进行的试验次数为.(用数字作答)解析先排无机

13、染料和添加剂,有A44种不同的排法,再排有机染料.因为它们不能相邻,所以用插空的方法排有机染料,有A53种不同的排法.共要进行A44A53=1 440(次)试验.答案1 4407.有10幅画展出,其中1幅水彩画,4幅油画,5幅国画排成一排,要求同一品种的画必须连在一起,并且水彩画不放在两端,则不同的陈列方式有种.解析第一步,水彩画可以在中间,油画、国画放在两端,有A22种放法;第二步,油画内部排列,有A44种;第三步,国画内部排列,有A55种.由分步乘法计数原理,不同的陈列方式共有A22A55A44=5 760(种).答案5 7608.某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号

14、,每次可以任挂1面、2面或3面(旗的颜色无重复),并且不同的顺序表示不同的信号,则一共可以表示种不同的信号.解析第1类,挂1面旗表示信号,有A31种不同结果;第2类,挂2面旗表示信号,有A32种不同结果;第3类,挂3面旗表示信号,有A33种不同结果;根据分类加法计数原理,可以表示的信号共有A31+A32+A33=3+32+321=15(种).答案159.从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一人游览,每人只游览一个城市,且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案共有多少?解(方法一)分四类.不选甲且不选乙,有A44种;选甲且不选乙,有A31A43种;不

15、选甲且选乙,有A31A43种;选甲且选乙,有A32A42种.由分类加法计数原理知,共有A44+A31A43+A31A43+A32A42=240(种)不同的选择方案.(方法二)共有A41A53=4543=240(种)不同的选择方案.10.某次文艺晚会上共演出8个节目,其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目,求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种?(1)一个唱歌节目开头,另一个放在最后压台;(2)2个唱歌节目互不相邻;(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻.解(1)先排唱歌节目有A22种排法,再排其他节目有A66种排法,所以共有A22A66=1 440(种)排法.(2)先排3个舞蹈节目和3个曲

16、艺节目,有A66种排法,再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目,有A72种插入方法,所以共有A66A72=30 240(种)排法.(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素,与3个曲艺节目排列共有A44种排法,再将3个舞蹈节目插入,共有A53种插入方法,最后将2个唱歌节目互换位置,有A22种排法,故所求排法共有A44A53A22=2 880(种)排法.11.(选做题)用0,1,2,3,4五个数字:(1)可组成多少个五位数;(2)可组成多少个无重复数字的五位数;(3)可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数;(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数.解(1)各个数位上的数字允许重复,故由分步乘法计数原理知,共有45555=2 500(个).(2)(方法一)先排万位,从1,2,3,4中任取一个有A41种填法,其余四个位置四个数字共有A44种,故共有A41A44=96(个).(方法二)先排0,从个、十、百、千位中任选一个位置将0填入有A41种方法,其余四个数字全排有A44种方法,故共有A41A44=96(个).(3)构成3