2022年人教A版数学必修一第2章《基本初等函数》示范教案

1、精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - - 河北省青龙满族自治县逸夫中学高中数学必修1 第 2 章 基本初等函数（1）-4. 示范教案（幂函数）整体设计 教学分析幂函数作为一类重要的函数模型, 是同学在系统地学习了指数函数、对数函数之后争论的又一类基本的初等函数. 同学已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经受, 幂函数概念的引入以及图象和性质的争论便水到渠成. 因此 , 学习过程中 , 引入幂函数的概念之后, 尝试放手让同学自己进行合作探究学习 . 本节通过实例 , 让同学熟悉到幂函数同样也是一1种重要的函数模型, 通过争论yx,y x2,y x3

2、,y x-1,y x 2等函数的性质和图象, 让同学熟悉到幂指数大于零和小于零两种情形下, 幂函数的共性： 当幂指数 0 时, 幂函数的图象都经过点（ 0,0 ）和（1,1 ）, 且在第一象限内函数单调递增；当幂指数 0 时, 幂函数的图象都经过点 （1,1 ）, 且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为渐近线 . 在方法上 , 我们应留意从特殊到一般地去进行类比争论幂函数的性质 , 并留意与指数函数进行对比学习 .将幂函数限定为五个详细函数 , 通过争论它们来明白幂函数的性质 . 其中 , 同学在中学已经学习了 y=x,y=x 2,y=x-1 等三个简洁的幂函数 , 对它们的图象和性质已经有

3、了肯定的感性熟悉 . 现在明确提出幂函数的概念 , 有助于同学形成完整的学问结构 . 同学已经明白了函数的基本概念、性质和图象 , 争论了两个特殊函数：指数函数和对数函数 , 对争论函数已经有了基本思路和方法 . 因此 , 教材支配学习幂函数, 除内容本身外 , 把握争论函数的一般思想方法是另一目的, 另外 , 应让同学明白利用信息技术来探究函数图象及性质是一个重要途径 .学习中同学简洁将幂函数和指数函数混淆 , 因此在引出幂函数的 概念之后 , 可以组织同学对两类不同函数的表达式进行辨析 .三维目标1. 通过生活实例引出幂函数的概念, 会画幂函数的图象, 通过观看图象 , 明白幂函数图象的变

4、化情形和性质 , 加深同学对争论函数性质的基本方法和流程的体会, 培育同学概括抽象和识图才能 , 使同学体会到生活中到处有数学 , 激发同学的学习爱好 .2. 明白几个常见的幂函数的性质 , 通过这几个幂函数的性质 , 总结幂函数的性质 , 通过画图比较, 使同学进一步体会数形结合的思想 , 利用运算机等工具 , 明白幂函数和指数函数的本质差别, 使同学充分熟悉到现代技术在人们熟悉世界的过程中的作用 , 从而激发同学的学习欲望 .3. 应用幂函数的图象和性质解决有关简洁问题 , 培育同学观看分析归纳才能 , 明白类比法在争论问题中的作用 , 渗透辩证唯物主义观点和方法论 , 培育同学运用详细问

5、题详细分析的方法去分析和解决问题的才能 .重点难点教学重点 : 从五个详细的幂函数中熟悉幂函数的概念和性质.教学难点 : 依据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小课时支配1 课时教学过程导入新课思路 11. 假如张红购买了每千克1 元的水果 w千克 , 那么她需要付的钱数p（元）和购买的水果量w（千克）之间有何关系？依据函数的定义可知, 这里 p 是 w的函数 .第 1 页,共 8 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - - 2. 假如正方形的边长为a, 那么正方形的面积S=a 2, 这里 S是 a 的函数 .3

6、. 假如正方体的边长为a, 那么正方体的体积V=a 3, 这里 V是 a 的函数 .14. 假如正方形场地面积 为 S, 那么正方形的边长 a=S2 , 这里 a 是 S 的函数 .5. 假如某人 t s 内骑车行进了 1 km, 那么他骑车的速度 v=t-1km/s, 这里 v 是 t 的函数 .以上是我们生活中常常遇到的几个数学模型 吗？ 右边指数式 , 且底数都是变量 .（适当引导：从自变量所处的位置这个角度）, 你能发觉以上几个函数解析式有什么共同点（引入新课 , 书写课题 : 幂函数） .思路 2. 我们前面学习了三类详细的初等函数: 二次函数、指数函数和对数函数, 这一节课我们再学

7、习一种新的函数幂函数 推动新课 新知探究 提出问题1问题 : 给出以下函数:y=x,y=x2,y=x2,y=x-1,y=x3, 考察这些解析式的特点, 总结出来 , 是否为指数函数？问题 : 依据 , 假如让我们起一个名字的话 般性的结论 ., 你将会给他们起个什么名字呢？请给出一个一问题 : 我们前面学习指对数函数的性质时, 用了什么样的思路.争论幂函数的性质呢.1问题 : 画出 y=x,y=x2,y=x2,y=x-1,y=x3五个函数图象 , 完成以下表格 .y=x-1函数性质y=xy=x2y=x31y=x2定义域 值域 奇偶性 单调性 特殊点 图象分布问题 : 通过对以上五个函数图象的观

8、看, 哪个象限肯定有幂函数的图象？哪个象限肯定没有幂函数的图象？哪个象限可能有幂函数的图象, 这时可以通过什么途径来判定？.问题 : 通过对以上五个函数图象的观看和填表, 你能类比出一般的幂函数的性质吗活动： 考虑到同学已经学习了指数函数与对数函数, 对函数的学习、争论有了肯定的体会和基本方法 , 所以教学流程又分两条线 , 一条以内容为明线 , 另一条以争论函数的基本内容和方法为暗线 , 教学过程中同时绽开 , 同学相互争论 , 必要时 , 老师将解析式写成指数幂形式 , 以启发同学归纳 , 同学作图 , 老师巡察 , 同学小组争论 , 得到结论 , 必要时 , 老师利用几何画板演示 .争论

9、结果：通过观看发觉这些函数的变量在底数位置 , 解析式右边都是幂 , 由于它们的变量都在底数位置上 , 不符合指数函数的定义 , 所以都不是指数函数 .由于函数的指数是一个常数 , 底数是变量 , 类似于我们学过的幂的形式 , 因此我们称这种类型的函数为幂函数 , 假如我们用字母 来表示函数的指数 , 就能得到一般的式子 , 即幂函数的定义 :一般地 , 形如 y=x （x R）的函数称为幂函数 , 其中 x 是自变量 , 是常数 .第 2 页,共 8 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - - 如 y=x2,y=x1

10、,y=x3 等都是幂函数 , 幂函数与指数函数、对数函数一样, 都是基本初等函数.2我们争论指对数函数时 , 依据图象争论函数的性质 , 由详细到一般 ; 一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性 ; 有时也通过画函数图象 , 从图象的变化情形来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质 , 争论幂函数的性质也应如此 .同学用描点法 , 也可应用函数的性质 , 如奇偶性、定义域等 , 画出函数图象 . 利用描点法 , 在1同一坐标系中画出函数 y=x,y=x 2 ,y=x 2,y=x 3,y=x-1 的图象 .列表 :x-3-2-12-3-1.0123y=x-3-2-101231 y=x2

11、1011.411.730149y=x294y=x3-27-8-101827y=x-11-1-11113223描点、连线 . 画出以上五个函数的图象如图图 2-3-1让同学通过观看图象 , 分组争论 , 探究幂函数的性质和图象的变化规律 , 老师留意引导同学用类比争论指数函数、对数函数的方法争论幂函数的性质 .通过观看图象 , 完成表格 .函数 2 3 1-1性质 y=x y=x y=x y=x2 y=x定义域 R R R x|x 0 x|x 0值域 R y|y 0 R y|y 0 y|y 0奇偶性 奇 奇 奇 非奇非偶 奇在第象限 在第象限 在第象限 在第象限 在第象限单调性单调递增 单调递增

12、 单调递增 单调递增 单调递减特殊点 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1图象分布 第、象限 第、象限 第、象限 第象限 第、象限第一象限肯定有幂函数的图象；第四象限肯定没有幂函数的图象；而其次、 三象限可能有, 也可能没有图象 , 这时可以通过幂函数和定义域和奇偶性来判定 .幂函数 y=x 的性质 .第 3 页,共 8 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - - （1）全部的幂函数在（ 0,+ ）都有定义, 并且图象都过点（1,1 ）（缘由： 1 x=1）；（2）当 0 时, 幂函数的图象都通过原点 , 并且在 0

13、,+ 上是增函数 （从左往右看 , 函数图象逐步上升）.特殊地 , 当 1 时,x （ 0,1 ） ,y=x 2的图象都在 y=x 图象的下方 , 外形向下凸 , 越大 , 下凸的程度越大 .当 0 1 时,x （ 0,1 ）,y=x2的图象都在y=x 的图象上方 , 外形向上凸 , 越小 , 上凸的程度越大 .（3）当 0 时, 幂函数的图象在区间（ 0,+ ）上是减函数 .在第一象限内 , 当 x 向原点靠近时 , 图象在 y 轴的右方无限靠近 时, 图象在 x 轴上方并无限靠近 x 轴的正半轴 .应用示例 思路 1 例 1 判定以下函数哪些是幂函数 .1y=0.2x; y=x-3 ; y

14、=x-2; y=x 5.y 轴正半轴 , 当 x 渐渐地变大活动：同学独立摸索 , 争论回答 , 老师巡察引导 , 准时评判同学的回答. 依据幂函数的定义判别,形如 y=x（x R）的函数称为幂函数, 变量 x 的系数为 1, 指数 是一个常数 , 严格按这个标准来判定 .x 的底数是 0.2, 因此不是幂函数;解： y=0.2y=x-3 的底数是变量 , 指数是常数 , 因此是幂函数 ;y=x-2 的底数是变量 , 指数是常数 , 因此是幂函数 ;1y=x5 的底数是变量 , 指数是常数 , 因此是幂函数 .点评： 判定函数是否是幂函数要严格按定义来判定 .变式训练判别以下函数中有几个幂函数

15、？12x2 的系数为 2, 因此不是幂y=x3; y=2x2; y=x 3; y=x2+x; y= -x3.解：的底数是变量, 指数是常数 , 因此是幂函数 ; 的变量函数 ;的变量是和的形式 , 因此也不是幂函数 ;的变量 x 3的系数为 -1, 因此不是幂函数 .例 2 求以下幂函数的定义域 , 并指出其奇偶性、单调性 .2 3（1）y=x3 , （ 2）y=x 2 , （3）y=x-2.活动：同学摸索 , 小组争论 , 老师引导 , 同学展现思维过程 , 老师评判 . 依据你的学习经受 , 回忆求一个函数的定义域的方法 , 判定函数奇偶性、 单调性的方法 . 判定函数奇偶性、 单调性的方

16、法, 一般用定义法 . 解决有关函数求定义域的问题时 , 可以从以下几个方面来考虑 : 列出相应不等式或不等式组 , 解不等式或不等式组即可得到所求函数的定义域 .2 2解：（1）要使函数 y=x 3 有意义 , 只需 y= 3x 2有意义 , 即 xR. 所以函数 y=x 3 的定义域是 xR.2又 f-x=fx,所以函数 y=x3是偶函数 , 它在 - ,0 上是减函数 , 在0,+ 上是增函数.第 4 页,共 8 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - - （2）要使函数 y=x3有意义 , 只需 y=21有意义

17、 , 即 x R +, 所以函数 y=x3的定义域是R +,223 x由于函数 y=x3的定义域不关于原点对称, 所以函数 y=x3是非奇非偶的函数, 它在0,+ 22上是减函数 .（3）要使函数 y=x-2 有意义 , 只需 y= 12 有意义 , 即 x 0, 所以函数 y=x-2 的定义域是 x 0, 又xf-x=fx, 所以函数 y=x-2 是偶函数 , 它在 - ,0 上是增函数 , 在0,+ 上是减函数 .,点评：在函数解析式中含有分数指数时, 可以把它们的解析式化成根式, 依据“ 偶次根号下非负” 这一条件来求出对应函数的定义域；当函数解析式的幂指数为负数时, 依据负指数幂的意义

18、将其转化为分式形式, 依据分 式的分母不能为0 这一限制条件来求出对应函数的定义域求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组.例 3 证明幂函数fx=x 在0,+ 上是增函数.活动： 同学先摸索或争论, 再回答 , 老师依据实际 , 可以提示引导 .证明函数的单调性一般用定义法, 有时利用复合函数的单调性.证明：任取x1,x20,+ , 且 x1x2, 就fx1-fx2=x1-x2=x 1x2x 1x 2=x 1x22,x 1x2x 1x由于 x1-x20,x1+x20, 所以x 1x20.x 1x 2所以 fx1fx2, 即 fx=x 在0,+ 上是增函数.点评：证明函数的单调性要严格按步骤和

19、格式书写, 利用作商的方法比较大小,fx1 与 fx2的符号要一样 . 思路 21例 1 函数 y（ x2-2x ）2的定义域是 A.x|x 0 或 x 2 B.（- ,0 ）（ 2, ）C.（ - ,0 2, D.（0,2 ）x2- 2x0, 即 x2 或 x分析：函数 y（ x2-2x ）1化为 y=x21, 要使函数有意义需22 x0, 所以函数的定义域为x|x 2 或 x0.答案： B变式训练1函数 y（ 1-x2） 2的值域是 （0,1 ） D.0,1 A. 0, B.（0,1 C.活动： 同学独立解题 , 先摸索 , 然后上黑板板演, 老师巡察指导 .函数的值域要依据函数的定义域来

20、求.第 5 页,共 8 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - - 函数可化为根式形式, 偶次方根号的被开方数大于零, 转化为等式或不等式来解, 可得定义域 ,这是复合函数求值域问题 , 利用换元法 .分析：令 t 1-x 2, 就 yt ,由于函数的定义域是 x|-1x1, 所以 0t 1. 所以 0y1.答案： D点评： 留意换元法在解题中的应用 .例 2 比较以下各组数的大小：（1）1.1 0.1,1.2 0.1; （2）0.24-0.2 ,0.25-0.2 ;30.2 0.3 ,0.3 0.3 ,0.3 0.2

21、.活动： 同学先摸索或回忆 , 然后争论沟通 , 老师适时提示点拨 .比较数的大小 , 常借助于函数的单调性 .对（ 1）（2）可直接利用幂函数的单调性 .对3 只利用幂函数的单调性是不够的 , 仍要利用指数函数的单调性 , 事实上 , 这里 0.3 0.3 可作为中间量 .解：（1）由于要比较的数的指数相同 , 所以利用幂函数的单调性 , 考察函数 y=x 0.1 的单调性 ,在第一象限内函数单调递增 , 又由于 1.1 1.2, 所以 1.1 0.10.25-0.2 .3 第一比较指数相同的两个数的大小 , 考察函数 y=x 0.3 的单调性 , 在第一象限内函数单调递增, 又由于 0.2

22、 0.3, 所以 0.2 0.3 0.3 0.3 .再比较同底数的两个数的大小 , 考察函数 y=0.3 x的单调性 , 它在定义域内函数单调递减 , 又因为 0.2 0.3, 所以 0.3 0.3 0.3 0.2 .所以 0.2 0.30.3 0.30.3 0.2.另外 , 此题仍有图象法 , 运算结果等方法 , 留作同学们自己完成 .点评：指数相同的幂的大小比较可以利用幂函数的单调性；用指数函数的单调性 .知能训练 1. 以下函数中 , 是幂函数的是 底数相同的幂的大小比较可以利A.y=2x B.y=2x 3 C.y= 1 D.y=2 xx2. 以下结论正确选项 A.幂函数的图象肯定过原点

23、 B. 当 0 时 , 幂函数 y=x 是增函数 D. 函数 y=x 2 既是二次函数 , 也是幂函数3. 以下函数中 , 在- ,0 是增函数的是 3A.y=x 3 B.y =x 2 C.y= 1 D.y=x 2x4. 已知某幂函数的图象经过点 2, 2 , 就这个函数的解析式为 .1答案： 1.C 2.D 3.A 4.y=x 2拓展提升分别在同一坐标系中作出以下函数的图象, 通过图象说明它们之间的关系.第 6 页,共 8 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - - 1 1y x-1,y x-2,y=x -3 ; y

24、 x2,y x3;.11, 老师准时提示 , 必要时 , 利用几何画板演示y=x,y=x2,y=x3; y=x 2,y x3.活动： 同学摸索或沟通, 探讨作图的方法解：利用描点法 , 在同一坐标系中画出上述四组函数的图象如图 图 2-3-5.2-3-2 、图 2-3-3 ,图 2-3-4 、图 2-3-2 图 2-3-3图 2-3-4 图 2-3-5观看图 2-3-2 得到 :函数 y x-1、yx-2、y=x-3 的图象都过点 1,1, 且在第一象限随 x 的增大而下降 , 函数在区间0,+ 上是单调减函数 , 且向右无限接近 x 轴, 向上无限接近 y 轴, 指数越小 , 向右无限接近 x 轴的图象在下方 , 向上离 y 轴越远 .观看图 2-3-3 得到 :1 1函数 yx 2、yx 3 的图象都过点 1,1, 且在第一象限随 x 的增大而下降 , 函数在区间0,+ 上是单调减函数 , 且向右无限接近 x 轴, 向上无限接近 y 轴, 指数越小 , 向右无限接近x 轴的图象在下方 , 向上离 y 轴越远 .观看图 2-3-4 得到 :函数 y=x、y=x 2、y=x 3的图象过点 1,1 、0,0, 且在第一象限随 x 的增大而上升 , 函数在区间0,+ 上是单调增函数 , 指数越大图象下凸越大 , 在第一象限来看 , 图象向上离 y 轴近 ,向下离 y 轴近 .