新北师大版数学中考总复习（知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习）（提高版）（家教、补习、复习用）

1、北师大版数学中考总复习重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习中考总复习：实数知识讲解 （提高）【考纲要求】1.了解有理数、无理数、实数的概念；借助数轴理解相反数、绝对值的概念及意义，会比较实数的大小；2.知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数，会求近似数和有效数字；了解乘方与开方、平方根、算术平方根、立方根的概念，并理解这两种运算之间的关系，了解整数指数幂的意义和基本性质；3.掌握实数的运算法则，并能灵活运用；4.逐步形成数形结合、分类讨论、建模思想.【知识网络】【考点梳理】考点一、实数的分类1.按定义分类：2.按性质符号分类：有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如（m，n是

2、整数n0）”的数叫有理数无理数：无限不循环小数叫无理数实数：有理数和无理数统称为实数要点诠释：常见的无理数有以下几种形式：（1）字母型：如是无理数，等都是无理数，而不是分数；（2）构造型：如2.10100100010000（每两个1之间依次多一个0）就是一个无限不循环的小数；（3）根式型：都是一些开方开不尽的数；（4）三角函数型：sin35、tan27、cos29等.考点二、实数的相关概念1.相反数（1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数0的相反数是0；（2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数；（3)互为相反数的两个数之和等于

3、0.a、b互为相反数a+b=0.2.绝对值（1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0可用式子表示为： （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离距离是一个非负数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数用式子表示：若a是实数，则|a|03.倒数（1)实数的倒数是；0没有倒数；（2)乘积是1的两个数互为倒数a、b互为倒数.4.平方根（1)如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根a（a0）的平方根记作（2)一个正数a的正的平方根

4、，叫做a的算术平方根a（a0）的算术平方根记作5.立方根如果x3=a，那么x叫做a的立方根一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根仍是0要点诠释：若则则表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数b的点之间的距离.考点三、实数与数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数要点诠释：（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度.（2）实数和数轴上的点是一一对应的.考点四、实数大小的比较1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切

5、负数；两个负数；绝对值大的反而小.3.对于实数a、b， 若a-b0ab；a-b=0a=b；a-b0ab，bc，则ac.5.无理数的比较大小：利用平方转化为有理数：如果ab0， a2b2ab；或利用倒数转化：如比较与.要点诠释：实数大小的比较方法：（1）直接比较法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小.（2）数轴法：在数轴上，右边的数总比左边的数大.考点五、实数的运算1.加法同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数满

6、足运算律：加法的交换律a+b=b+a，加法的结合律(a+b)+c=a+(b+c)2.减法减去一个数等于加上这个数的相反数3.乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负几个数相乘，有一个因数为0，积就为0乘法运算的运算律：（1）乘法交换律ab=ba；（2）乘法结合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac4.除法（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除0除以任何一个不等于0的数都得05.乘方与开方（1)求n个

7、相同因数的积的运算叫做乘方，a所表示的意义是n个a相乘.正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数（2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方（3)零指数与负指数要点诠释：（1）加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算这三级运算的顺序是三、二、一如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算（2）实数的运算律 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 乘法分配律：(a+b)c=ac+bc考点六、有效数字和科学记数法1.近似数

8、一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位精确度的形式有两种：（1）精确到哪一位；（2）保留几个有效数字.2.有效数字一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字3.科学记数法把一个数用a10（其中110，n为整数）的形式记数的方法叫科学记数法要点诠释：（1）当要表示的数的绝对值大于1时，用科学记数法写成a10，其中110，n为正整数，其值等于原数中整数部分的数位减去1；（2）当要表示的数的绝对值小于1时，用科学记数法写成a10，其中110，n为负整数，其值等于原数中第一个非零数字前面所用零的个数的相反数（包括小数点前面的零）

9、.考点七、数形结合、分类讨论、建模思想1.数形结合思想实数与数轴上的点一一对应，绝对值的几何意义等，数轴在很多时候可以帮助我们更直观地分析题目，从而找到解决问题的突破口；2.分类讨论思想（算术）平方根，绝对值的化简都需要有分类讨论的思想，考虑问题要全面，做到既不重复又不遗漏；3. 从实际问题中抽象出数学模型以现实生活为背景的题目，我们要抓住问题的实质，明确该用哪一个考点来解决问题，然后有的放矢.【典型例题】类型一、实数的有关概念1（2015春杭锦后旗校级期末）在下列各数中，无理数有（ ）.，0，0.5757757775（相邻两个5之间的7的个数逐次加1）A2个 B3个 C4个 D5个【答案】D

10、；【解析】无理数有：，0.5757757775（相邻两个5之间的7的个数逐次加1）共有5个故答案是：D【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，2等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001，等有这样规律的数举一反三：【变式】（2015安徽）与1+最接近的整数是（）A4B3C2D1【答案】B.459，23又5和4比较接近，最接近的整数是2，与1+最接近的整数是3，故选：B类型二、实数有关的计算2(1)有一列数，那么依此规律，第7个数是_；（2）已知依据上述规律，则 【答案】(1) ； （2）.【解析】(1) 符号：单数为负，双数为正，所以第7个为负.分子规律：第

11、几个数就是几，即第7个数分子就是7，分母规律：分子的平方加1，第7个数分母就是50.所以第7个数是.（2）【点评】(1) 规律：（n为正整数）；（2）规律：（n为正整数）.举一反三：【变式】a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数如：2的差倒数是，的差倒数是已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，依此类推，则 【答案】因为，.三个一循环，因此类型三、实数大小的比较3若，试不用将分数化小数的方法比较a、b的大小【答案与解析】a=，b， ab【点评】通过通分进行比较.举一反三：【变式】当时，比较1b与1的大小.【答案】（1）b0时，b0或b0当b0时，1b1，当b0时，1b1.类型四、平方根的应

12、用4已知，求的值.【答案与解析】0，0，0，. 解得 则.【点评】利用0，0，0（为自然数）等常见的三种非负数及其性质，分别令它们为零，得一个三元一次方程组，解得、的值，代入后本题得以解决。举一反三：【变式】已知x、y是实数，且+（y26y+9）=0，若axy3x=y，则实数a的值是（ ） A B C D【答案】A. +（y3）2=0， 3x+4=0，y3=0， x=，y=3 axy3x=y，3a3（）=3， a= 答案选A.类型五、实数运算中的规律探索5在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了下面两个图框是用法国“小九九”计

13、算89和67的两个示例（1）用法国“小九九”计算78，左、右手依次伸出手指的个数是多少？（2）设a、b都是大于5且小于10的整数，请你说明用题中给出的规则计算ab的正确性？【答案与解析】（1）按照题中示例可知：要计算78，左手应伸出7-5=2个手指，右手应伸出8-5=3个手指；（2）按照题中示例可知：要计算ab，左手应伸出（a-5）个手指，未伸出的手指数为5-（a-5）=10-a；右手应伸出（b-5）个手指，未伸出的手指数为5-（b-5）=10-b两手伸出的手指数的和为（a-5）+（b-5）=a+b-10，未伸出的手指数的积为（10-a）（10-b）=100-10a-10b+ab根据题中的规则

14、，ab的结果为10（a+b-10）+（100-10a-10b+ab）而10（a+b-10）+（100-10a-10b+ab）=10a+10b-100+100-10a-10b+ab=ab所以用题中给出的规则计算ab是正确的【点评】此题是定义新运算题型通过阅读规则，得出一般结论解题关键是对号入座不要找错对应关系6探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它的体积小，密度大，吸引力强，任何物体到它那里都别想再“爬出来”，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每个数位上的数字都立方，再

15、相加，得到一个新的数，然后把这个新数每个数位上的数字再立方，求和，重复运算下去，就能得到一个固定的数T=_，我们称它为数字“黑洞”，T为何具有如此魔力通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！此短文中的T是（）A363 B153 C159 D456【答案】B；【解析】把6代入计算，第一次立方后得到216；第二次得到225；第三次得到141；第四次得到66；第五次得到432；第六次得到99；第七次得到1458；第八次得到702；第九次得到351；第十次得到153；开始重复，则T=153故选B【点评】此题只需根据题意，任意找一个符合条件的数进行计算，直至计算得到重复的数值，即是所求的黑洞数可以任

16、意找一个3的倍数，如6第一次立方后得到216；第二次得到225；第十次得到153；开始重复，则可知T=153举一反三：【变式1】下面由火柴棒拼出的一系列图形中，第个图形是由个正方形组成的，通过观察可以发现：（1）第四个图形中火柴棒的根数是 ；（2）第个图形中火柴棒的根数是 .【答案】（1）13；（2）.【变式2】有一列数1、2、3、4、5、6、，当按顺序从第2个数到第6个数时，共数了 个数；当按顺序从第个数到第个数（）时，共数了 个数。【答案】5；.北师大版数学中考总复习重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习中考总复习：实数巩固练习 （提高）【巩固练习】一、选择题1. 在实数、sin30,无理

17、数的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.42. 对于实数、，给出以下三个判断： 若，则 若，则 若，则 其中正确的判断的个数是（ ）A3 B2 C1 D03（2015河南一模）据统计，2014年河南省机动车保有量突破280万辆，对数据“280万”的理解错误的是（）A精确到万位B有三个有效数字C这是一个精确数D用科学记数法表示为2.801064如图，矩形OABC的边OA长为2 ，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ） A2.5 B2 eq r(,2) C eq r(,3) D eq r(,5) 5填在下面各正方形中的四

18、个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（ ）02842462246844m6A38 B52 C66 D746. 若a、b两数满足3103，a103b，则之值为（ ）A B C D二、填空题7（1）先找规律，再填数：（2）对实数a、b，定义运算如下：ab=，例如23=2-3=.计算2（4）（4）（2）= .8已知：,观察前面的计算过程，寻找计算规律计算 （直接写出计算结果），并比较 （填“”或“”或“=”）9右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A，B，C，D请你按图中箭头所指方向(即ABCDCBABC的方式)从A开始数连续的正整数1，2，3，4，当数到12时，对应的字母是 ；当字母C第2

19、01次出现时，恰好数到的数是 ；当字母C第2n+1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是 （用含n的代数式表示）10根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为_.11已知，当n=1时，a1=0；当n=2时，a2=2；当n=3时，a3=0； 则a1+a2+a3+a4+a5+a6 的值为_12（2014秋石家庄期末）观察图形：请用你发现的规律直接写出图4中y的值 三、解答题13对于任何实数，我们规定符号的意义是：=按照这个规定请你计算：当时， 的值14.（2014营口模拟）小彬在做数学题时，发现下面有趣的结果：32=18+765=415+14+13121110=924+23+22+2

20、120191817=16根据以上规律可知第99行左起第一个数是 15根据以下10个乘积，回答问题：1129； 1228； 1327； 1426； 1525；1624； 1723； 1822； 1921； 2020.(1)试将以上各乘积分别写成一个“2-2”(两数平方差)的形式，并写出其中一个的思考过程；(2)将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；(3)试由(1)、(2)猜想一个一般性的结论.(不要求证明)16.已知等边OAB的边长为a，以AB边上的高OA1为边，按逆时针方向作等边OA1B1，A1B1与OB相交于点A2.(1)求线段OA2的长；(2)若再以OA2为边按逆时针方向作等边OA2

21、B2，A2B2与OB1相交于点A3，按此作法进行下去，得到 OA3B3，OA4B4，OAnBn(如图).求OA6B6的周长.【答案与解析】一、选择题1. 【答案】B；【解析】、是无理数.2.【答案】C；【解析】通过举反例说明是不对的，只有是正确的. 3.【答案】C；【解析】A、280万精确到万位是正确的，此选项不合题意；B、280万有三个有效数字是正确的，此选项不合题意；C、280万是一个近似数，不是精确数，此选项符合题意；D、280万用科学记数法表示为2.80106是正确的，此选项不合题意故选：C4.【答案】D；【解析】用勾股定理求得OB= eq r(,5) 即可. 5.【答案】D；【解析】

22、先分析出阴影方格的数，如图，找出规律：m=左下角方格的数的平方加上右上角方格的数.6.【答案】C；二、填空题7【答案】（1）；（2）1；【解析】（1）规律为：（n为正整数）.（2） 2（4）（4）（2）=2-4（-4）2=1.8【答案】42；.【解析】76=42；=98765，=1098，.9【答案】B；603；6n3； 【解析】字母C第“奇数”次出现时，恰好数到的数是这个“奇数”的3倍。10【答案】4；【解析】第一次结果是-2，继续输入得到结果是4，符合题意.11【答案】6； 【解析】a1=a3=a5=0，a2=a4=a6=2，所以a1+a2+a3+a4+a5+a6=6.12【答案】12 .

23、 【解析】12=521（2），20=81（3）4，13=（7）45（3），y=306（2）=12故答案为：12三、解答题13.【答案与解析】14.【答案与解析】解：3=221，8=321，15=421，24=521，第99行左起第一个数是：（99+1）21=9999故答案为：999915.【答案与解析】(1)1129=202-92；1228=202-82； 1327=202-72；1426=202-62； 1525=202-52；1624=202-42； 1723=202-32；1822=202-22； 1921=202-12；2020=202-02；例如：1129；假设1129=2-2； 因

24、为2-2=(+)(-) 所以，可以令-=11，+=29 解得，=20，=9，故1129=202-92 (或1129=(20-9)(20+9)=202-92)(2)这10个乘积按照从小到大的顺序依次是： 1129122813271426152516241723182219212020.(3)若a+b=40,a,b是自然数，则ab202=400. 若a+b=40，则ab202=400. 若a+b=m，a，b是自然数，则 若a+b=m，则 若a1+b1=a2+b2=a3+b3=an+bn=40，且|a1-b1|a2-b2|a3-b3|an-bn|， 则a1b1a2b2a3b3anbn. 若a1+b1

25、=a2+b2=a3+b3=an+bn=m，且|a1-b1|a2-b2|a3-b3|an-bn|， 则a1b1a2b2a3b3anbn.16.【答案与解析】(1)(2)依题意， 以此类推， ，即OA6B6的周长为 北师大版数学中考总复习重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习中考总复习：整式与因式分解知识讲解（提高）【考纲要求】1.整式部分主要考查幂的性质、整式的有关计算、乘法公式的运用，多以选择题、填空题的形式出现；2.因式分解是中考必考内容，题型多以选择题和填空题为主，也常常渗透在一元二次方程和分式的化简中进行考查.【知识网络】【考点梳理】考点一、整式1.单项式数与字母的积的形式的代数式叫做单

26、项式单项式是代数式的一种特殊形式，它的特点是对字母来说只含有乘法的运算，不含有加减运算在含有除法运算时，除数(分母)只能是一个具体的数，可以看成分数因数单独一个数或一个字母也是单项式要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和2.多项式几个单项式的代数和叫做多项式也就是说，多项式是由单项式相加或相减组成的要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式 （4）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做

27、把这个多项式按这个字母降幂排列另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列3.整式单项式和多项式统称整式4.同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项5.整式的加减整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变.如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去

28、括号，然后再合并同类项.6.整式的乘除幂的运算性质：单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加用式子表达：多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加用式子表达：平方差公式：完全平方公式： 在运用乘法公式计算时，有时要在式子中添括号，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.单项式相除：两个单项式相除，把系

29、数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的有理数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.（4）公式的推广： (，均为正整数)（5）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问

30、题. （6）公式的推广： (为正整数). （7）逆用公式：逆用算式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： （8）多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘，.考点二、因式分解1.因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解2.因式分解常用的方法 （1）提取公因式法： （2）运用公式法：平方差公式：；完全平方公式：（3）十字相乘法：（4）分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解.（5）添、拆项法：

31、把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.（6）运用求根公式法：若的两个根是、，则有：.3.因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法；（4）最后考虑用分组分解法及添、拆项法.要点诠释：（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到每个因式都不能再分解为止（4）十字相乘法分解思路为“看两端，

32、凑中间”，二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.（5）分组分解法分解因式常用的思路有：方法分类分组方法特点分组分解法四项二项、二项按字母分组按系数分组符合公式的两项分组三项、一项先完全平方公式后平方差公式五项三项、二项各组之间有公因式六项三项、三项二项、二项、二项各组之间有公因式三项、二项、一项可化为二次三项式【典型例题】类型一、整式的有关概念及运算1（2014春余姚市校级期末）若多项式x2+ax+8和多项式x23x+b相乘的积中不含x2、x3项，求（ab）3（a3b3）的值【思路点拨】 多项式与多项式相乘结果中不含二次项

33、和三次项，则说明这两项的系数为0，建立关于a，b等式，求出后再求代数式值【答案与解析】解：（x2+ax+8）（x23x+b）=x4+（3+a）x3+（b3a+8）x2（ab+24）x+8b，又不含x2、x3项，3+a=0，b3a+8=0，解得a=3，b=1，（ab）3（a3b3）=（31）3（3313）=826=18【总结升华】解此类问题的常规思路是：将两个多项式依据乘法法则展开，合并同类项，根据不含某一项就是这一项的系数等于0再通过解方程（组）求解2（2015春达州校级期中）已知ab=5，ab=3，求代数式a3b2a2b2+ab3的值【思路点拨】首先把代数式a3b2a2b2+ab3分解因式，

34、然后尽可能变为和ab、ab相关的形式，然后代入已知数值即可求出结果 【答案与解析】解：a3b2a2b2+ab3=ab（a22ab+b2）=ab（ab）2而ab=5，ab=3，a3b2a2b2+ab3=325=75【总结升华】本题主要运用完全平方公式对所给代数式进行因式分解，然后利用所给条件代入即可求出结果3已知，求的值【答案与解析】 ， 【点评】（1）逆用幂的乘方法则：（2）本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力举一反三：【变式】已知，求的值【答案】 类型二、因式分解4多项式的最小值是_.【答案】4；【解析】 ，所以最小值为4.【点评】通过因式分解化为完全平方式，分析得出多项式的最小值.5把分

35、解因式【答案与解析】解法一： 解法二： 【点评】此题多项式的四项中没有公因式，所以不能直接用提公因式法，但如果把其中两项合为一组，如把第一、三两项和第二、四两项分为两组，可以分别提取公因式和，并且另一个因式都是()，因此可继续分解把一个多项式的项分组后能运用提取公因式法进行分解，并且各组在分解后它们的另一个因式正好相同，还能用提取公因式法继续分解，那么这个多项式就可以用分组法来分解因式举一反三：【变式1】分解因式：【答案】原式.【变式2】(1)16x2(x24)2； (2)【答案】(1)原式(4x)2(x24)24x(x24)4x(x24)(x24x4)(x24x4)(x2)2(x2)2(2)

36、原式类型三、因式分解与其他知识的综合运用6若、为三角形的三边边长，试判断的正负状况【思路点拨】 将原式用公式法分解因式，再由三角形三边的关系确定每个因式的符号，最后就能得出结果的符号.【答案与解析】依三角形两边之和大于第三边，知，故【点评】将原式分解因式，再根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边来判断每个因式的正负.举一反三：【变式1】若ABC的三边长分别为、,且满足， 求证：.【答案】 所以所以所以因为ABC的三边长分别为、，所以，矛盾，舍去.所以.【变式2】已知，求的值【答案】102298北师大版数学中考总复习重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习中考总复习：整式与因式分解巩固练

37、习（提高）【巩固练习】一、选择题1. 若能被60或70之间的两个整数所整除，这两个数应当是（ ） A61，63 B63，65 C61，65 D63，672.乘积应等于（ ）A B C D3（2015十堰模拟）已知x2x1=0，则x32x+1的值为（）A1B2C1D24的个位数字是( )A2 B4 C6 D85若为任意实数时，二次三项式的值都不小于0，则常数满足的条件是（ ） A. B. C. D. 6如图，从边长为（a+1）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a1）cm的正方形（a1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（） A2cm2B2acm2C4acm2D（a

38、21）cm2二、填空题7 已知，那么P，Q的大小关系是 8已知，则 9若n 是正整数，且，则_.10. （1）如果，那.（2）已知，则 .11对于任意的正整数，能整除代数式的最小正整数是_.12.（2015秋巴中期中）图1可以用来解释：（2a）2=4a2，则图2可以用来解释： 三、解答题13.（2014秋静宁县校级期中）若关于x的多项式5x3+（2m1）x2+（3n2）x1不含二次项和一次项，求m，n的值14将下列各式分解因式：（1）； （2）； （3）； （4）.15. 若二次三项式能被 整除，试求的值16.已知：求的值.【答案与解析】1.【答案】B；【解析】 2.【答案】D；【解析】 3.

39、【答案】B； 【解析】x2+x1=0，x2+x=1，x32x+1=x（x2x）+x22x+1=x+x22x+1=（x2x）+1=1+1=2故选：B4.【答案】C；【解析】的个位数字等于的个位数字; 的个位数字等于97的个位数字则 的个位数字是65.【答案】B； 【解析】，由题意得，所以.6.【答案】C； 【解析】矩形的面积是（a+1）2（a1）2，=a2+2a+1（a22a+1），=4a（cm2），故选C二、填空题7【答案】PQ；【解析】 PQ.8【答案】5；【解析】原式 原式5.9【答案】200； 【解析】.10.【答案】（1）4；（2）1； 【解析】（1）原式 . （2）； ；，.11.【

40、答案】10； 【解析】利用平方差公式化简得10，故能被10整除.12.【答案】（a+b）2=a2+2ab+b2；【解析】如图2：整体来看：可看做是边长为（a+b）的正方形，面积为：（a+b）2；从部分看，可看作是有四个不同的长方形构成的图形，其中两个带阴影的长方形面积是相同的，面积为：a2+2ab+b2；a2+2ab+b2=（a+b）2故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2三、解答题13.【答案与解析】解：多项式5x3+（2m1）x2+（3n2）x1不含二次项和一次项，2m1=0，3n2=0，解得m=，n=，m=，n=14.【答案与解析】（1）；（2）；（3）；（4）.15.【答案与解析】

41、 因为 所以，解得.16.【答案与解析】.北师大版数学中考总复习重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习中考总复习：分式与二次根式知识讲解（提高）【考纲要求】1. 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程；2. 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算【知识网络】【考点梳理】考点一、分式的有关概念及性质1分式设A、B表示两个整式如果B中含有字母，式子就叫做分式注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.2.分式

42、的基本性质（M为不等于零的整式）.3最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式如果分子分母有公因式，要进行约分化简.要点诠释：分式的概念需注意的问题：(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断（4）分式有无意义的条件：在分式中， 当B0时，分式有意义；当分式有意义时，B0 当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0 当B0且A = 0时，分式的值为零考点二、分式的运

43、算1基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算 = 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.（2）乘法运算 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（4）乘方运算 （分式乘方）分式的乘方，把分子分母分别乘方2零指数 .3负整数指数 4分式的混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的5约分 把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的

44、约分约分需明确的问题：(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积6通分根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分通分注意事项：(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积 (2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉 (3)确定最简公分母的方法：最简公分母的系数，取各分母

45、系数的最小公倍数；最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.要点诠释：分式运算的常用技巧（1）顺序可加法：有些异分母式可加,最简公分母很复杂,如果采用先通分再可加的方法很繁琐.如果先把两个分式相加减,把所得结果与第三个分式可加减,顺序运算下去,极为简便.(2)整体通分法：当整式与分式相加减时,一般情况下,常常把分母为1的整式看做一个整体进行通分,依此方法计算,运算简便.(3)巧用裂项法：对于分子相同、分母是相邻两个连续整数的积的分式相加减，分式的项数是比较多的，无法进行通分，因此，常用分式进行裂项.(4)分组运算法: 当有三个以上的异分母分式相加减时,可考虑分组,原则是使各组运算后

46、的结果能出现分子为常数,且值相同或为倍数关系,这样才能使运算简便.(5)化简分式法：有些分式的分子、分母都异常时如果先通分，运算量很大.应先把每一个分别化简，再相加减.（6）倒数法求值（取倒数法）.（7）活用分式变形求值.(8)设k求值法(参数法)(9)整体代换法.(10)消元代入法.考点三、分式方程及其应用1分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程2分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程 3分式方程的增根问题(1)增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化

47、后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根-增根；(2)验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解4分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性要点诠释： 解分式方程注意事项：（1）去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；（

48、2）解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解列分式方程解应用题的基本步骤：(1)审仔细审题，找出等量关系；(2)设合理设未知数；(3)列根据等量关系列出方程；(4)解解出方程；(5)验检验增根；(6)答答题考点四、二次根式的主要性质1.；2.；3.；4. 积的算术平方根的性质：；5. 商的算术平方根的性质：.6.若，则.要点诠释： 与的异同点：（1）不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数但与都是非负数，即，因而它的

49、运算的结果是有差别的，而（2）相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.考点五、二次根式的运算1二次根式的乘除运算(1)运算结果应满足以下两个要求：应为最简二次根式或有理式；分母中不含根号.(2)注意知道每一步运算的算理；(3)乘法公式的推广：2二次根式的加减运算先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质；3二次根式的混合运算(1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；(2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算

50、中也同样适用.要点诠释：怎样快速准确地进行二次根式的混合运算.1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果.(1)加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于理解和掌握.在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简.例如，没有必要先对进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律

51、进行乘法运算，通过约分达到化简目的；(2)多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用.如：，利用了平方差公式.所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化.4分母有理化把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式.常用的二次根式的有理化因式：（1）互为有理化因式；（2）互为有理化因式；一般地互为有理化因式；（3）互为有理化因式；一般地互为有理化因式.【典型例题】类型一、分式的意义1若分式的值为0，则x的值等于 【答案】1；【解析】由分式的值为零的条件得1=0，x+10，由1=0

52、，得x=1或x=1，由x+10，得x1，x=1，故答案为1【总结升华】若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0这两个条件缺一不可举一反三：【变式1】如果分式的值为0，则x的值应为 .【答案】由分式的值为零的条件得3x2-27=0且x-30，由3x2-27=0，得3（x+3）（x-3）=0，x=-3或x=3，由x-30，得x3综上，得x=-3，分式的值为0故答案为：-3【变式2】若分式不论x取何实数总有意义，则m的取值范围是 【答案】若分式不论x取何实数总有意义，则分母0，设，当0即可，.答案m1.类型二、分式的性质2已知求的值. 【答案与解析】 设,所以所以所以即或

53、当,所求代数式,当,所求代数式.即所求代数式等于或.【总结升华】当已知条件以此等式出现时，可用设k法求解.举一反三：【变式】已知求的值.【答案】因为 各式可加得所以，所以类型三、分式的运算3已知且,求的值.【答案与解析】 因为,所以原等式两边同时乘以,得:即所以所以【总结升华】 条件分式的求值，如需把已知条件或所示条件分式变形，必须依据题目自身的特点，这样才能到事半功倍的效果，条件分式的求值问题体现了整体的数学思想和转化的数学思想.举一反三：【变式1】已知且,求的值.【答案】由已知得所以即,所以,同理所以.【变式2】已知xy=4，xy=12，求的值【答案】原式=将xy4，xy12代入上式，原式

54、类型四、分式方程及应用4a何值时,关于x的方程会产生增根?【答案与解析】 方程两边都乘以,得整理得.当a = 1 时,方程无解.当时,.如果方程有增根,那么,即或.当时,所以;当时,所以a = 6 .所以当或a = 6原方程会产生增根.【总结升华】 因为所给方程的增根只能是或，所以应先解所给的关于x的分式方程，求出其根，然后求a的值.5甲乙两人准备整理一批新到的实验器材若甲单独整理需要40分钟完工：若甲乙 共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工（1）问乙单独整理多少分钟完工？（2）若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？【答案与解析】（1）设乙单独

55、整理x分钟完工，根据题意得：解得x80，经检验x80是原分式方程的解答：乙单独整理80分钟完工（2）设甲整理y分钟完工，根据题意，得解得：y25答：甲至少整理25分钟完工【总结升华】分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键此题等量关系比较多，主要用到公式：工作总量工作效率工作时间（1）将总的工作量看作单位1，根据本工作分两段时间完成列出分式方程解之即可；（2）设甲整理y分钟完工，根据整理时间不超过30分钟，列出一次不等式解之即可举一反三：【变式】小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平

56、均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据题意，得（ ）A BC D【答案】设走路线一时的平均速度为x千米/小时，故选A类型五、二次根式的定义及性质6要使式子有意义，则a的取值范围为 【答案】a2且a0【解析】根据题意得：a+20且a0，解得：a2且a0故答案为：a2且a0【总结升华】本题考查的考点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数可以求出x的范围类型六、二次根式的运算7（2015春泗阳县期末）已知m是的小数部分（1）求m2+2m+1的值；（2）求的值【答案与解析】解：依题意得，则（1）原式=（m+1）2=2；（2）原式

57、=|=|1（）|=2【总结升华】此题考查二次根式的化简求值，掌握完全平方公式和无理数的估算是解决问题的关键举一反三：【变式】（2015苏州模拟）计算：【答案与解析】解：原式=+2=4+2=4+北师大版数学中考总复习重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习中考总复习：分式与二次根式巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.（2015春合水县期末）二次根式、中，最简二次根式有（）个A1 个 B2 个 C3 个 D4个2分式有意义的条件是（ ）Ax2 B.x1 C.x1或x2 D.x1且x23使分式等于0的x的值是（ ）A.2 B.-2 C.2 D.不存在4计算的结果是（ ）ZXDEF VEDRGFH

58、YJUILP/ Hjkolp;lkjhxdgb /k,.” 5小玲每天骑自行车或步行上学，她上学的路程为2800米，骑自行车的平均速度是步行平均速度的4倍，骑自行车比步行上学早到30分钟设小玲步行的平均速度为x米/分，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A BC D6化简甲，乙两同学的解法如下：甲：=乙：=对他们的解法，正确的判断是（ ）zxA甲、乙的解法都正确 B甲的解法正确，乙的解法不正确C乙的解法正确，甲的解法不正确 D甲、乙的解法都不正确二、填空题7若a2-6a+9与b-1互为相反数，则式子（a+b）的值为_.8若m=，则的值是 . 9. 下列各式：；其中正确的是 （填序号）.10当x

59、=_时，分式的值为0. 11（1）若，则的值为 . （2）若则的值为 .12（2015科左中旗校级一模）观察下列等式：=1=回答下列问题：（1）化简：= ；（n为正整数）（2）利用上面所揭示的规律计算：+= 三、解答题13（1）已知,求的值.（2）已知和,求的值. 14.（2015春东莞期末）设a=，b=2，c=（1）当a有意义时，求x的取值范围（2）若a、b、c为RtABC三边长，求x的值15一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，共需付工费102000元；如果甲、乙两公司单独完成此项公程，乙公司所用时间甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元.（1）甲、乙公

60、司单独完成此项工程，各需多少天？（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司施工费较少？16.阅读下列材料，然后回答问题. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们可以将其进一步化简.；（一）；（二）；（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化.还可以用以下方法化简：（四）；（1）请用不同的方法化简参照（三）式得= ；参照（四）式得= ；（2）化简【答案与解析】一、选择题1.【答案】C；【解析】二次根式、中，最简二次根式有、共3个故选：C2.【答案】D；【解析】分式有意义，则且. 3.【答案】D；【解析】令得，而当时，所以该分式不存在值为0的情形. 4.【答案】D；【解析】本题可