B样条曲线教学课件

1、 计算机图形学B样条曲线1972年，Gordon、Riesenfeld等人提出了B样条方法，在保留Bezier方法全部优点的同时，克服了Bezier方法的弱点。计算机图形学Bezier曲线Bernstein基底计算机图形学Bernstein基底计算机图形学3.3.1 B样条的递推定义和性质B样条曲线的方程定义为： 是控制多边形的顶点 (i=0,1,.,n) 称为k阶（k-1次)B样条基函数 B样条基函数是一个称为节点矢量的非递减的参数t的序列所决定的k阶分段多项式，也即为k阶（k-1次)多项式样条。 计算机图形学 B样条基地的de Boor-Cox递推定义 计算机图形学 B样条基地的de Bo

2、or-Cox递推定义 曲线n+1个控制点需要n+1个B样条基 底需要n+k+1个节点 约定 B样条基地的de Boor-Cox递推定义 确定第i个k阶B样条基底 需要 共k+1个节点 B样条的注意点控制多边形的顶点数=B样条基底函数的个数B样条基底函数的个数和阶数k是独立概念控制多边形的顶点个数n不能确定B样条基底阶数k需要定义节点矢量T设控制多边形顶点数为n+1，B样条基底阶数为k一般来说，2 k n+1节点数=n+k+1计算机图形学计算机图形学B样条基底的计算计算机图形学B样条基底的计算以节点数4为例：从定义可得1阶B样条基底:计算机图形学B样条基底的计算计算2阶基底从递推公式计算机图形学

3、B样条基底的计算2阶基底计算机图形学B样条基底的计算计算3阶基底从递推公式计算机图形学B样条基底的计算3阶B样条基底计算机图形学B样条基底的计算3阶B样条基底计算机图形学B样条基底的支撑区间计算机图形学B样条基底的支撑区间计算机图形学B样条基底的性质局部支撑性以k4，n=4为例计算机图形学B样条基底的性质权性。微分公式。计算机图形学B样条曲线类型的划分曲线按其首末端点是否重合，区分为闭曲线和开曲线。B样条曲线按其节点矢量中节点的分布情况，可划分为四种类型。计算机图形学均匀B样条曲线节点矢量中节点为沿参数 轴均匀或等距分布，所有 节点区 间长度为常数。这样的节点矢量定义了均匀的B样条基。计算机图

4、形学准均匀B样条与均匀B样条曲线的差别在于两端节点具有重复度k，这样的节点矢量定义了准均匀的B样条基。均匀B样条曲线没有保留Bezier曲线端点的几何性质，即样条曲线的首末端点不再是控制多边形的首末端点。采用准均匀的B样条曲线解决了这个问题计算机图形学准均匀B样条基底计算机图形学分段Bezier曲线节点矢量中两端节点具有重复度k，所有内节点重复度为k-1，这样的节点矢量定义了分段的Bernstein基。计算机图形学 分段Bezier曲线 B样条曲线用分段Bezier曲线表示后，各曲线段就具有了相对的独立性，移动曲线段内的一个控制顶点只影响该曲线段的形状，对其它曲线段的形状没有影响。并且Bezi

5、er曲线一整套简单有效的算法都可以原封不动地采用。缺点是增加了定义曲线的数据，控制顶点数及节点数。任意分布的节点矢量 ，只要在数学上成立（节点序列非递减，两端节点重复度k，内节点重复度k-1）都可选取。这样的节点矢量定义了非均匀B样条基底。计算机图形学非均匀B样条曲线k 阶B样条曲线上参数为 的一点p(t)至多与k个控制顶点 有关，与其它控制顶点无关；移动该曲线的第i个控制顶点Pi至多影响到定义在区间 上那部分曲线的形状，对曲线的其余部分不发生影响。计算机图形学B样条曲线的性质 局部性 P(t)在区 间 上的部分位于k个点 的凸包 内，整条曲线则位于各凸包 的并集之内。计算机图形学B样条曲线的

6、性质 连续性 P(t)在r重节点处的连续阶不低于 k-1-r。 凸包性 算机图形学B样条曲线的性质分段参数多项式P(t)在每一区间上都是次数不高于k-1的参数t的多项式 导数公式 计算机图形学B样条曲线的性质变差缩减性 设平面内 n+1 个控制顶点 构成B样条曲线 P(t) 的特征多边形。在该平面内的任意一条直线与 P(t) 的交点个数不多于该直线和特征多边形的交点个数。几何不变性B样条曲线的形状和位置与坐标系的选择无关。计算机图形学B样条曲线的性质仿射不变性即在仿射变换下，的表达式具有形式不变性。直线保持性控制多边形退化为一条直线时，曲线也退化为一条直线。计算机图形学B样条曲线的性质 造型的

7、灵活性。计算机图形学B样条曲线的多样性节点矢量和基函数的种类基底函数的阶数控制顶点的个数和位置控制顶点的重复度节点的重复度计算机图形学 均匀与非均匀B样条B样条曲线的多样性计算机图形学B样条曲线的多样性 基底阶数k对B样条形状的影响计算机图形学B样条曲线的多样性 多重顶点对B样条形状的影响计算机图形学B样条曲线的多样性 顶点位置对B样条形状的影响计算机图形学3.3.3 de Boor 算法欲计算B样条曲线上对应一点P(t)，可以利用B样条曲线方程，但是采用de Boor 算法，计算更加快捷。de Boor 算法的导出计算机图形学de Boor 算法现令则这就是著名的de Boor 算法计算机图

8、形学de Boor 算法的递推关系图计算机图形学De Boor 算法的几何意义de Boor算法有着直观的几何意义 割角，即以线段 割去角 。从多边形 开始，经过 k-1 层割角，最后得到P(t)上的点 。计算机图形学计算机图形学三次B样条的Bezier表示4阶(3次)B样条曲线和Bezier曲线的关系计算机图形学三次B样条的Bezier表示4阶(3次)B样条曲线和Bezier曲线的关系计算机图形学3.3.4 节点插入算法通过插入节点可以进一步改善B样条曲线的局部性质，提高B样条曲线的形状控制的灵活性，可以实现对曲线的分割等。插入一个节点 在定义域某个节点区间 内插入一个节点t，得新的节点矢量

9、： 重新编号成为这个新的节点矢量T1决定了一组新的B样条基原始的B样条曲线就可以用这组新的B样条基与未知顶点 表示计算机图形学计算机图形学Boehm给出了这些未知新顶点的计算公式 r 表示所插结点t在原始节点矢量T中的重复度。计算机图形学 计算机图形学 计算机图形学 3.3.5 B样条曲面给定参数轴u和v的节点矢量 pq阶B样条曲面定义如下 计算机图形学 构成一张控制网格，称为B样条曲面的特征网格。 和 是B样条基，分别由节点矢量U和V按deBoor-Cox递推公式决定。计算机图形学 计算机图形学3.4 NURBS曲线与曲面B样条曲线包括其特例的Bezier曲线都不能精确表示出抛物线外的二次曲

10、线而只能给出近似表示。提出NURBS方法，即非均匀有理B样条方法主要是为了找到与描述自由型曲线曲面的B样条方法既相统一、又能精确表示二次曲线弧与二次曲面的数学方法。计算机图形学两类研究问题逼近问题：圆弧的Bezier曲线逼近精确表示问题：权因子、顶点满足什么条件才能精确表示圆弧？计算机图形学NURBS方法的主要优点既为标准解析形状(即前面提到的初等曲线曲面)，又为自由型曲线曲面的精确表示与设计提供了一个公共的数学形式修改控制顶点和权因子，为各种形状设计提供了充分的灵活性。具有明显的几何解释和强有力的几何配套技术对几何变换和投影变换具有不变性。非有理B样条、有理与非有理Bezier方法是其特例。

11、计算机图形学应用NURBS中还有一些难以解决的问题：比传统的曲线曲面定义方法需要更多的存储空间权因子选择不当会引起畸变对搭接、重叠形状的处理很麻烦。反求曲线曲面上点的参数值的算法，存在数值不稳定问题 (MAF方法) 计算机图形学在讲NURBS 的定义前，先回顾一下B样条的定义：计算机图形学3.4.1NURBS曲线的定义NURBS曲线是由分段有理B样条多项式基函数定义的计算机图形学Ri,k(t)具有k阶B样条基函数类似的性质：局部支承性：Ri,k(t)=0，tti, ti+k )权性：可微性：如果分母不为零，在节点区间内是无限次连续可微的，在节点处 (k-1-r)次连续可导，r是该节点的重复度。

12、若i=0， 则Ri,k(t)=0；若i=+，则Ri,k(t)=1；计算机图形学NURBS曲线与B样条曲线具有类似的几何性质：局部性质。变差减小性质。凸包性。在仿射与透射变换下的不变性。在曲线定义域内有与有理基函数同样的可微性。计算机图形学如果某个权因子为零，那么相应控制顶点对曲线没有影响。若 ，则当 时，非有理与有理Bezier曲线和非有理B样条曲线是NURBS曲线的特殊情况计算机图形学3.4.2 齐次坐标表示齐次坐标系xyw中的控制顶点为k阶非有理B样条曲线可表示为： 计算机图形学以坐标原点为投影中心，则得到平面曲线计算机图形学三维空间的NURBS曲线可以类似地定义。非有理B样条的算法可以推

13、广到NURBS曲线，只不过是在齐次坐标下进行。计算机图形学3.4.3 权因子的几何意义如果固定曲线的参数t，而使 变化，则NURBS曲线方程变成以 为参数的直线方 程，即NURBS曲线上t值相同的点都位于同一直线上。计算机图形学 分别是 对应曲线上的点，即 计算机图形学（1）若i增大或减小，则也增大或减小，所以 曲线被拉向或推离开Pi点；（2）若j增大或减小，曲线被推离或拉向Pj（ji）。计算机图形学3.4.4圆锥曲线的NURBS表示取节点向量为T=0,0,0,1,1,1则NURBS曲线退化为二次Bezier曲线，且可以证明，这是圆锥曲线弧方程。计算机图形学3.4.4圆锥曲线的NURBS表示计

14、算机图形学3.4.5 NURBS曲线的修改常用的方法有修改权因子、控制点和反插节点。修改权因子当保持控制顶点和其它权因子不变，减少或增加某权因子时，曲线被推离或拉向相应顶点。计算机图形学修改权因子欲将曲线在该点S拉向或推离控制顶点Pi一个距离d，以得到新点 ，可由重新确定相应的权因子 使之改变为 来达到修改控制顶点修改控制顶点的位置，曲线随之变形。 计算机图形学修改控制顶点计算机图形学反插控制点顶点计算机图形学反插控制顶点计算机图形学3.4.6非均匀有理B样条（NURBS）曲面NURBS曲面的定义计算机图形学 规定四角点处用正权因子，即 ，其余 。NURBS曲面的性质 与非有理B样条基函数相类

15、似的性质：局部支承性质权性计算机图形学可微性. 在重复度为r的u节点处沿u向是p-r-1次连续可微，在重复度为r的v节点处沿v向是q-r-1次连续可微极值.若p，q1，恒有一个极大值存在是双变量B样条基函数的推广计算机图形学3.5 Coons曲面双线性Coons曲面1964年，美国麻省理工学院S. A. Coons提出了一种曲面分片，拼合造型的思想。Coons区面的特点是插值，即利用满足给定的边界条件的方法构造曲面。曲面的4个边界曲面的4个焦点计算机图形学3.5.2 双线性Coons曲面计算机图形学两个曲面的叠加3.5.2 双线性Coons曲面计算机图形学3.5.2 双线性Coons曲面构造第三张曲面分别以P(0,0),P(0,1)及P(1,0),P(1,1)构造两个直线段以这两条直线为边界，构造直纹面计算机图形学3.5.2 双线性Coons曲面合成曲面可改写成矩阵的形式便是所要求的曲面，称之双线性Coons曲面。计算机图形学3.5.2 双三次Coons曲面对双线性Coons曲面方程中的v求偏导后，代入v=0，可得P(u,0)的跨界切矢可见，跨界切矢不仅与该边界端点的切矢有关，还与该边界曲线有关。因 此，双线性Coons曲面在曲面片的边界上，跨界切矢一般不连续，也即，不能 达到曲面片的光滑拼接。计算机图形学3.5.2 双三次Coons曲面为了构造光滑拼接的Coons曲面，除了