【志鸿全优设计】2013-2014学年高中数学 第三章3.2 立体几何中的向量方法第三课时讲解与例题

1、 第三课时 空间向量与距离问题导学一、求两点间的距离或线段的长活动与探究 1在二面角 l 中，AB ，且 A Bl，C D ，CDl，B，Cl，且 AB，CD 的夹角为 60，若 ABBCC D1，求 A，D 间的距离迁移与应用如图，把长、宽分别为 4,3 的矩形 ABCD沿对角线 AC 折成 60二面角后，求顶点 B 与 D之间的距离计算空间中两点间的距离一般有三种方法：(1)构造三角形，通过解三角形求解(2)建立适当的直角坐标系，求出两点的坐标，利用公式求解(3)把线段用向量表示，转化为求向量的模，利用|a| aa 求解2二、求点到平面的距离活动与探究 2已知正方体 ABCDA B C D

2、 的棱长为 a，求点 A 到平面 A BD 的距离11111迁移与应用已知四边形 ABCD是边长为 4 的正方形，E，F 分别是 AB，AD 的中点，CG 垂直于 ABCD所在的平面，且 CG2，求点 B 到平面 EFG 的距离1求点到平面的距离时，关键是建立恰当的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，然后通过公式代入求解2求点到平面的距离还可以利用等体积法进行求解答案：课前预习导学【预习导引】1| AB | (x x ) (y y ) (z z )222121212| ABn | n |2| PAn | n |10 ，故选3预习交流 提示： PA (1,2，4)，所以点 P 到 的距离为 d

3、D.课堂合作探究1 / 5 word【问题导学】活动与探究 1 思路分析：求A，D 两点间的距离，就是求向量AD 的模，由于本题中的空间图形不适合建系，故可用向量分解法求模解：由于 AD AB BC CD ，| AD | ( AB BC CD ) | AB | | BC | | CD | 2( AB BC 2222BC CD AB CD )由于 ABBCCD1，ABBC，CDBC，又 AB，CD 的夹角为 60，1 ，2 AB BC BC CD 0， AB CD | AB |CD |cos AB,CD1于是| AD | 1112 00 2，22即| AD | 2，故 A，D 间的距离等于 2.

4、迁移与应用解：如图，过点 D，B 分别作 DEAC，BFAC，垂足分别为 E，F.因为 AB4，BC3，所以 AC5.12所以 DEBF .597所以 AECF .从而 EF ，55又二面角 DACB 的大小为 60，则 DE ， FB 120.而 DB DE EF FB ，所以 | DB | ( DE EF FB ) | DE | | EF | | FB | 2 DE EF 22 EF FB 2 FB DE 193222212 7 1212 12 1 1932 2 22 55555 2 25193所以| DB|，即顶点 B 与 D 之间的距离为.55活动与探究 2 思路分析：易知A BD 为

5、正三角形，且ABADAA ，可以确定点A 在平11面 A BD 内的射影再进行求解，也可用向量法求解1解：解法一：如图，由正方体的性质可知，A DD BBA 2a，112 / 5 A BD 是正三角形1连结 AC 交 BD 于 O，则 BDAC.连结 A O，则 A OBD.11又 ACA OO，1BD平面 A AO.1又 BD 平面 A BD，平面 A AO平面 A B D，且平面 A AO平面 A BDA O.111111作 AHA O 于 H，则 AH平面 A BD.11故 AH 的长即为点 A 到平面 A BD 的距离在 RtA AO 中，112aOA23 .3sinOA A OA12

6、1( 2a) a2223在 RtA HA 中，AHAA sinOA A a.31113即点 A 到平面 A BD 的距离为 a.31解法二：如图所示，建立空间直角坐标系 D xyz，1由题意，知 A (a,0,0)，A(a,0，a)，B(a，a，a)，D(0,0，a)1设平面 A BD 的法向量为 n(x，y，z)，则1() (,0) 0 DB x，y，z a，a ，n A B (x，y，z)(0，a，a) 0，n1axay0，xy0，yz0.即ayaz0.令 y1，则 xz1，n(1，1,1)n(0，a,0)(1，1,1)a.AB点 A 到平面 A BD 的距离为13 / 5 ABn|a|3

7、 a.3dn3迁移与应用解：如下图，建立空间直角坐标系Cxyz.则G(0,0,2)，E(2，4,0)，F(4，2,0)，B(0，4,0)，GE (2，4，2)，GF (4，2，2)，(2,0,0)BE设平面EFG的法向量为n(x，y，z)，由GE n0，GF n0，得xt，yt，z3t.令t1，即n(1，1,3)，于是点 B 到平面EFG的距离BE n22 1111d .11n当堂检测1在空间直角坐标系中，已知P(1,0,3)，Q(2,4,3)，则线段PQ的长度为()102934AB5 CD答案：B 解析：线段PQ的长度为|PQ3 4 02 5.222正方体ABCDABCD 的棱长为 1，则点

8、A到平面BDDB的距离为()11111 123 222AB2 CD2答案：C 解析：以D为原点，分别以D A，DC，DD 所在直线为x轴、y轴、z轴建立直1角坐标系，则A(1,0,0)，C(0,1,0)，AC (1,1,0)容易证明AC 是平面 BDDB的法向11AC AB 12量，于是A到面BDDB的距离为d.2211AC3在正三棱柱ABCABC 中，若AB2，AA1，则点A到面ABC的距离为()11111333 33ABCD424答案：B4 / 5 4空间直角坐标系中，已知A(2,3,4)，B(2,1,0)，C(1,1,1)，那么点 C 到线段 AB 中点的距离是_3MC|= 3答案：解析：AB 中点 M(0,2,2)，所以点 C 到线段 AB 中点的距离为.5如图，在 120的二面角的棱上有 A，B 两点，线段 AC，BD 分别在二面角的两个面内，且都垂直于 AB，已知 AB4，A C6，BD8求 CD 的长度答案：解：因为 AC ， BD 120，所以CA ， BD 60.又CD CA AB BD ，故有| CD | CD2 ( CA AB BD )( CA AB BD ) CA2 22 BD2AB2CA AB