椭圆的标准方程

1、目标导航预习导引目标导航预习导引1.椭圆的定义2.椭圆的标准方程目标导航预习导引判一判(正确的打“”,错误的打“”).(1)椭圆的两种标准方程中,虽然焦点位置不同,但都有a2=b2+c2. ()(2)平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的集合是椭圆. ()提示:(1)(2)一二三知识精要典题例解迁移应用四一、椭圆的定义1.定义中的条件2a|F1F2|0不能少,这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的.否则:(1)当2a=|F1F2|时,其轨迹为线段F1F2;(2)当2a|F1F2|),则动点M的轨迹是椭圆.(2)若点M在椭圆上,则|MF1|+|MF2|=2a.一二三知识精要典题

2、例解迁移应用四【例1】 (1)椭圆 上一点P到一个焦点的距离为5,则P到另一个焦点的距离为()A.5B.6C.4D.10思路分析:求出a|PF1|+|PF2|=2a|F1F2|求出P到另一个焦点的距离答案:A解析:点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a=10,10-5=5.一二三知识精要典题例解迁移应用四(2)已知F1,F2是椭圆 的两焦点,过点F2的直线交椭圆于A,B两点,在AF1B中,若有两边之和是10,求第三边的长度.思路分析:结合图形,利用定义求第三边.解:由已知a2=16,a=4.从而由椭圆定义得|AF1|+|AF2|=2a=8,|BF1|+|BF2|=2a=8,AF1B的周长为|AF

3、1|+|AB|+|BF1|=16.又知三角形有两边之和为10,第三边的长度为6.一二三知识精要典题例解迁移应用四一二三知识精要典题例解迁移应用四一二三知识精要典题例解迁移应用四二、椭圆的标准方程 (1)标准方程的几何特征:椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴或y轴上,对称轴是坐标轴.(2)标准方程的代数特征:方程右边是1,左边是关于x,y的平方和,并且分母不相等.(3)确定一个椭圆的标准方程需要两个条件:两个定形条件a,b;一个定位条件:焦点坐标,由焦点坐标的形式确定标准方程的类型.一二三知识精要典题例解迁移应用四思路分析:(1)由已知可得a,c的值,由b2=a2-c2可求出b,再根据焦点位置写出

4、椭圆的方程.(2)利用两点间的距离公式求出2a,再写方程;也可用待定系数法.(3)利用待定系数法,但需讨论焦点的位置.也可利用椭圆的一般方程Ax2+By2=1(A0,B0,AB)直接求a,b得方程.一二三知识精要典题例解迁移应用四一二三知识精要典题例解迁移应用四一二三知识精要典题例解迁移应用四一二三知识精要典题例解迁移应用四一二三知识精要典题例解迁移应用四一二三知识精要典题例解迁移应用四一二三知识精要典题例解迁移应用四一二三知识精要典题例解迁移应用四一二三知识精要典题例解迁移应用四三、焦点三角形的面积椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1,F2构成的F1PF2称为焦点三角形,解关于椭圆中的焦点三角形问

5、题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识,对于求焦点三角形的面积,若已知F1PF2,可利用S= absin C把|PF1|PF2|看成一个整体,运用公式|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|PF2|及余弦定理求出|PF1|PF2|,而无需单独求出|PF1|与|PF2|,这样可以减少运算量.一二三知识精要典题例解迁移应用四思路分析:由余弦定理和椭圆定义分别建立|PF1|,|PF2|的方程,求出|PF1|,|PF2|后,再求PF1F2的面积.一二三知识精要典题例解迁移应用四一二三知识精要典题例解迁移应用四一二三知识精要典题例解迁移应用四一二三知识

6、精要典题例解迁移应用四四、与椭圆有关的轨迹问题解决与椭圆有关的轨迹问题,一般有两种方法:(1)定义法用定义法求椭圆方程的思路是:先观察、分析已知条件,看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义.若符合椭圆的定义,则用待定系数法求解即可.(2)相关点法有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的,只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去,即可解决问题,这种方法称为相关点法.一二三知识精要典题例解迁移应用四用相关点法求轨迹方程的步骤:设所求轨迹上的动点P(x,y),再设具有某种运动规律f(x,y)=0上的动点Q(x,y);找出P,Q之间坐标的关系,并表示为 将x,y代入f

7、(x,y)=0, 即得所求轨迹方程.一二三四知识精要典题例解迁移应用【例4】 已知B,C是两个定点,|BC|=6,且ABC的周长等于16,求顶点A的轨迹方程.思路点拨:在解析几何里,求符合某种条件的点的轨迹方程,要建立适当的坐标系.为选择适当的坐标系,常常需要画出草图.由ABC的周长等于16,|BC|=6可知,点A到B,C两点的距离的和是常数,即|AB|+|AC|=16-6=10,因此,点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,据此可建立坐标系并画出草图.一二三四知识精要典题例解迁移应用解:如图,建立平面直角坐标系,可得B点坐标(-3,0),C点坐标(3,0),由于|AB|+|AC|=16-6=10,且106,据椭圆的定义知,点A的轨迹方程为由于点A在(-5,0),(5,0)时,A,B,C三点共线,不能构成三角形,因此,顶点A的轨迹方程是 (x5).一二三四知识精要典题例解迁移应用一二三四知识精要典题例解迁移应用一二三四知识精要典题例解迁移应用案