直线与平面、平面与平面的相对位置介绍

1、直线与平面、平面 与平面的相对位置介绍教学提示：在空间中，直线与平面之间和两平面之间的相对位置可分为平行、相交及垂直3种情况。学习要求：掌握直线与平面之间和两平面之间3种相对位置关系的判定条件以及求其交点、交线的作法。 4.1 直线与平面、平面与平面平行 直线L与P平面内的直线AB平行，则L平行于平面P。反之，如果直线L平行于P平面，则在平面P可以找到与直线L平行的直线。 检查一平面是否平行于一已知直线，只要看能否在该面上作一直线与已知直线平行。一、直线与一般平面平行【例1】 过C点作平面平行于已知直线AB。 【分析】如图所示，过C点作CD/AB，即cd /ab,cd/ ab，再过点C任作一直

2、线CE，即ce，ce，则CD、CE相交决定的平面为所求。abccabXOOXbaccbadeed二、直线与投影面垂直面平行 直线和投影面垂直面平行，则该直线的同面投影与该投影面垂直面的积聚投影平行。 【例2】 过E点作直线平行于平面ABCD。 【分析】过e作ef /ad，过f 向上作连系线，则过e与连系线相交的直线都为所求，此处我们取其中一条，即过e作cd的平行线，与连系线相交于一点即为f。bacdadcbebacdadcbefeefOXOX三、两一般平面相互平行 若一个平面上的一对相交直线，分别与另一个平面上的一相交直线互相平行，则这两个平面互相平行。【例3】已知A点和DEF，过A作一平面平

3、行于DEF。 【分析】如图（b）所示，过A点作两条直线AB和AC，使AB/DE,AC/DF, 即ab/de，ab/de, ac/df, ac/d f，则AC和AB所决定的平面即为所求。XOOXadefbccbadeffedfedaa四、两投影面垂直面相互平行 当两个投影面垂直面P与Q相互平行时，它们的积聚投影，即它们与该投影面的交线，也相互平行。 【例4】过线段AB作平面平行于平面CDE。 【分析】由已知可得，CDE 为铅垂面，且ab/cde，过a作am/cd,连 接bm，则AMB即为所求 。abbaccddeeabbaccddeemmXOXO一、直线和一般平面垂直 4.2 直线与平面、平面与

4、平面垂直 直线与平面垂直的几何条件是：若直线垂直于平面内的两相交直线，则该直线与平面垂直。反之，若直线垂直于平面，则该直线垂直于平面内的所有直线。 注意： 在投影图上作平面的垂线时，可作出平面上的正平线和水平线作为面上的相交二直线。 根据两直线垂直的直角投影特性可知，所作垂线与正平线所夹的直角，在V面投影仍反映为直角。垂线与水平线所夹的直角，在H面投影仍反映为直角。 【例5】 如图（a）所示，过E点作平面Q的垂线。【分析】 如图（b）所示，要过E作平面Q的垂线，可先作出Q平面上正平线 AB 和水平线CD 的两面投影ab，cd，ab，cd； 过e，e分别垂作ehcd，ehab，EH即为所求垂线。

5、eeqqebadccdabehhqq二、直线和投影面垂直面垂直 直线垂直于投影面垂直面时，它必然是一条投影面平行线，平行于该平面所垂直的投影面，该面的积聚投影与该垂线的同面投影相互垂直。【例6】过E点作平面ABCD的垂线。 【分析】如图所示，平面ABCD为铅垂面，在H面积聚为一条线段，要作铅垂面的垂线，只需作出其H面投影的垂线即可。与铅垂面垂直的直线均为水平线，因此，所求垂线的V面投影一定为平行于OX轴直线。bacdadceeb 作图步骤： 过e点作emad，则em即为所求垂线的H面投影。 过e作OX轴的平行 线，过m向上作连系线，两者交于一点m，则em 即为所求垂线的V面投影。bacdadc

6、bemem【例7】作正垂面垂直于正平线CD。【分析】要作正垂面垂直于正平线，只需在V投影面作cd的垂线，在此垂线上我们 定点a、b、m，向下作连系线，可确定平面ABM即为所求正垂面。dcdcdcdcambabm三、两平面相互垂直 两平面垂直的几何条件是：若一平面上有一直线与另一平面垂直，则两平面相互垂直。如图所示，因P平面中一条直线L垂直于平面Q,则PQ。 在特殊情况下，当两平面都是同一投影面的垂直面时，则两平面的垂直关系可直接在两平面的积聚投影中表现出来。【例8】过点A作平面ABC垂直于DEF且平行于MN。【分析】作平面垂直于已知平面时，需先作一直线垂直于已知平面，然后包含所作垂线作平面即可

7、。因又要求平面平行于直线MN，故作另一直线平行于MN即可。 defdeackmnghghXacfkmno作图步骤： 过A点作直线垂直于DEF。先在DEF内作水平线DG和正平线EH，然后过A作直线AK与水平线和正平线垂直，即akfg，akdh。则AK即与DEF垂直。 包含AB作平面平行于MN。即作一直线AC，使ac/mn, ac/mn,则直线AK与AC所组成的平面平行于直线MN。直线与平面、平面与平面相交 直线与平面相交于一点，该点称为交点，交点是平面与直线的共有点，它既在直线上又在平面上。 平面与平面相交于一条直线，该直线称为交线，交线是两平面的共有线，它应同属于两平面。 直线与平面、平面与平

8、面相交的求解方法一般有两种。 （1）积聚投影法：当直线或平面有积聚投影时，可利用积聚投影来求交点或交线。 （2）辅助面投影法：当直线或平面均无积聚投影时，可利用辅助平面来求交点或交线。交点、交线是互相联系的，为叙述方便起见，先介绍几种特殊情况，然后再讨论一般的作图方法。一、一般位置直线与特殊位置平面相交 由于平面处于特殊位置时，其某一投影具有积聚性因此可利用其积聚投影来求交点，并判别可见性。 如图所示，一般线AB与铅垂面P 相交，交点K 既在AB上又在P 平面上。【例9】 求直线AB与平面P的交点K，并判别可见性。bapXOpab【分析】平面P为铅垂面，因此直线AB与平面P的交点的投影必在平面

9、P的H面积聚线段上，又因为交点是两者的公共点，所以p与ab的交点k既为所求交点的H面投影，由此作连系线，再与ab交得k。 XOpapabb12k1(2)k作图步骤：1、判断交点的H面投影位置。2、作出交点的V面投影。3、判断交点两侧直线的可见性。 （1）可见部分与不可见部分的分界点为交点K，从水平投影中可以看出，在k点的右边，ab在p的前面，因此k的右边ka为可见，左边kb 为不可见。 （2）也可用重影点来判断，即取AB与平面P边线的重影点1（2），其在H面上的投影1在2的前方，故由前向后看，2点不可见，其所在的直线段2k不可见，因而2k 画为虚线。） 二、投影面垂直线与一般位置平面相交由于直

10、线具有积聚性，因此可利用其积聚投影来求交点，并判别可见性。如图所示，铅垂线AB与平面CDE相交，交点K既在AB上又在CDE平面上。【例10】求直线AB与CDE的交点K，并判别可见性。bkcededcaOX1322(3)k1作图步骤：（1）求交点 因直线AB在H面积聚成一点，则交点k必在其上，且交点K又在CDE上，可根据平面上取点的方法作辅助线DI,然后求出k。（2）判断可见性 取交叉两直线的重影点II、III，从H面可知，2在前，3在后，在V投影面上为2（3）。因II在CDE上，而III在直线AB上，故kb不可见，应画虚线。 三、两特殊位置平面相交 当两平面均垂直于某投影面时，它们的交线也垂直

11、于该投影面。可利用两平面的积聚投影求交线，并判别可见性。【例11】 求ABC与平面P的交线MN，并判别可见性。pacpbcaOX12m(n)1(2)nm作图步骤：（1）求交点 如图所示，因ABC与平面P均垂直于H面，故交线必为铅垂线，且积聚于一点m(n)，然后作出此交线的V面投影mn，它的长度仅为两平面在V面的共有部分。（2）判断可见性 在V面投影中，取交叉两直线的任一重影点I、II，判断可见性1（2），从H面可知，1在前，2在后，因1在ABC上,而2在平面P上，故an可见为实线。这时交线mn为可见与不可见的分界线。四、一般位置平面与特殊位置平面相交 一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用特殊

12、位置平面的积聚性投影求交线，并判断可见性。 铅垂面P与ABC 相交，由于P 面的H 面投影积聚为p，交线MN 的H 投影mn在p上；交线MN既在ABC上又在平面P上。利用平面的积聚投影求交线，并判别可见性。 【例12】 求ABC与平面P的交线MN，并判别可见性。12mnmn1(2)作图步骤： 如图所示，因平面P 垂直H 面，故交线mn 必在p上，为abc与p 的公共部分，交点为mn,利用交线MN在ABC上，由mn求mn。利用V 面的重影点1（2）来判别可见性。m1(2)mnbacpacpbn12XO 五、一般位置直线与一般位置平面相交 直线与一般位置平面相交。由于一般位置直线、平面的投影没有积

13、聚性，因此，在投影图中不能直接求出它们的交点。 直线AB与平面CDE 相交，由于交点K 是平面与直线的共有点，故过K 点可在平面CDE 内任作一直线MN，直线MN 与已知直线AB 可构成一个辅助平面R，而MN 就是辅助平面与已知平面的交线。MN 与直线AB 的交点K 即为已知直线与平面的交点。 由此可得出利用辅助平面求一般位置的直线与平面交点的作图方法：(1)包含AB 直线作一辅助平面R;(2)求辅助平面R 与己知平面CDE 的交线MN；(3)求AB 直线与交线MN 的交点K。 【例13】 已知直线DE和ABC的两投影，试求DE和ABC的交点。作图步骤： 过DE 作铅垂面P。可在投影图上延长de，加上标记PH。 求P 和ABC 的交线FG,fg和fg 即为交线的两面投影。 fg与de 相交于点k，从k 引铅直连线与de 相交于k，则k、k即为所求交点的两面投影。 判别可见性,整理如图。 六、一般位置平面与一般位置平面相交 两一般位置平面相交。求两一般位置平面的交线时，可选其中一个平面内的任一直线，求出它与另一平面的交点，即