2022-2023学年人教A版必修第一册 第五章 5.5.2简单的三角恒等变换（二） 学案

1、5.5.2简单的三角恒等变换(二)学习任务一角的变换问题(逻辑推理)1求值：sin eq f(,12) eq r(3) cos eq f(,12) _【解析】sin eq f(,12) eq r(3) cos eq f(,12) 2( eq f(1,2) sin eq f(,12) eq f(r(3),2) cos eq f(,12) )2(sin eq f(,12) cos eq f(,3) cos eq f(,12) sin eq f(,3) )2sin ( eq f(,12) eq f(,3) )2sin eq f(,4) eq r(2) .答案： eq r(2) 2已知tan ( eq

2、 f(5,4) ) eq f(1,5) ，则tan _【解析】因为tan ( eq f(5,4) ) eq f(1,5) ，所以tan ( eq f(,4) ) eq f(1,5) ，则tan tan ( eq f(,4) eq f(,4) ) eq f(tan blc(rc)(avs4alco1(f(,4)tan f(,4),1tan blc(rc)(avs4alco1(f(,4)tan f(,4) eq f(f(1,5)1,1f(1,5)1) eq f(15,51) eq f(3,2) .答案： eq f(3,2) 3函数f eq blc(rc)(avs4alco1(x) eq f(r(2

3、),4) sin ( eq f(,4) x) eq f(r(6),4) cos ( eq f(,4) x)的周期是_，最大值是_【解析】f eq blc(rc)(avs4alco1(x) eq f(r(2),2) eq f(1,2) sin eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)x) eq f(r(3),2) cos eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)x) eq f(r(2),2) sin eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)x) cos eq f(,3) cos eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)x) sin eq f(,3)

4、 eq f(r(2),2) sin ( eq f(,4) x eq f(,3) ) eq f(r(2),2) sin ( eq f(7,12) x)；所以周期为2，最大值为 eq f(r(2),2) .答案：2 eq f(r(2),2) 角的三种变换(1)配角变换：2 eq f(,2) ，()，()， eq f(1,2) ()()， eq f(1,2) ()()， eq f(,4) eq f(,2) ( eq f(,4) )等(2)辅助角变换：a sin xb cos x eq r(a2b2) sin (x)，其中tan eq f(b,a) .(3)常值代换：1sin2cos2，1sin90t

5、an 45， eq f(1,2) sin 30， eq f(r(3),2) cos 30等学习任务二三角恒等变换的实际应用(数学运算)【典例】如图，半圆的直径AB2，O为圆心，C，D为半圆上的点(1)请你确定点C的位置，使ABC的周长最大，并说明理由；(2)已知ADDC，设ABD，当为何值时，四边形ABCD的周长最大？并求出最大值【解析】(1)如图，当C在半圆中点位置时，ABC的周长最大理由如下：因为点C在半圆上，且AB是圆的直径，所以ACB eq f(,2) ，即ABC是直角三角形设BCa，ACb，ABC(0 eq f(,2) )，又AB2，则a2cos ，b2sin ，ABC的周长ab22

6、cos 2sin 22(cos sin )22 eq r(2) sin ( eq f(,4) )2.因为0 eq f(,2) ，所以 eq f(,4) eq f(,4) 0，0)的最大值为2，设x1，x2是函数f(x)的任意两个零点，|x1x2|的最小值为 eq f(,2) .(1)求a，的值；(2)若f() eq f(2,3) ，求sin( eq f(5,6) 4)的值【解析】(1)f(x)a sin 2x eq r(3) cos 2x eq r(a23) sin (2x)，其中tan eq f(r(3),a) ，由题意知 eq r(a23) 2，a0，则a1.因为|x1x2|的最小值为 eq f(,2) ，所以f(x)的周期为，则 eq f(2,2) ，解得1.(2)由(1)知f(x)2sin (2x eq f(,3) ).由f() eq f(2,3) 知，2sin (2 eq f(,3) ) eq f(2,3) ，即sin (2 eq f(,3) ) eq f(1,3) ，所以sin ( eq f(5,6) 4)sin eq f(3,2) eq