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文档简介
二次型一、二次型及其标准形：定义1：定义2：若线性变换的矩阵可逆，则称线性变换为可逆线性变换；正交，则称线性变换为正交变换。定义3：只含平方项的二次型，即形如称为二次型的标准形（或法式）。二、二次型的矩阵表示法：二次型的矩阵表示式二次型的矩阵（显然这是实对称阵）定义4：设二次型则称对称矩阵 A的秩为二次型 f 的秩。三、二次型经可逆变换后的矩阵：由上讨论可得：定理1四、正交变换化二次型为标准形：问题1：标准形的矩阵 = ？将二次型化为标准形实际上是什么问题？问题3：二次型能否化为标准形？能！因为任意实对称阵都与对角阵正交合同。问题2：定理2将二次型化为标准形的一般步骤：(i) 写出二次型的矩阵 A；用配方法化二次型为标形的方法及惯性定理。为椭圆柱面。二次型的分类1.定义：是一个实二次型，若对于任何非零的向量矩阵的正定与负定是怎样定义的？2.二次型正定的判别法：判别法 I：用定义。例1：见教材。例2：证：判别法 II：用标准形 。定理1：实二次型 显然。定理2：可逆线性变换不改变二次型的正定性。定理3：实二次型证：由推论2及A正定,存在正交矩阵 Q，使必须掌握这一推论的证明 。判别法 III：用特征值 。判别法 IV：用顺序主子式 。定义：位于矩阵A的最左上角的1,2,n阶子式，称为矩阵 A
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