人教版高中数学高考一轮复习-等式的性质与不等式的性质、基本不等式

1、1.3等式的性质与不等式的性质、基本不等式第一章2022高中总复习优化设计GAO ZHONG ZONG FU XI YOU HUA SHE JI课标要求1.梳理等式的性质,理解不等式的概念,掌握不等式的性质.2.掌握基本不等式 (a,b0).3.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.备考指导不等式的性质贯穿于整个高中数学,是解不等式、研究不等式问题的根本.复习时要理清各条性质的应用条件,准确使用.以提升逻辑推理和数学运算素养.基本不等式是高考的重点,有时单独考查,有时与其他知识综合求最值.应用时要注意检验等号成立的条件,根据已知条件适当变形.内容索引010203第一环节必备

2、知识落实第二环节关键能力形成第三环节学科素养提升第一环节必备知识落实【知识筛查】 1.两个实数比较大小的法则 2.等式的基本性质3.不等式的基本性质问题思考若ab,且a与b都不为0,则 的大小关系确定吗?温馨提示1.不等式还有以下几条常用性质(1)移项法则:a+bcac-b.即不等式的任何一项移到不等号的另一边时一定要改变符号.2.两个重要不等式 4.基本不等式 注意:(1)基本不等式应用的条件是“一正二定三相等”.一正:一般要求a,b同为正数;二定:a+b或ab为定值;三相等:当且仅当a=b时,不等式取得等号.(2)基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.5.利用基本

3、不等式求最值已知x0,y0,则【知识巩固】 1.下列说法正确的画“”,错误的画“”.(1)两个实数a,b之间,有且只有ab,a=b,ab,则|a|b|B.若ab,则C.若|a|b,则a2b2D.若a|b|,则a2b2D当a=1,b=-2时,A不正确,B不正确,C不正确;对于D,a|b|0,则a2b2.故选D.3.若a,bR,且ab0,则下列不等式恒成立的是() Da2+b2-2ab=(a-b)20,A错误;对于B,C,当a0,b0,4.若x0,y0,且2(x+y)=36,则 的最大值为()A.9B.18C.36D.81A由2(x+y)=36,得x+y=18,所以 ,当且仅当x=y=9时,等号成

4、立.5.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.30第二环节关键能力形成能力形成点1比较两个数(式)的大小例1(1)已知a1,a2(0,1),记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是()A.MNC.M=ND.不确定BM-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1).a1(0,1),a2(0,1),a1-10,a2-10,即M-N0.MN.A.abcB.cbaC.cabD.ba2xy-1B.x2+y2=2xy-1C.x2+y20,所以x2+

5、y22xy-1,故选A.(2)已知a0,b0,试比较aabb与abba的大小. 能力形成点2不等式的性质及应用例2(1)如果aR,且a2+aa-a2-aB.a2-aa-a2C.-aa2a-a2D.-aa2-a2aD由a2+a0,即a(a+1)0,解得-1aa20,而a-a20,所以a-a20a2-a.故选D.D(方法一)由cd0. (方法二)依题意取a=2,b=1,c=-2,d=-1,代入验证知A,B,C错误,只有D正确.解题心得判断多个不等式是否成立的常用方法:方法一是直接使用不等式性质,逐个验证;方法二是用特殊值法,即举反例排除.而常见的反例构成方式可从以下几个方面思考:(1)不等式两边都

6、乘一个代数式时,要注意所乘的代数式是正数、负数还是0;(2)不等式左边是正数,右边是负数,两边同时平方后不等号方向不一定保持不变;(3)不等式左边是正数,右边是负数,两边同时取倒数后不等号方向不变等.对点训练2(1)若a1b-1,则下列不等式恒成立的是()A(2)下列说法正确的是()A.若ab,cd,则acbdB.若acbc,则abD.若ab,cd,则a-cb-d C取a=2,b=1,c=-1,d=-2,可知A错误;当cbca0,即af(x)恒成立af(x)max,af(x)恒成立a0,b0)过曲线y=1+sin x(0 x2)的对称中心,则 的最小值为.由正弦函数的图象与性质可知,曲线y=1

7、+sin x(0 x2)的对称中心为(1,1),故a+b=1.B能力形成点5基本不等式的实际应用例7某厂家拟在2022年举行某产品的促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x(单位:万件)与年促销费用m(单位:万元)(m0)满足 (k为常数).如果不搞促销活动,那么该产品的年销售量只能是1万件.已知生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括年促销费用).(1)将2022年该产品的利润y(单位:万元)表示为年促销费用m的函数;(2)该厂家2022年的促

8、销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?解题心得利用基本不等式解决实际问题时,应先仔细阅读题目信息,理解题意,明确其中的数量关系,并引入变量,依题意列出相应的函数解析式,再用基本不等式求解.对点训练5某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(单位:元)与月处理量x(单位:吨)之间的函数关系可近似地表示为 ,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?(2)该单位每月能否获利?如果获利,那么求出最大利润;

9、如果不获利,那么需要国家每月至少补贴多少元才能使该单位不亏损?解 (1)由题意可知,二氧化碳每吨的平均处理成本为 因为x400,600,所以该单位月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,最低平均处理成本为200元.(2)不获利.设该单位每月获利为S元, 因为x400,600,所以S-80 000,-40 000.故该单位每月不获利,需要国家每月至少补贴40 000元才能使该单位不亏损.第三环节学科素养提升应用不等式的性质求代数式的取值范围 典例设f(x)=ax2+bx,且1f(-1)2,2f(1)4,求f(-2)的取值范围.思路分析f(-1)=a-b,f(1)=a+b.思路1:由条件知1a-b2,2a+b4,因此可确定字母a,b的取值范围,进而求出f(-2)的取值范围;思路2:由f(-1),f(1)可求出 ,进而用f(-1),f(1)表示出f(-2),可以求出f(-2)的范围.两种思路所求结果是否相同呢?如果不同,哪方面出现了问题?下面,我们来具体研究一下.解题心得已知条件是多个字母相关联(如和、差、积、商等)的取值范围,求解与此类字母有关的代数式的取值范围时,一般是利用整体思想,把要求取值范围的代数式用已知代数式整体表示,通过“一次性”不等关系的运算求得整体