人教版高中数学高考一轮复习-对数与对数函数

1、2.6对数与对数函数第二章2022高中总复习优化设计GAO ZHONG ZONG FU XI YOU HUA SHE JI课标要求1.理解对数的概念和运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过具体实例,了解对数函数的概念.3.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点.4.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数(a0,且a1).备考指导作为另一种重要的基本初等函数,对数函数比指数函数在高考中更加常见,除了基本的对数运算、图象与性质外,对数运算还经常与其他知识综合考查.解题时要重视对数的真数大于0这一条件,重视其

2、图象以及单调性等性质的应用,提升数学抽象素养与应用数形结合思想解题的能力.内容索引010203第一环节必备知识落实第二环节关键能力形成第三环节学科素养提升第一环节必备知识落实【知识筛查】 1.对数的概念(1)根据下图的提示填写与对数有关的概念:(2)a的取值范围: a0,且a1 .2.常用对数与自然对数 3.对数的性质 6.对数函数的图象与性质 7.反函数对数函数y=logax(a0,且a1)与指数函数y=ax(a0,且a1)互为反函数.互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x 对称.它们的定义域与值域正好互换.1.换底公式的两个重要结论 其中a0,且a1,b0,且b1,m0,nR. 2.对

3、数函数的图象与底数大小的比较如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数,故0cd1a1时,函数y=logax的图象为选项B,D中过点(1,0)的曲线,此时函数y=-x+a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足a1,选项B,D中的图象都不符合要求;当0a1时,函数y=logax的图象为选项A,C中过点(1,0)的曲线,此时函数 y=-x+a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足0a0,且a1)的图象恒过的定点是.(2,2) 当x=2时,函数y=loga(x-1)+2(a0,且a1)的值为2,所以图象恒过定点(2,2).4第二环节关键能力形成能力形成点1对数式的化简与求值A-20解

4、题心得对数运算的一般思路:(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后用对数的运算性质化简合并.(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.(2)原式=(lg 2)2+(1+lg 5)lg 2+lg 52=(lg 2+lg 5+1)lg 2+2lg 5=(1+1)lg 2+2lg 5=2(lg 2+lg 5)=2.2 能力形成点2对数函数的图象及应用例2(1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x0时,f(x)=ln(x+1),则函数f(x)的大致图象为()C先作出当x0时,f(x)=

5、ln(x+1)的图象,显然图象经过点(0,0),再作此图象关于y轴对称的图象,可得函数f(x)在R上的大致图象,如选项C中图象所示.B拓展延伸若本例(2)变为方程4x=logax在区间 上有解,则实数a的取值范围为.解题心得应用对数型函数的图象可求解的问题:(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.对点训练2(1)已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a0,a1)的图象如图,则下列结论成立的是()A.a1,c1B.a1,

6、0c1C.0a1D.0a1,0c1D由该函数的图象通过第一、第二、第四象限知该函数为减函数,所以0a1.因为图象与x轴的交点在区间(0,1)之间,所以该函数的图象是由函数y=logax的图象向左平移不到1个单位长度后得到的,所以0c1.(2)若不等式x2-logax0对任意 恒成立,则实数a的取值范围为.能力形成点3对数函数的性质及其应用命题角度1 比较对数值的大小例3已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为()A.acbB.abcC.bcaD.ca0,且a1).(1)求f(x)的定义域;(2)讨论函数f(x)的单调性.解 (1)由ax-10,得a

7、x1.当a1时,x0;当0a1时,x1时,f(x)的定义域为(0,+);当0a1时,f(x)的定义域为(-,0).所以f(x1)1时,f(x)在区间(0,+)内单调递增.类似地,当0abcB.bacC.cbaD.cabD且y=log2x在区间(0,+)内单调递增,所以log23log2elog22=1,即ca1.因为y=ln x在区间(0,+)内单调递增,且b=ln 2,所以ln 2ln e=1,即bab.故选D.(2)若不等式logx(2x2+1)logx(3x)0,且a1.(1)求f(x)的定义域;(2)判断f(x)的奇偶性,并予以证明;(3)当a1时,求使f(x)0的x的取值范围.解 (

8、1)因为f(x)=loga(x+1)-loga(1-x), 故所求函数的定义域为x|-1x1.(2)f(x)为奇函数.证明如下:由(1)知f(x)的定义域为x|-1x1时,f(x)在定义域(-1,1)内是增函数,所以x的取值范围是(0,1). 第三环节学科素养提升对数型复合函数的单调性与奇偶性问题命题角度1 对数型复合函数的单调性问题典例1求下列函数的单调区间;解题提示本题主要考查复合函数单调区间的求法,求解时要先求函数的定义域.解:(1)由题意知x2+4x-120,依据二次函数t=x2+4x-12的图象可得x2或x-6.且t=x2+4x-12在区间(-,-6)内单调递减,在区间(2,+)内单

9、调递增.又 是区间(0,+)内的减函数,故所求函数的单调递增区间是(-,-6),单调递减区间是(2,+).(2)令t=log0.4x,且t=log0.4x在区间(0,+)内单调递减.又y=t2-2t+2=(t-1)2+1在区间1,+)内单调递增,在区间(-,1)内单调递减,由t=log0.4x1,得0 x0.4,由t=log0.4x0.4.故所求函数的单调递增区间为(0.4,+),单调递减区间为(0,0.4.解题心得对数型复合函数单调性的求解策略(1)对数型复合函数一般可分两类:一类是对数函数为外函数,即y=logaf(x) (a0,且a1)型;另一类是对数函数为内函数,即y=f(logax)(a0,且a1)型.(2)对于y=logaf(x)(a0,且a1)型函数的单调性,有以下结论:y=logaf(x)(a0,且a1)的单调性与u=f(x)(f(x)0)的单调性在a1时相同,在0a0,且a1)型复合函数的单调性,一般令t=logax,则只需研究t=logax及y=f(t)的单调性即可.命题角度2