高量26：§19 空间对称性和守恒定律

1、第四章对称性理论 19空间对称性和守恒定律19-1概述本章研究量子系统的各种时空变换以及与它们相关的算符，研究各种变 换下的对称性以及由此带来的相应物理量的守恒定律.由于空间转动和角动 量部分内容较多，也较重要，我们除在本章作一般性讨论之外，还在下一章中 作更详细的讨论.对称性和守恒定律是一个大问题，其起作用的范围已超乎量子力学之上. 但本书仍在量子力学五条基本原理的框架下来讨论这一问题，不涉及太远.群论是研究对称性有力的数学武器，在这一章中要经常用到.本书认为读 者熟悉有限群及其表示论的基本知识.虽然本章要涉及到连续群，但尽量不引 用连续群中的定理和结论.研究量子系统的各种空间对称性有两种观

2、点.一种认为所谓平移和转动 是系统在空间中改变位置而达到一个新的位置/ T时是指系统原在尸处的一 点，现在移到了尸点.这种看法称为主动观点.还有一种看法是认为系统在空 间不动，所谓平移或转动是指描述这个系统所用的参考系发生了位置的改 变/ T是指在原参考系中系统坐标为尸的一点在新参考系中的坐标为. 这种看法称为被动观点.显然，两种观点实质上是一样的，但在许多公式中两 种观点会相差一个负号.事实上，除了系统和坐标系之外，肯定还有其他的东 西（如系统的外部环境，产生电场、磁场的东西等）.主动观点中只有系统移动， 这些东西肯定是不动的；而被动观点则没有提到这些东西到底动不动，是随坐 标系一起动呢，还

3、是保持不动.本书采用主动观点. 19-2空间对称变换位置变换是在三维位形空间即我们所在的物理空间中从一个点到另一个 点的变换.变换Q是一个三维位形空间中的算符,它将点尸变为另一点尸,记 为(19.1)r= Q r 若对每一个尸，尸都有确定值，则变换Q就有了完全的定义.在本章中所用的 变换Q,是不改变任何两点距离的那些变换.对某些物理系统,若位置变换的一个集合QJ(，=1,2, 3,),是此系统的 对称变换，即保持这个系统不变的变换，则这个集合必定构成一个群，称为这 个系统的对称变换群.这里群的乘法规定为相继的变换，Q1Q2是先进行变换 Q2,接着再进行变换Q1.从群的定义来看，位置变换存在单位

4、元和乘法的结合 律二者没有问题；变换不改变两点距离的要求保证了逆元的存在.一个对称变 换继以另一个对称变换，其结果必定仍将是对系统的一个对称变换，就是说对 称变换的乘法一定是封闭的，所以系统的全部空间对称变换必定构成一个群. 对称变换群的阶可以是有限的，也可以是无穷的.态函数的变换考虑一个(处于状态|W的)单粒子系统在位置表象中的 态函数W(r) =r IV).态函数是在位形空间中的一种函数值的分布,每一点上 都有一个一般为复数的函数值.现在，把这一函数值的分布用算符Q作一个 整体的变换，即用Q把这一函数值的分布整体地移到另一个地方.这时，系统 的态发生了改变,成为IV,而其位置表象的态函数成

5、为W(r) =r IV.所谓 整体地移动是指当r点受Q的作用变到r= Qr点时,带着它的函数值一起到 r去.确切地说，就是新函数在新点处的值，等于老函数在老点上的值，即态函 数变换的条件是V(r) =V(r)(19.2)即V(Q r)=V(r)由此知V(r)=V(Q *)(19.3)这就是位置变换Q导致的态函数的变换.新老态函数的关系可以用一个函数 空间的变换算符D(Q)来表示：. 一一V(r) = D (Q) V (r) =V (Q *)(19.4)由于Q不改变任意两点的距离，V与V二者只是地点和方位的不同，而尺度 和形状(分布)不变，因而不影响其归一化，于是可得 AAAA 一 A.Dt(Q

6、)D(Q) = D(Q)Dt(Q) =1,所以 D(Q)为一幺正算符.考虑连续两次变换Q1Q 2,D (Q1) D (Q2)V (r) = D (Q1)V (Q1r) =V Q-1(Q;1r)=V (Q-lQ-l) r =V (QQ2)-1 r = D (QQ2)v (r) 由此得D (Q1) D (Q2)=D (QQ2)(19.5) 八 即函数空间中的变换算符Q(Q)也构成一个群，且此群与位形空间对称变换 群Q同态.此外，由于D (Q) D (Q-1 ) = D (QQ-1) = D =1 所以D-1 (Q) = D (Q-1)(19.6)态矢量的变换现在在希尔伯特空间中作讨论.状态|W经过

7、位形空间的变换Q之后成为一个新的态|W，则可定出一个幺正的变换算符D(Q):|= D(Q)|W(19.7)由于w (r) =r |w, w (r) =r |w , (19.4)式成为:r D (Q) W= D (Q)：.r W=Q* |w 由此可得到两个关系：(r D (Q) = Q-ir|(19.8)r D (Q) = D (Q )*(19.9)前者是希尔伯特空间中D(Q)的定义式,而后者是D(Q)与函数空间中的 八 .D(Q)之间的形式关系.(19.8)式写成右矢形式是D t (Q)|r=D -1(Q) |r= | Q-1 r 即D(Q)I r= | Q r(19.10)算符的变换对称变换

8、Q既然导致了态矢量的变换(19.7)式，也导致了 算符的变换.在希尔伯特空间中新算符*与老算符A的关系为A =D(Q)AD -1(Q)(19.11)可以讨论一下位置算符星它的本征值方程是R |r=r |r(19.12)用D(Q)作用，得D(Q) RD -1(Q)D(Q)| r= rD(Q)| r利用(19.11)式和(19.10)式，得R| Q r= r | Q r(19.13)又用Q -1作用在等式R | Q r=Q r | Q r上，得Q -1R | Q r= r | Q r(19.14)比较(19.13)、(19.14)二式,当Q取定后| Qr仍可为任意矢量,因此有R=D(Q) RD -

9、1(Q)=Q -1R(19.15)此式是位置算符R的变换关系.注意此式与(19.1)式的区别，那里是位形空间 中位置矢量的变换关系，而这里则是希尔伯特空间中位置算符的变换关系.在(19.15)式中，算符R兼有位形空间的矢量和希尔伯特空间的算符两种身份：R =勇 R ei=1(19.15)式的第一等式中的D(只对R,作用，而单位矢量。不受它的影响；与 此相反,(19.15)式的第二等式中的Q-1则由于是定义在三维位立形空间中，只对 位形空间中的单位矢量。发生作用，对算符Rj没有作用.至于其他算符,不一定有类似(19.15)式的关系,其变换关系是(19.11)式. 式中的D(Q)是一个确定的算符,

10、因为从(19.10)式知,D(Q)作用到每一个基矢 I，上都有确定的结果| Qr.显然，希尔伯特空间中的D(Q)与函数空间中的D(Q)这两个群是同构的, 因此在希尔伯特空间中，幺正算符D (Q1) ,D (Q2),构成一个与位形空间 中对称变换群Q ,Q2,同态的群. 19-3空间反演首先讨论最简单的对称变换即空间反演.空间反演变换的定义是P r = -r(19.16)根据(19.10)式，在希尔伯特空间中与空间反演相应的算符是D(P)| r=|-r(19.17)通常将D (P)也写成P.P |r=|-r(19.18)空间反演算符P与单位算符二者构成一个群，称为空间反演群：P 2 = 1, P

11、1 = 1P = P相应的函数空间中的空间反演算符P为八八-.PW(r) =v(-r), P 2=1(19.19)由P2 = 1可知，空间反演算符的本征值为1,与本征值+1对应的本征矢量称 为偶宇称的，与-1对应的称为奇宇称的.空间反演算符又称宇称算符.以函数 空间的形式来表示则为邱(r),偶宇称PW (r) =W (-r) = -w (r),奇宇称(19.20)、其他情况，无确切宇称空间反演算符P既是幺正算符又是厄米算符：P t=P-1=P(19.21)由(19.18)式的左矢形式及(19.9)式，有r P = ：- r| = P：. (19.22)下面讨论几个算符在空间反演下的变换.首先讨

12、论位置算符R在希尔伯 特空间中有PRP |r=PR |-r= P(-r)|- r=( r)P-r= r |r= R |r) 所以得PRP=-R(19.23)在函数空间中讨论时， , 、 一 ，、一 ， 、 ，、 一 ，、PRPW (r) = PRv (-r) = P rv (-r) = (-r) v (r) = Rw (r) 于是同样有 人人人人一 一PRP=- R(19.24)在上面两种计算中，要注意其中的差别.在希尔伯特空间中，P作用的对 象是其中的矢量，而r是常数,所以P(-r)|-r)=(-r)P|-r),常数可以提到线性 算符的外面；而在函数空间，P作用的对象是函数中的自变量，使其变

13、号.在 Prv (-r)中应把rv(-r)整个看成受P作用的函数.又如在希尔伯特空间中 R|-r是算符作用于其本征矢量，所以得-r|-r),|-r)前面的是本征值；而在函 数空间中不论Rw (-r)中的v(-r)是不是R的本征矢量,都应根据定义式 (7.35)式得出 rw (-r),而不是-rw (-r).对于动量算符P,由于:.r|p)= e方r p = :-r |-p；,将PPP作用在动量本征 矢|p)上,并利用|r)的完全性关系，有Pip： = P E| r*|p； = Z|-r：-r I-p =|-p?(19.25)于是PPP |p)= PP |-P) = -pP |-p) = -p|

14、p)= -P |p)由此得出PPP =- P(19.26)至于轨道角动量在空间反演下的变换,由(19.24)、(19.26)两式立即得出PLP =(PRP) x (PPP) = L(19.27)即轨道角动量算符L与宇称算符P对易.在上面的讨论中看到，R、P等在空间反演下改变符号，这样的算符称为 矢量算符；而像L那样在空间反演下不变的算符，称为轴矢量算符或赝矢量 算符.自旋也是矢量，它的性质应同轨道角动量一样，因此我们在自旋空间中规 定，在空间反演时自旋算符不受影响，即规定自旋算符是一个轴矢量算符.标量算符也有(真)标量与赝标量之分，前者在空间反演下不改变符号，而 后者则相反.例如中心场中的哈密

15、顿算符见(9.51)式属于前者，螺旋度算符 (15.31)式h = SP P属于后者.由于轨道角动量算符L与空间反演算符P对易，因此二者有共同本征矢 量，事实上球谐函数Y饥(0,中)就是L和P的共同本征函数.在球坐标中,Pf (r, 6,们=f (r,K -0,中 +兀)所以PY (0，们=(-1) / Y (0，中)lmlm 19-4空间平移空间平移是把位形空间中所有位置矢量,都加上一个固定矢量人的变换, 无限小空间平移变换Q(d人)的作用是=Q (dX) r= r +d 人(19.28)全部空间平移变换Q(X)构成平移群，这是一个有无穷多不可数元素的三参 量连续群，群元取决于三个实参量X

16、x、X 和X /注意平移算符Q(X)并不是线 性算符，因为 Q(X)2r = 2r+2Q(X)r. 在位置表象中，态函数W(r)的无限小平移算符D(dX)根据(19.4)式满足： W(r) = D(d X)w (r) * Q-i(d X)r * (r d X)-/ i _ 工、=W(r)-dX-Vv(r) = 1- dXP w(r)k力 J即(19.29)(19.30)iD (d X) = 1-d X-P力 对于有限的平移，有i Xl X 方D(X) = lim(1-P)n = e 力XPns 力nD(X)是线性算符,全部D(X)的集合是一个与平移群Q(X)同构的在函数空 间中的算符群，有时也

17、称为平移群.在希尔伯特空间中，有Iw= D(X)|w(19.31)土 X PD (X) = e -方X(19.32)根据(19.10)式,D(X)作用在位置本征矢量|r上的结果是D (X)|r=| Q (X)r=|r+X(19.33)态矢量的平移算符正是位置本征矢量的上升算符 Qt(X),见(7.4)式和(7.7) 式.位置算符R的平移根据(19.15)式为R=D (X) RD -1(X)=Q -1(X)R =R-X(19.34)动量算符在平移变换下是不变的，(19.35)P =D (人)PD -i(X)= P因为D(X)与P对易.练习19.1试用公式(2.9)式验证(19.34)式.练习19

18、.2试用两种方法求轨道角动量算符L的平移.练习19.3 试由(19.33)式证明D(人)W (r)=W (r一人) 19-5空间转动空间转动是在三维位形空间中使所有的位置矢量r都绕一过原点的固定 轴转过一定角度的变换.绕n轴转dg角的无限小转动算符Q(ndg)的作用是厂、r= Q(ndg)r = r+dg n x r(19.36)这一点可由图19.1中看出.这样的转动称为正当 、尸转动，绕所有的轴转一切角度的正当转动算符 M的集合Q (ng)构成一个群，称为三维正当转动群.关于空间转动和三维转动群我们在21中dr = 7作详细讨论.在位置表象中态函数W(r)的转动变换，根图19.1据(19.4

19、)式是(r) = D (n d g )w (r) =w Q-1(n d g)ri=W (r) d g n x r -Vy (r) = (1 一 d g n L)y (r) 力所以，函数空间中的转动算符为D (n d g) = 1 d g n - L力(19.37)而有限转动算符为D (ng) = e一舟n-L在希尔伯特空间中也有相应的式子：(19.38)D (n d g) = 1 一 d g n - L力(19.39)D (ng) = e 一 舟-L(19.40)下面讨论算符的变换，首先讨论位置算符R.R = D （d中）RD 一i（d中）八 i -_ _ i - _ _ _一1 h d中 n

20、 L I = R d中n L, RV力 ） 力=R - d 9 n x R = Q-1( n d 中)R(19.41)与一般公式(19.15)式一致.在上面的计算中利用了 L与R的对易关系(6.19) 式.由于动量P和轨道角动量L的对易关系同L之间的对易关系有类似的公 式(6.20)式和(6.18)式,利用完全相同的计算即可得出P与L二算符的转动为P =D (nd9) PD -1(nd9)= P- d9nxP= Q -1(nd9) P(19.42)L =D (nd9) LD -1(nd9)= L- d9nxL= Q -1(nd9) L(19.43)标量算符和矢量算符现在我们给标量算符和矢量算符

21、以严格的定义， 在转动下不变的单分量算符称为标量算符.标量算符S满足D (n9) SD -1(n9) = S 或 S, D (n9) = 0(19.44)在三维位形空间转动下，函数空间或希尔伯特空间中与位置算符R有相同变 换特性的三分量算符称为矢量算符.矢量算符V满足：D (n9)VD T(n9) = Q -1(n9)V(19.45)动量和轨道角动量都是矢量算符.标量算符和矢量算符再按空间反演变换下 的特性分别有“真”和“赝”或“真”和“轴”之分.下面给出矢量算符的任意分量与轨道角动量算符的任意分量的对易关系. 取无限小转动，则(19.45)式左方为D(nd9)VD-1(nd9)= V -d9

22、 n L,V 力见(19.41)式的计算,而(19.45)式右方为Q -i(nd9) V = V - d9 nxV 比较上两式得n L, V =-i力nxV 以另一单位矢量m点乘上式两边,得n L, m V = ihn xm V(19.46)这就是矢量算符V的任意分量同L的任意分量的对易关系.例如取n=i ,m =j, 则有Lx,匕=ihV.由此式也可得出轨道角动量三个分量之间的对易关系 (6.18)式.自旋空间中的转动变换带有自旋的粒子的状态，由位形希尔伯特空间和自旋空间二者的直积空间中的矢量描写.而在这两个空间中属于不同空间 的算符都是对易的.作为位形空间对称变换的空间平移应该不影响粒子的

23、内 禀性质自旋，但自旋S又是三维位形空间中的一个矢量算符，位形空间中的方 向改变应该在自旋空间中有所反映.根据我们已建立的理论框架，分析这个问题的唯一可能的根据是自旋是 一种角动量，与轨道角动量应当类似，我们根据这一点规定自旋算符S和轨道 角动量L 一样是轴矢量，即在空间反演时不改变符号.此外，根据自旋算符的 三个分量之间的对易关系(8.1)式与L的对易关系类似这一点去决定S在空间 转动下的变换.设在自旋空间中与空间转动Q (d们对应的变换算符D，(nd们为D (n d 中)=1 - d 中 n - A力A是一个待定的厄米算符.仿照由(19.45)式推出(19.46)式的过程,并取那里 的V为

24、S,可得n -A, m - S= i 力n xm - S与自旋对易式(8.1)式比较可知,A应该就是S本身,由此知自旋空间中的转动 算符D，(n中)应为D (n 中)=e -:伽 S(19.47)于是，在带有自旋粒子的态空间(直积空间)中，空间平移和反演的算符仍 是(19.32)式和(19.18)式,前者只对位形希尔伯特空间有作用；后者对自旋算 符的作用为PSP=S,而空间转动算符则为D (n中)=e土中n-L e土中n-S = e土甲n J(19.48)D (n中)称为有限转动算符.练习19.4证明在三维位形空间中两个矢量的点乘积是一个标量.练习19.5证明对于矢量V有e-:川n-lv e:

25、川n-L = V - d 中 n x V + ；(d 中)2n x (n x V)3?(d 中)3n x n x (n x V) +练习19.6 取转动算符Q为绕原点与x=y=z=1点连线n转120。，因而Qi =j, Qj=k, Qk=i.写出D (n, 120。)；取V=L，计算(19.45)式两端从而验证该式.练习19.7设Q为一个转动，D(Q)为希尔伯特空间中的转动算符，D(Q)为位置表 象中的转动算符，证明：D (Q ) r I = r d (Q ) = Q -1 r ID (Q) R D-1( Q ) = Q-1R练习19.8同上题,P为动量算符，证明：D (Q) P D-1( Q

26、 ) = Q-1 P19-6空间变换对称性和守恒定律系统的空间对称性同基本的物理量的守恒定律有着密切的关系，这是在 宏观世界和微观世界都存在的一条基本的物理规律.所谓系统在某一空间对称变换下具有不变性或对称性，不是系统在变换( 平移、转动等)后状态不变，而是指系统在变换前后运动规律不变.设原来系统 的运动规律即薛定谔方程为d ,i h |W (t) = H |w (t)(19.49)c t现在施以一个空间变换Q (X)：r Q(X) r=r(19.50)式中X是空间变换的参数；对平移来说上是平移量X或dX，对转动来说,X代 表n和中，至于空间反演则不需要这个参数.在空间变换Q下,(19.49)

27、式变为 见(19.7 )和(19.11)二式一 Ci h D (Q) lw (t ). = D(Q) HD - 1(Q) D(Q) lv (t )(19.51)c t为使变换后的新态矢Iw(t )=D (Q)lw(t )服从与原态矢Iw(t )相同的运动 规律，必须满足：D (Q)HD -1(Q)=H(19.52)即H, D (Q) = 0(19.53)(19.52)式或(19.53)式就是系统在空间变换Q(X)下具有对称性的明确数学表 达式.由(19.52)式知，系统的空间变换对称性完全反映在其哈密顿算符H的空 间变换对称性上.一般说来，哈密顿算符包括两部分，一部分是系统本身的性 质；另一部

28、分则是系统所处环境的情况，例如系统外部的电场，磁场等.按主动 观点，在对系统作对称变换时，只是改变系统的状态，如平移到另一地点或转 动某一角度，并不移动外场，即不改变E(r)和B(r)的函数形式.只有外场E(r) 或B(r)的函数形式在系统平移或转动时具有不变性，系统的哈密顿才能有不 变性.在静电场中的带电粒子，其哈密顿为h 2 .H = V 2 + V (r)2m右边第一项具有平移、转动和反演的对称性，因而哈密顿的空间对称性质只取 决于势能项V(r).守恒量哈密顿具有某种空间对称性就是存在某种空间变换群，这个群 的所有群元都使哈密顿不变.这时，根据(19.53)式和(11.23)式,一定有一

29、个相 应的守恒量存在.例如,一系统的哈密顿同空间平移算符(19.32)式上X pD (X) = e -方杼对易，则此系统具有X方向上的平移对称性,这时H, XP=O(19.54)X方向上的动量分量就是守恒量，这个方向上的动量守恒定律成立.若进一步 有H,P =0(19.55)则H具有一切方向上的平移对称性，所有方向上的动量守恒定律成立.又如，若哈密顿H与空间转动算符(19.48)式D (n中)=e方伽对易，则此系统具有绕n方向转轴的转动对称性，这时H,n - J =0(19.56)系统的角动量在n方向上的分量守恒；若上式与n无关，则系统的角动量J是 一个守恒量.同样,若系统的哈密顿与空间反演算

30、符P见(19.56)式对易：H,P = 0(19.57)则系统的宇称守恒.由于空间反演算符P既是幺正算符又是厄米算符，因而宇 称本身就是一个物理量.关于守恒量的性质，已在 11中讨论过了 .这里只提醒注意：守恒量在系 统的一切(满足运动方程)的含时态中，包括定态和非定态，其取值概率都不随 时间而变；而在定态中，一切不含时的物理量，包括守恒量和非守恒量，其取值 概率都不随时间改变.其他空间变换对称性 一个微观系统除了本节讨论过的各种空间变换对 称性以外,还可以有其他的空间变换对称性.例如处于晶体当中的一个原子系 统,其哈密顿还具有这个晶体的对称性，即某一晶体点群的对称性.用这一点 群的每一个群元(平移、转动、镜象反射、反演等操作)作用于哈密顿时，都能 使其不变.这是一种离散的对称性，在这种情况下没有守恒量同这样的对称性 相对应.另一种提法 文献上常有一种与本书不同的提法，说：“空间是均匀的， 所以有平移不变性，从而导致动量守恒定律”；“空间是各向同性的，所以有转 动不变性，从而导致角动量守恒定律”.所谓空间的均匀性是指“一个物理实 验在此地做或平移到另一地点去做，其结果是完全相同的”，空间的各向同性 也有类似的含义.这种说法与本书不同之点在于，本书所指的空