剖析ETF的手术刀：LyxorETF效率指标

1、内容目录一引言 . - 4 -二信息比率指标的理论价值分析. - 4 -2.1 跟踪误差空间里的有效前沿. - 5 -2.2 信息比率在理论上有效 . - 6 -2.3 信息比率指标存在缺陷 . - 7 -三ETF 效率指标引入 . - 9 -3.1 效率指标的理论基础分析. - 9 -3.2 效率指标应用举例. - 10 -3.3 对流动性测算的详解. - 11 -四效率指标在 A 股 ETF 中的实证 . - 13 -4.1 各指标参数的估计方法 . - 13 -4.2A 股市场宽基ETF 的效率指标计算. - 14 -图表目录图表 1：跟踪误差空间里的有效前沿 . - 5 -图表 2：不

2、同信息比率组合与再组合对比 . - 7 -图表 3：示例 1 的示意图. - 8 -图表 4：ETF 跟踪指标对比. - 8 -图表 5：ETF 效率指标计算示例 . - 10 -图表 6：主流宽基 ETF . - 14 -图表 7：创业板指 ETF 效率指标和传统指标. - 14 -图表 8：创业板指 ETF 指标排名对比. - 14 -图表 9：上证 50ETF 效率指标和传统指标 . - 15 -图表 10：沪深 300ETF 效率指标和传统指标 . - 15 -图表 11：中证 500ETF 效率指标和传统指标. - 15 -一引言基金选择有两个步骤：一是定义一个符合某类特征的基金集合

3、，二是从该集合里通过定量或定性的评价标准来选择一个或者多个元素。对于主动管理基金的选择，一般是先选取某个风格或特征类型的基金，然后评价其 alpha 显著性、可持续性等方面表现。被动更简单，直接按照投资的需要来选择对应工具，当然 ETF工具越来越多，跟踪相同指数的 ETF 有很多个，基金选择的问题不可避免，这也是本文引入Lyxor 评价指标的原因。对于被动管理，基金挑选是更直观的。实际上，当风格或基准被选出来后，基金集合可以立马被选出来。在这里不涉及 alpha 和 beta 的评价，投资者的目标是找到跟踪指数最准确的投资工具。一般的评价体系如 Morningstar 和 EuroPerfor

4、mance 是不适用于此时的基金选择的，因为它们更关注于绝对回报。对于被动管理，绝对回报意义甚微。在一个理想的世界，投资者是想要投资于与指数表现一致的资产。因此被动基金管理人关注的首要因素不是绝对回报。我们认为评价被动管理基金可以从下面三个方面入手：管理费用，其他成本和收入；跟踪误差流动性第一个因素非常重要，因为它会影响投资工具的收益表现。较高的管理费会对基金业绩有负面影响。假设一个基金完美复制了指数但费率较高，那么长期来看，这个基金跑输基准的幅度会很大。当然了，未来指数基金可以通过融券来覆盖部分费用。这个指标的影响已经体现在了费后的基金净值。第二个因素衡量了指数基金的相对风险。该波动率衡量的

5、是基金和指数收益之间的差值变动幅度。它指示出了指数基金与指数之间有怎样的差别。这个差值出现的原因是策略总是不能完美地复制指数。我们将如下两种复制方法作区分：完全复制，抽样复制。在完全复制中，基金经理完全复制指数中的各个资产及其权重。但是事实上，投资组合中的权重永远不可能与理论权重相等。除此之外，因为申赎、分红、现金拖累等因素，也会带来跟踪误差。第三个因素对于 ETF 评价来说相当关键，也是现有定量评价体系忽略的一个因素，Lyxor 的效率指标恰好考虑了这点。ETF 作为场内交易型产品，如果流动性不好，几分钟甚至几十分钟都没有成交，就失去了作为 ETF 存在的意义。当然，基金的流动性内生与被跟踪

6、的指数成分股流动性相关。标普 500 指数 ETF 一定比 MSCI 新兴市场指数 ETF 流动性要高。但是成分股并不是唯一影响基金流动性的因素。由于 ETF 基金主要由机构投资者买入，当申购和赎回发生时，流动性就会发生很大的改变。在实际操作中，公募机构可以通过引入做市商、扩大链接基金、吸引个人投资者来提升流动性。二信息比率指标的理论价值分析跟踪误差空间里的有效前沿在均值-方差框架下，令b （或者 x ）是基准(主动投资组合)的权重向量。我们将投资集合中的资产数量设为 n ，资产i 的收益设为 R i差额也就是超额收益：期望超额收益有如下形式：跟踪误差为：。投资组合与基准的收益为行文方便，我们

7、设上文两个表达式中出现的算子为 ( | b ) 和 2 ( | b ) 。由于费率等因素的存在，完全复制指数不易实现。我们把跟踪指数问题抽象到下述优化问题，即在限制跟踪误差的条件下最大化超额收益：如果我们考虑基准b 和一个投资组合 x 的结合，投资组合的构成是： 是投资于主动资产组合 x 的比例并且 大于等于 0。依据上文算子，我们得到：并且由以上我们推导得这是对于投资组合 y 的期望超额收益以及跟踪误差的线性方程。它表明了有效边界在跟踪误差空间里是一条直线（见下图）。图表 1：跟踪误差空间里的有效前沿来源：lyxor,中泰证券研究所值得注意的是，本文的有效前沿是在 ( | b ) , 2 (

8、 | b ) 空间上的，横轴为跟踪误差，如果按照常规的均值方差框架，在绝对收益率空间上，有效前沿还是一条双曲线。如果用超额收益来衡量基金经理业绩，他应该选边界的上部分。需要注意的是，因为有效集是一条直线，最大夏普比对于组合配置并不是一个有用的指标。有效前沿的具体计算请参考 Jorion P. (2003), Portfolio Optimization with Tracking-Error Constraints, Financial Analysts Journal。既然有效前沿在跟踪误差空间上是一条直线，那么要选择斜率最大的那个集合，也就是选正切最大化、信息比率最大化的那个组合：信息比率

9、在理论上有效为了理解为什么信息比率可以用来选择指数基金，我们考虑图 2 给的例子。很明显组合 x 2 比组合 x1 要好，因为在跟踪误差相同的情况下其有一个更好的超额回报。如果我们比较资产组合 x 3 和 x 2 ，他们并没有相同的跟踪误差。然而，我们可以通过基准b 和资产组合 x 2 构建一个资产组合 x 4 ，使得资产组合 x 4 和 x 3 有相同的跟踪误差。根据先前的分析，我们有：在这种情形下, x 4 比 x 3 更好，然后我们可以得出结论 x 2 比 x 3 更好。 x 4 的信息比率和 x 2 的信息比率是一样的。所以，为了选择一个ETF 基金，我们可以简单比较他们的信息比率。因

10、此我们得到如下的结果。定理 1 x 和 y 跟踪相同指数。当 x 比 y 的信息比率更大时， x 比 y 更好：下图形象地展示了不同信息比率的跟踪指数组合在再次线性组合后跟踪效果的额比较：图表 2：不同信息比率组合与再组合对比来源：Lyxor,中泰证券研究所信息比率指标存在缺陷上面的定理 1 在指数基金评价中有广泛的应用，但是它只对跟踪误差显著大于 0的基金有较好的评估效果。在命题的证明中，我们用了一个非常强的假设，就是我们可以精准复制指数。但在实际操作中，我们需要用一个跟踪指数的代理组合，因为与指数一模一样的组合是不存在的。让 y 是指数代理组合 x 0 和资产组合 x的结合。我们有在附录

11、1 中，我们得到推论：如果 x 0 | b 0 并且 x 0 | b 0 ，我们得到如下结果：通常来讲，由于管理费的存在，指数代理组合 x 0 | b 0 和 x 0 | b 0 。在这种情况下，我们得到：示例 1让 我 们 用 一 个 例 子 来 阐 述 这 个 缺 点 （ 图 表 3 ）。 我 们 假 定 x 0 | b 5 bps, x1 | b 4 5 bps, x1 | b 4 5 bps, x1 | x 0 2 5 bps和 x 0 | b 5 bps。资产组合 x1 和指数代理组合 x 0在图 3 展示。接着我们考虑第二个资产组合 x 2 ，它有如下特点， x 2 | b 1 5

12、 bps, x 2 | b 1 5 bps,由此我们得到IR x1 | b 1 .2 9 和IR x 2 | b 1 .0 。利用命题 1，我们可以推导出 x1 比 x 2好， 因为我们可以构建出比 x 2 好的资产组合 x 3。 也就是2231xx xx 。但是问题是由于基准只能由 x 0 来复制，所以 x 3 的信息比率达不到。在这种情况下， x1 和 x 0 的融合得出 x 4 并且我们得出。在这样一个 x 2x 4 例子中，如果跟踪误差是 15bps，我们得出结论 x 2 比 x1 好即使 x1 的信息比率更大，即这个矛盾在评价有较低跟踪误差的指数基金时尤其明显。在这个情况下，该信息比

13、率不能用来选择基金。当信息比率为负时，从信息比率角度来看，指数基金就不那么有效了。它意味着没有投资者对它感兴趣。但是这个结论与实际是相悖的，因为被动基金投资者喜欢考虑有最小跟踪误差的基金，即使信息比率为负。图表 3：示例 1 的示意图示例 2来源：Lyxor,中泰证券研究所对低跟踪误差的基金，信息比率指标评价效果不好。考虑如下两个 ETF:图表 4：ETF 跟踪指标对比基金 x 0 | b x 0 | bIR x 0 |ETF-10.02%0.03%0.66ETF-20.40%0.50%0.80来源：wind,中泰证券研究所如果我们仅使用信息比率作为衡量标准，那么投资者会选择 ETF-2。但是

14、实际中，大部分投资者会选跟踪误差更小的ETF-1。三ETF 效率指标引入效率指标的理论基础分析我们考虑一个两时期的简单模型，投资者在t 0 时买入指数基金 ETF，然后在t 1 时卖出。注意基金与指数的收益差是e 。那么投资者的 P&L 为在这里 s ( x | b ) 是基金的买入卖出差价（bid ask spread），我们定义投资者的损失函数为：跟踪效率测度是对于投资者的损失函数L ( x | b ) 的一种风险度量。这里我们使用在险价值（Value at Risk）来度量风险，假设置信水平为，那么有其中是L ( x | b ) 的VaR，也是效率测度函数（见定义 1）。假设 ETF 收

15、益率和指数收益率差额服从正态分布：那么我们可以有如下定义：定义 1： 基于基准b ，基金 x 的效率测度 ( x | b ) ：在这里 ( x | b ) 是收益差异的期望值，s ( x | b ) 是买卖差价， ( x | b ) 是跟踪误差。对定义 1 的推导如下：利用正态分布函数的特性：得到也就是定义 1 的结论。效率指标应用举例下图给出了一个效率测度的计算示例，其中测量的置信区间为 95%。假设 x | b 5 0 bps， x | b 4 0 bps 和 s ( x | b ) 2 0 bps。该曲线与投资者的 P&L的密度函数相关联。因为收益率差异是卖空指数，由于卖出指数本身是有成

16、本的，该曲线并不以期望超额收益为中心。它解释了 P&L 是 30bps。由于正太分布对称性，有 50%的概率投资者的回报是大于 30bps，但仍有 50%的概率投资者回报小于 30bps。投资者有损失的概率为 22.66%。为了计算指数基金的效率测度，我们将分位数设为 5%，我们最终得到效率指标 值为-35.79bps。图表 5：ETF 效率指标计算示例来源：Lyxor,中泰证券研究所定理 2： 令 x 和 y 是以相同指数b 为基准的两个指数基金。当且仅当 x 比 y 的效率测度大的时候， x 是优于 y 的。xy ( x | b ) ( y | b )示例3： 我们考虑两个基金 x 和 y

17、 有如下的特点： ( x | b ) 4 0 bps,s ( x | b ) 2 0 bps, ( x | b ) 3 0 bps, ( x | b ) 3 0 bps, s ( x | b ) 1 5 bps, ( x | b ) 2 0 bps。我们设定95%置信区间令 1 ( ) 1 .6 5 。则：因为 ( y | b ) ( x | b ) ，我们可以推导出基金 y 比基金 x 更有效。基金 x 有5%的概率损失超过29.5bps。而基金 y 同样的概率下损失为18bps。对流动性测算的详解效率指标里面，第一项是超额收益，第二项是流动性指标，第三项是分布系数乘以跟踪误差。其中流动性指

18、标的计算是关键和难点，也是 Lyxor 效率指标的创新之处。流动性是用日内tick 数据来计算的，每个时刻假设买入特定金额的ETF，然后计算买完该金额需要的加权时间，具体算法下文介绍。流动性风险参数估计为：st ( x | b ) m ax s t 2 ( x | b ), s t 1 ( x | b ), s t ( x | b )一般可以用第一档买卖数据来刻画流动性风险，该测度对于散户来说的确是实用的，但对机构投资者来说并不合适。因为机构投资者往往以限定目标成交额的形式下单，且一般数额较大。例如某机构计划买入 100 万元的目标 ETF，往往不能仅通过买一卖一完成交易。所以在本文，我们考虑

19、一种新的日内交易价差测度s N ( x | b ) ，该测度在给定目标成交额 N 的前提下，以tick 数据间的时间间隔来加权平均日内流动性价差。对于 s N ( x | b ) ，我们定义如下：Ns ( x | b ) c lo sej o p enc lo ses j t j 1 t j t j 1 t j j o p ent j 1 t j 是两个tick之间的时间差， s j 是第 j 个tick的买卖差价：jj P P Ps c 其中：jj 0j在这里 P （ P ）是t 时刻第k 个限价委托单的卖（买）价。平均中间价 P 0 的j , kj , kjj计算公式为： P P jP 0

20、 jj2数量Q 和Q 有如下定义：j , kj , k 在这里，Q 和Q 是第k个限价委托单的卖量和买量。目标成交量Q * 是目标成j , kj , kj交额除以平均中间价：在目标成交额较大时，可能会出现盘口挂单不能实现目标成交额的情况。这就是乘积因子c j 比1大的原因：比如，如果想要执行200万的订单，但是在这里交易的只有100万的订单，那么我们就需要将差价乘以2。注：在Lyxor的“ETF有效性指标”定义中，假设每年只有一次交易。如果每年有m次交易，该指标就变为：这个公式强调了流动性对于配置ETF的FOF基金经理的重要性。例如，一个积极调仓的经理（调仓频率很高）将仅仅对流动性风险感兴趣，

21、因为：lim ( x | b ) m s ( x | b )m 四效率指标在 A 股 ETF 中的实证各指标参数的估计方法Lyxor 给出了 6 种不同的跟踪误差综合项，根据跟踪误差是否服从正态分布分为两大类。首先我们给出这 6 个不同跟踪误差综合项下的效率指标：1 ( x | b ) ( x | b ) s( x | b ) 1 .6 5 ( x | b )22 ( x | b ) ( x | b ) s( x | b ) 1 .6 5 ( x | b )when = x | b 23 ( x | b ) ( x | b ) s( x | b ) 1 .6 5 ( x | b )when =

22、 0 ( x | b ) ( x | b ) s( x | b ) V a R ( x | b )4 ( x | b ) ( x | b ) s( x | b ) E S ( x | b )5 ( x | b ) ( x | b ) s( x | b ) C F ( x | b )6实际计算中我们发现各类算法差异不大，下面具体介绍和应用第一种算法： ( x | b ) ( x | b ) s( x | b ) 1 .6 5 ( x | b ) ( x | b ) ,s( x | b ) , ( x | b ) 为我们计算的历史时间段的估计统计量：1 / T t0 V ( x ) V(b ) 1

23、 / T t0 ( x | b ) T T V t0( x ) Vt0(b ) 1 Ts( x | b ) st ( x | b )n t t0 1 ( x | b ) T 1t R ( x ) T Rt ( b )n 1 t t 1n 1 t t 100252 T 2n 1 t t 1 Rt ( x ) Rt (b ) ( x | b ) 0 ( x | b ) 考虑到实际情况 ( x | b ) 需要年化处理。在这里V t ( x ) （或者Vt ( b ) ）是基金在时刻t 的净值，st ( x | b ) 是在时间t 买卖差价计算出的流动性指标，然后 R t ( x )（或者 R t

24、( b ) ）是基金的日回报率，定义如下：tR ( x ) Vt ( x )Vt 1 ( x )1 。A 股市场宽基 ETF 的效率指标计算A 股市场上有众多跟踪宽基指数的 ETF，这些 ETF 在超额收益、跟踪误差、场内流动性方面各有所长。这里我们选取跟踪上证 50、沪深 300、中证 500 和创业板指的 ETF 作为研究对象，利用效率指标综合评估他们的优势：图表 6：主流宽基 ETF指数跟踪 ETF数量场内流通份额中位数(亿份）过去一年日均成交额中位数（亿份）过去一年换手率中位数上证 5072.310.131074%沪深 300196.730.12541%中证 500182.170.08

25、419%创业板指141.960.08384%来源：wind,中泰证券研究所，截至 2020-10-31以跟踪创业板指的诸多ETF 为例，它们大多数成交活跃，换手率中位数在 384%左右。换句话说，这些ETF 每年交易次数超过 4 次（中位数意义下），那么流动性指标的影响将会放大 4 倍。而以往评价 ETF 的跟踪误差或信息比率指标都忽略了这一重要影响。我们计算了跟踪创业板指的 ETF 效率指标及其它传统指标，在评价结果方面存在较大差异（下图所示）：ETF效率指标跟踪误差信息比率图表 7：创业板指 ETF 效率指标和传统指标图表 8：创业板指 ETF 指标排名对比(bp)(bp)ETF1-131

26、301.6ETF2-1501182.1ETF3-163302.3ETF4-267591.1ETF5-485353.6ETF6-142544-0.9ETF7-314921033.8ETF8-95086772.1来源：wind，中泰证券研究所来源：wind,中泰证券研究所图表中选取的 ETF 满足上市超过一年，场内流通份额不少于 1 亿份。假设交易资金 N=500 万元，流动性指标使用 wind 提供的过去一个月抽样的盘口五档数据计算；超额收益、跟踪误差和信息比率使用过去一年的数据计算（截至 2020 年11 月 30 日）。由图表可见，效率指标能提供有别于传统指标的增量信息（流动性），而且本身就是很好的综合性评价指标。传统指标排名靠前的 E