基于空间连续尺寸场的动态均匀化方法

1、基于空间连续尺寸场的动态均匀化方法论文摘要：以均匀化理论为根底，将各向同性蜂窝状微孔结构作为材料描述方式，提出了基于空间连续尺寸场的动态均匀化方法,克服了动态优化中的局部模态现象。不同于将微孔结构尺寸变量依附于单元或节点，采用物质点对应的微孔尺寸作为设计变量，基于修正过滤公式的形函数，构造了空间连续的尺寸场，克服了棋盘格等数值不稳定性问题。基于复合函数求导法那么，推导了总刚度阵、总质量阵等敏度表达式。以动态结构响应量最小化或最大化为目标，体积比为约束，建立了动态结构拓扑优化模型，通过二维结构数值算例对理论方法进行验证。结果说明，方法在连续体结构动态拓扑优化设计中具有可行性和有效性。论文关键词：

2、拓扑优化,均匀化理论,连续体结构,频率优化,过滤函数引言近年来受结构静力拓扑优化开展的推动，结构动力拓扑优化研究方面取得了一定的进展。早期的动力学拓扑优化研究均采用了均匀化方法。Xie等提出的渐进式优化方法在此方面也有所应用。单元变密度方法在结构动态拓扑优化中存在着局部模态现象。它指在采用固体各向同性惩罚微结构(solidisotropicmicrostructureswithpenalization,SIMP)材料插值模型下，在低密度区出现的模态，而这些模态影响了优化收敛的稳定性。针对此问题，Pederson采用修正刚度阵将质量刚度比限制在一定范围内。朱继宏等将该现象归结为SIMP模型对空洞

3、区域刚度描述的不合理性，并采用口;型微结构取得了理想的优化结果。彭细荣等基于拓扑变量的独立性同时惩罚单元刚度阵与质量阵，从而防止局部模态现象。相对于结构固有频率拓扑优化问题，动响应拓扑优化的研究进展那么更为缓慢。Ma等最先建立了无阻尼结构谐响应下拓扑优化模型。针对周期鼓励下的拓扑优化问题，Jog提出一个动态柔顺度性能指标，该指标不仅适用于有阻尼结构，且优化模型具有减振降噪的作用。Du等以声压最小化为目标建立拓扑优化模型，讨论了不同鼓励频率下平板的拓扑优化结果。隋允康等推导了频率响应位移幅值敏度分析的伴随法，实现了该约束条件下的体积最小拓扑优化设计。大多数的拓扑优化结果普遍存在着棋盘格和网格依赖

4、性等数值不稳定性问题。以节点属性作为设计变量，通过构造空间连续变量场的方法从优化数学模型上来克服棋盘格现象。Matsui和Terada提出了节点均匀化法。与之类似，Rahmatalla等提出节点变密度法。Glaucio等提出了获得高分辨率拓扑优化结果的改良节点变密度法。Belytschko等基于构造空间连续设计变量场的思想提出了拓扑描述函数法。为克服局部模态现象，提出采用各向同性蜂窝状微结构作为材料描述模型；以物质点对应的微孔尺寸为设计变量，通过构造空间连续尺寸场消除各类数值不稳定性问题。最后通过二维动态拓扑优化数值算例考察方法的可行性和有效性。1复合材料的均匀化理论均匀化理论是通过引入微孔结

5、构来求解材料的宏观特性参数，寻求一种用宏观量来表达微观量变化特征的方法。设为一小量，代表微观尺度与宏观尺度度量之比，x和y分别为材料宏观和微观尺度量度，且。弹性常数表达为(1)依赖于宏观量x和微观量y，将其展开为的渐进式为(2)对于复合材料，将位移表达式代入到平衡方程中，即可得到均匀化弹性张量表达式为(3)即(4)在均匀化拓扑优化方法中，常见平面微孔结构包括矩形微孔结构和蜂窝微孔结构等。这里采用如图1所示的蜂窝微孔结构，此类微孔结构具有近似的各向同性性质，能够简化拓扑优化求解中微孔结构的空间方位角确定的问题。假设微孔结构尺寸参数为r，微孔结构相对密度与尺寸变量的关系为(5) 图1蜂窝微孔结构F

6、ig.1honeycombmicrostructure为了计算不同微孔尺寸下对应的材料特性，采用如图2所示的网格离散模型。根据式(4)可数值计算出不同的弹性常数。在此根底上，采用最小二乘法拟和得到材料特性曲线。设实心材料的弹性模量210GPa，泊松比0.3，密度7800kg/m，蜂窝微孔结构相对密度与弹性张量分量之间的关系如图3所示。图2蜂窝结构离散模型Fig.2FEmeshforthehoneycombcell图3密度与弹性常数间的关系Fig.3therelationshipbetweendensityandelasticityconstants引起局部模态的原因之一是在低密度区域单元质量刚

7、度比过大。在SIMP模型中，单元刚度阵和质量阵分别为，。其中p为惩罚因子，和分别为固有单元刚度阵和质量阵。由于仅对刚度惩罚，低密度单元质量大而刚度小，当单元密度趋于零的极端情况下，质量刚度比趋于无穷大。这里设惩罚因子p=3，当相对密度时，相对弹性质量与相对弹性模量的比值为。均匀化理论中的材料密度和弹性系数是一种真实;的物理关系。同样采用上述数据，各弹性系数相对值与密度的比值为，。由上述两种方法下的密度与弹性系数比值比照可知，均匀化法采用微结构替代了变密度法中假设函数关系，合理近似了空洞材料的刚度，使低密度区域的质量刚度比值保持在一定范围内，从而能自然防止局部模态现象。2空间连续尺寸场龙凯等指出

8、基于低次单元形函数构造了空间连续密度场的缺乏之处。首先，空间变量场连续而不光滑，无法完全抑制棋盘格现象和消除网格依赖性。其次，结构分析方法必须采用有限元法，节点变量数量和位置受到离散网格的限制。本文假设蜂窝微孔结构在连续介质中连续分布，微孔结构可以视为一种材料模式而非子结构。以蜂窝微结构的尺寸作为设计变量，单元内任意一点的尺寸变量r量插值得到，数学表达式为(6)式(6)中m为插值区域内尺寸变量的个数；是插值函数。如图4所示，设物质点j具有紧支域，基于过滤方式的插值形函数表达式为(7)其中(8)或(9)图4物质点j及其支持域Fig.4materialpointjanditssupportdoma

9、in式中，r为过滤半径，其定义具有网格无关性；dist(i,j)为物质点i和j间的距离。式(8)-(9)中过滤半径值对应结构制造加工最小尺寸和最小孔洞。物质点变量确定是其本身及其预定义领域的有无，方法可称为物质点均匀化法，物质点均匀化法不仅能抑制棋盘格现象，还能进一步克服拓扑优化结果存在着大量多孔结构的缺点。3空间连续尺寸场的结构响应量与敏度推导结构总刚度阵K、结构总质量阵M和结构总体积V表达式分别为(10)(11)(12)式中k，m和V分别表示单元刚度阵、单元质量阵和单元体积，M是单元总数。B是应变矩阵；D是弹性矩阵；N是插值矩阵。在连续体结构拓扑优化中，结构响应量如固有特征值的敏度表达式归

10、结为总刚度阵、总质量阵等的敏度表达式求解，根据复合函数链式求导法那么，总刚度阵、总质量阵和总体积的敏度表达式分别为(13)(14)(15)4拓扑优化建模与求解动态结构拓扑优化分为结构固有频率拓扑优化和动响应拓扑优化两类。结构固有频率拓扑优化通常以结构一阶特征值最大化为目标，体积比f为约束建立优化模型。在工程最常见的谐响应拓扑优化中，以区域内关心自由度振幅平方和最小化为目标，体积比f为约束建立优化模型。两类优化数学模型如式(16)(17)所示。(16)(17)式中是结构一阶特征值；V和V分别表示优化后和初始结构体积；是结构特征值列阵；是各阶模态向量组成的模态矩阵。设计变量下限用于防止有限元分析的

11、奇异性，这里取值。当设计变量值为1时，由式(15)可得体积敏度敏度为0，为了防止优化求解的奇异性，设计变量上限取值。在谐响应优化中，关心自由度振幅平方和，其中是复振幅u的共轭，L是关心自由度标识矩阵，当某自由度振幅为考察对象，矩阵L相应对角线元素值为1，其余元素为0；是激振圆频率；C是总阻尼阵；F是复载荷振幅列阵。第j阶特征值和关心自由度振幅平方和A的敏度表达式为(18)(19)式中是第j阶特征值位移向量，表示-;的实数局部，伴随向量满足伴随方程(20)设阻尼阵采用比例阻尼形式，阻尼系数和为常数，那么有(21)在每轮优化迭代中，采用启发式算法更新微孔尺寸变量值，数学表达式为，式中上标k表示优化

12、迭代步数，运动极限m(0m和阻尼系数用于保证优化迭代的稳健性，在动态拓扑优化问题中，是一种典型的取值。式中(22)其中F是目标函数；l是拉格朗日乘子，可通过满足体积函数二分法计算求得。优化迭代至尺寸变量相对变化率满足(23)5二维动态拓扑优化数值算例本节采用二维动态拓扑优化算例对提出的方法进行验证。鉴于高阶等参元有利于抑制棋盘格现象，为了检验算法的有效性，这里采用四节点平面应力单元离散结构。各算例在Matlab2007中编程实现，采用50%体积比约束建立拓扑优化模型。在优化迭代终止后，根据式(5)计算密度值，并采用阈值0.5进行结果输出。算例1如图5所示的短悬臂梁尺寸为3200mmx2000m

13、mx1mm，左端面全支撑，右端面中点处有一质量大小为100kg的集中质量点，仅计垂直方向的惯性。结构离散为48x30个矩形单元，拓扑优化模型以一阶固有特征值最大化为目标。当采用SIMP插值的单元变密度法进行优化，出现局部模态现象，导致优化迭代不收敛。当采用48x30个均匀和随机两种不同尺寸场描述拓扑结构时，本文方法分别优化迭代至50步和53步收敛，两种不同尺寸场分布下的最优拓扑结果如图6所示，一阶固有频率优化迭代历程如图7所示。当结构分别离散为32x20和64x40个矩形单元，最优拓扑结果如图8所示。图5短悬臂梁Fig.5shortcantileverbeam(a)均匀分布(b)随机分布图6不

14、同尺寸场分布下的拓扑优化结果比照Fig.6comparisonofoptimumtopologywithdifferentsizefield图7一阶固有频率优化迭代历程Fig.7Historycurveofthefirstorderfrequency(a)32x20(b)64x40图8不同离散网格和对应尺寸场下的拓扑优化结果比照Fig.8comparisonofoptimumtopologywithdifferentgirdandsizefield由结果可知，两种不同尺寸场分布下的拓扑优化结果均未出现类似棋盘格的散乱点现象。不同离散网格下的拓扑优化结果相似，且表达了网格无关性。算例2结构尺寸同

15、算例1，右端面中心处无集中质量点，右下角点受垂直向下载荷作用，载荷幅值为10kN，激振频率10Hz，比例阻尼系数，。拓扑优化模型以载荷作用点垂直方向振幅平方最小化为目标。当采用48x30个均匀和随机两种尺寸场时，分别优化迭代69步和77步收敛，两种不同尺寸场分布下的最优拓扑结果如图9所示。(a)均匀分布(b)随机分布图9不同尺寸场分布下的拓扑优化结果Fig.9comparisonofoptimumtopologywithdifferentsizefield6结论提出了基于空间连续尺寸场的连续体结构动态拓扑优化方法。方法基于均匀化理论，采用蜂窝状微孔结构作为材料描述方式的根底，其近似各向同性简化

16、了微孔结构方位角确实定问题。同时，合理的刚度描述防止了动态拓扑优化中局部模态现象。采用物质点对应的微孔尺寸为设计变量，构造了具有空间连续性的尺寸场，在拓扑数学描述中克服了棋盘格等数值不稳定性问题。基于复合函数链式求导法那么，推导了总刚度阵、总质量阵等敏度表达式。以动态结构响应量最小或最大化为目标，体积比为约束，建立了动态结构拓扑优化模型。通过二维结构数值算例验证了方法的可行性和有效性。参考文献DuJianbin,OlhoffNiels.Minimizationofsoundradiationfromvibratingbi-materialstructuresusingtopologyoptim

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