补充知识球坐标系下拉普拉斯方程的求解

1、补充知识四球坐标系下拉普拉斯方程的求解球坐标系下有：X=rsincos,Y=rsinsin,Z=rcos;可导出：Hr=1，H =r，H=rsin拉普拉斯方程具有如下形式：12u1 2 u1u A = u = r2 r rr + r2sin sin + r2sin2 2= 0采用分离变量法求解。首先把表示距离的变数r 与表示方向的变数 和分离，以u（r, , ）=R（r）Y（, ）代入12u1 2 u1ur + r2sin += 0r r2rsin r sin 222得Y112Y1 2 R11R r rr = Y sin sin Y sin2 2左边是 r 的函数，跟（, ）无关；右边是（,

2、）的函数，跟 r无关。要等式成立只有为同一个常数，设这个常数为 l（l+1）。于是有：d r2 dR l（l + 1）R = 0drdrY112Y1sin sin + Y sin2 2 +l（l + 1）Y = 0常微分方程d r2 dR l（l + 1）R = 0drdr是所谓的欧勒型常微分方程，它的解是Drl+1R(r) = Crl +偏微分方程Y112Y1sin sin + Y sin2 2 +l（l + 1）Y = 0称为球函数方程。进一步分离变数，Y, = （）（）代入得1 d2sin dd2d sin d +l(l + 1)sin = d2 = 对（）d2d2 + = 0和自然的周

3、期条件 + 2 = 本征值是 = m2，（m=0，1，2，3，）本征函数 = Acosm + Bsinm对常微分方程sin ddsin d+ l(l + 1)sin2 = dsinsin d+ l(l + 1)sin2 = 0dddm21ddsin d sin d +l(l + 1) sin2 = 0令x=cos，=arc cosx，dx = sin ,d = d dx = sin ddddx ddxm2d2) ddx (1 xdx +l(l + 1) 1 x2 = 0这叫l 阶缔合勒让德方程。如果球坐标的极轴是对称轴，则 u 与无关，m=0，上式退化为2) d2d(1 x 2x dx + l

4、(l + 1) = 0dx2叫做l 阶勒让德方程。取(x) = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 + +an xn +代入方程可得：(k l)(k + l + 1)=aak+2k(k + 2)(k + 1)K=0，1，2，3，(x) = c00(x) + c11(x)偶函数和奇函数（勒让德方程的两个线性独立的特解）的线性组合。在l 为整数的条件下，勒让德方程的两个线性独立的特解之一退化为l 次多项式，叫做 l 阶勒让德多项式，记作 Pl(x)。这就是本征函数。通常约定，用适当的常数乘本征函数，使得最高次幂项 xl 的系数(2l)!2l(l!)2a =l则(2l 2n

5、)!n! 2l 2l(l n)! (l 2n)!= (1)nal2n这样，勒让德多项式具体表达式为 l 或l122Pl(x) =k=0(2l 2k)!(1)k k! 2l 2l(l k)! (l 2k)! xl2k于是有：Pl(1) = 1, P0(x) = 1，P1(x) = x = cos,P2(x) = 1 (3x2 1) = 1 (3cos2 + 1)。24勒让德多项式还有微分表达式dl12)lPl(x)= 2ll! dxl(x 1勒让德多项式的正交关系+1Pk(x)Pl(x)dx = 01+1(k l)2Pl(x)Pl(x)dx = 2l + 11广义傅里叶级数f(x) = f1Pl (x)l=01(1 1)2l + 1()()fl = f1xPlxdx2f() = f1Pl (cos)l=012l + 1fl =1 f0()Pl(cos)sind2例：展开1 =r 1d12rcos +r21dBll= A r + P (cos)llrll=0考虑原点的有限性，Bl=0。当=0 时，有11 r= A rlP(1)lll=0同时，1= 1 + r + r2 + r3 + r4 + r5 +rn +1