我所认识的应力应变关系讲解

1、我所认识的应力应变关系应力应变都是物体受到外界载荷产生的响应。物体由于受到外界载荷后，在物体内部各部分之间要产生互相之间的力的作用，由于受到力的作用就会产生相应的变形；或者由于变形引起相应的力的作用。则一定材料的物体其产生的应力和应变也必然存在一定的关系。一应力-应变关系影响本构关系的因素有很多，例如材料、环境、加载类型（载荷、温度）、加载速度（动载荷、静载荷）等，当然，本构关系有很多类型，包括弹性、塑性、粘弹性、粘塑性、各向同性、各向异性本构关系，那么首先来叙述一下简单情况本构关系，所谓简单情况就是六个应力分量aaaTTT只有一个不为零，x、y、z、xy、yz、zx六个应变分量&YYY只有一

2、个自由变化，应力应变关系图1-1。图中OA为线弹性阶段，AB为非线弹性阶段，故OB为初始弹性阶段，C点位初始屈服点，（a）为初始屈服应力，CBA为弹性阶段卸载，这一阶段中a=E，s+初始弹性阶段结束之后，应力继续增大，进入塑性阶段，CDE为强化阶段，应变强化硬化，EF为颈缩阶段，应变弱化软化。如果在进入塑性阶段卸载后再加载,理想线弹性模型理想刚塑性模型例如在D点卸载至零，应力应变关系自D点沿DO到达O点，且DOOA,其中OO为塑性应变p，DG为弹性应变e，总应变为它们之和。此后再继续加载，应力应变关系沿ODEF变化，D点为后继屈服点，0D为后继弹性阶段，（b）为s+后继屈服应力，值得一提的是初

3、始屈服点只有一个，而后继屈服点有无数个（由加载历史决定）。若在卸除全部载荷后反向加载，弹性阶段coc，G）=G），s+s-而在强化阶段DOD，G）G），称为Bauschinger效应。s+s-从上述分析得出材料弹塑性行为有一定的特殊性，主要表现在：弹性应力应变关系是线性，且是单值对应关系，而塑性应力应变关系是非线性的非单值对应。因为通常情况下物体不仅仅处于简单应力状态，那么复杂应力状态下应力应变关系又如何呢？如果我们将材料性质理想化即假设材料是连续的、均匀的、各向同性的，忽略T、t的影响，忽略净水压力对塑性变形的影响，可以将应力应变关系归结为不同的类型，包括理想线弹性模型、理想刚塑性模型、线性

4、强化刚塑性模型、理想弹塑性模型、线性强化弹塑性模型、幂强化模型、等向强化模型、随动强化模型。各种材料的应力应变关系图如下图所示：线性强化刚塑性模型理想弹塑性模型线性强化弹塑性模型幂强化模型一线性弹性体线性弹性体本构方程的一般形式在单向应力状态下，理想弹性材料的应力和应变之间的关系很简单，即二Ew,即胡克定律。如果在三维应力状态下，应力应变之间仍然满足类似的xx一一对应的关系，则称这类弹性体为线弹性体。对线弹性体，把单向应力状态下得胡克定律推广到三维应力状态下。其一般形式为：Q:二C8+C8+C8+CY+CY+CYx11x12y13z14xy15yz16zxQ二C8+C8+C8+CY+CY+CY

5、y21x22y23z24xy25yz26zxQ二C8+C8+C8+CY+CY+CYz31x32y33z34xy35yz36zxT二C8+C8+C8+CY+CY+CYxy41x42y43z44xy45yz46zxT二C8+C8+C8+CY+CY+CYyz51x52y53z54xy55yz56zxT二C&+C&+C8+C丫+C丫+C丫（2-1）zx61x62y63z64xy65yz66zx式（2-1）可简写为二C8ijijklkl（2-2）由于应力张量和应变张量的对称性，弹性张量具有对称性：C=C、ijklijlkC=C，从弹性应变能密度函数的概念出发，可以证明上述36个常数中，ijkljikl实

6、际上独立的弹性常数只有21个，即C=C。ijklklij满足广义胡克定律的线弹性体称为各向异性弹性体，各向异性弹性体是线弹性体的最一般情况。各向同性弹性体的本构方程各向同性弹性体在弹性状态下，主应力方向与主应变方向重合容易证明。在主应变空间里，由于应变主轴与应力主轴重合，各向同性弹性体体内任意一点的应力和应变之间满足：Q二C8+C8+C8x11x12y13zQ二C8+C8+C8TOC o 1-5 h zy21x22y23zQ二C8+C8+C8（2-3）z31x32y33z8对Q的影响与8对b以及8对Q的影响是相同的，即有C=C=C;8xxyyzz112233y和8对b的影响相同，即C=C，同理

7、有C=C和C=C等，则可统一写为：zx121321233132C=C=C=a2233C=C=C=C=C=C=b（2-4）2113312332所以在主应变空间里，各向同性弹性体独立的弹性常数只有2个。在任意的坐标系中，同样可以证明弹性体独立的弹性参数只有2个。弹性应变能密度函数弹性体受外力作用后，不可避免地要产生变形，同时外力的势能也要产生变化。根据热力学的观点，外力所做的功，一部分将转化为弹性体的动能，一部分将转化为内能；同时，在物体变形过程中，它的温度也将发生变化，或者从外界吸收热量，或者向外界发散热量。分析弹性体内任一有限部分刀的外力功和内能的变化关系，设弹性体内取出部分工的闭合表面为S,

8、它所包围的体积为V。以5W表示外力由于微小位移增量在取出部分工上所作的功，5U表示在该微小变形过程中取出部分工的内能增量，5K表示动能增量，5Q表示热量的变化（表示为功的单位），根据热力学第一定律，则有5W=SK+6U-SQ（2-5）假设弹性体的变形过程是绝热的，即假设在变形过程中系统没有热量的得失。再假设弹性体在外力作用下的变形过程是一个缓慢的过程，在这个过程中，荷载施加得足够慢，弹性体随时处于平衡状态，而且动能变化可以忽略不计（这样的加载过程称为准静态加载过程），则根据上式表示的热力学第一定律，外力在变形过程中所做的功将全部转化为内能储存在弹性体内部。这种贮存在弹性体内部的能量是因变形而获

9、得的，称之为弹性变形能或弹性应变能。由于弹性变形是一个没有能量耗散的可逆过程，所以，卸载后，弹性应变能将全部释放出来。以X,Y,Z表示单位体积的外力，X,Y,Z表示作用在弹性体内取出部分工表面上单位面积的内力。对上述的准静态加载过程，认为弹性体在外力作用下始终处于平衡状态。外力所做的功W包含两个部分：一部分是体力X,Y,Z所做的功W；另一部分是面力X,Y,Z所做的功W，它们分别为12XudV二Xu+Yv+Zw)dViiff)X缶Xu+Yv+Zw)dSiiTOC o 1-5 h zSS则：WW+W12Xu+Yv+Zw)dV+缶Xu+Yv+Zw)dSVS外力由于微小位移增量在取出部分工上所做的功5

10、W表示为:SW5W+5WX5udV+阪5udS2-6)2-7)2-8)2-9)12iiii将平衡微分方程和静力边界条件代入上式，利用散度定理可得：SW=B!(ySu)dV+血6u)ldSij,jijijVS2-10)=B!(-QSu)dV+ftQSu),dV=fffQSudVij,jiijijiji,jVSV因为QSs=1QS(u+u)=oSu，所以内能增量SU为:ijij2iji,jj,iiji,jSU=SW=fffQSudV=fffQSsdV(2-11)iji,jijijVV定义函数以寫)，使之满足格林公式:2-12)TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark20

11、 o Current Document dU(s)0j=Q HYPERLINK l bookmark22 o Current Document dsijij把它代入(2-11)有：SU=fffQSsdV=SUdV=sBJUdV(2-13) HYPERLINK l bookmark24 o Current Document jjd&j00VVijVVU(s)表示单位体积的弹性应变能，称之为弹性应变能密度函数(或弹性应0ij变比能函)，简称应变能。对(2-12)取积分，得fUo(sj)dU=fsjQds=U(s)-U(0)(2-14)000ijij0ij0假如U(s)的具体函数形式能够确定的话，弹

12、性体的应力与应变之间的关系0ij也就完全确定了。这可表明，弹性应变能密度函数是弹性材料本构关系的另一种表达形式。假设U0(sj)对sj有二介以上的连续偏导数，有式(2-12)可得2-15)TOC o 1-5 h zij=k-3sQsklij式(2-15)为广义格林公式。将式(2-2)代入广义格林公式得：2-16)QgQgj=C=ki=CQsklijQsijklklij即各向异性弹性体独立的弹性常数只有21个。三屈服条件研究材料的塑性特性时，首先要弄清楚材料什么时候进入塑性变形阶段，即什么时候达到屈服。固体在载荷作用下，最初处于弹性状态，随着载荷逐步增加至一定程度使固体内应力较大的部位出现塑性变

13、形，固体由初始弹性状态进入塑性状态的过程就是初始屈服。需要找到确定材料初始弹性状态的界限的准则，这个准则就称为初始屈服条件，简称屈服条件。1.屈服函数与屈服曲面在简单应力状态下，如前面所述的应力应变关系曲线可知，当固体内部应力达到初始屈服极限时将产生初始屈服。在复杂应力状态下，一般屈服条件可以表示为应力分量、应变分量、时间t和温度T的函数，它可写成：f(g,s,t,T)二0(3-1)ijij不考虑时间效应和接近常温的情况下，时间t和温度T对塑性状态没什么影响，在初始屈服之前，应力和应变之间具有一一对应关系，所以应变分量s可ij以用应力分量g表示，因此屈服条件就仅仅是应力分量的函数了，它可表示为

14、:ijf(g)二0(3-2)ij以应力张量的六个分量为坐标轴，就建立起一个六维应力空间，屈服函数f（b）二0表示应力空间中的一个曲面，即屈服曲面（简称屈服面）。当应力点bijij位于该曲面之内时（即f（b）0）,材料处于弹性状态；当应力点位于此曲面上ij时（即f（b）二0），材料由初始弹性开始屈服；如果应力进一步增加，材料进入ij塑性状态。假设：1）材料是初始各向同性的。屈服函数与坐标的选取无关，它可写成应力张量不变量的函数TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark34 o Current Document f（/,/,/）二0（3-3）123或写成主应力的函数 HY

15、PERLINK l bookmark36 o Current Document f（b,b,b）二0（3-4）1232）平均应力（静水应力）不影响塑性状态。屈服函数只应与应力偏量的不变量有关，即 HYPERLINK l bookmark38 o Current Document f（J,J）二0（3-5）23或者写成只是应力偏量主值的函数 HYPERLINK l bookmark40 o Current Document f（S,S,S）二0（3-6）123这个假设对金属材料成立，但对于一些非金属材料，如混凝土、岩石等则不成立。通过第一个假设，屈服面由六维空间中的一个超曲面简化为三维主应力空间

16、中的一个曲面；通过第二个假设，屈服面简化为一条曲线。在主应力空间中，固体一点的应力状态可以用一个矢量0P来描述(图3-5),矢量0P可写为:TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark42 o Current Document OP=gi+cj+ck(3-7)123分解成为偏量部分与球量部分有： HYPERLINK l bookmark44 o Current Document OP=Si+Sj+Sk+(bi+cj+qk)=OQ+ON(3-8)123mmm有上述第二个假定，0N与材料的塑性状态无关。从几何上看0N与2，Q3轴的夹角相等，且正交于过原点的一个平面，这个平面

17、的方程为：(3-9)q+q+q二0123这个平面平均应力等于0,习惯称之为“平面。根据第二个假定，在主应力空间中，屈服面必定是一个垂直与兀平面的等截面的柱面，它的母线与矢量0N平行。屈服面是一个等截面的柱面，它在任意垂直与0N的平面上的投影曲线都是一样的，研究这个柱面的特征，只要研究它在兀平面上的投影曲线即可，这条投影曲线称为屈服曲线。图3-5主应力里面的屈服面图3-6n平面的上的屈服曲线2.常用屈服条件(1)Tresca屈服条件1864年，法国人Tresca做了一系列的金属挤压试验来研究屈服条件。根据实验，他提出假设：当最大剪应力达到某一极限值时，材料发生屈服。这个条件称为Tresca屈服条

18、件，也称为最大剪应力条件。t二k(3-10)maxk是和屈服有关的材料常数，可由单向拉伸实验或纯剪切实验确定。(2)Mises屈服条件Tresca屈服条件在“平面上的几何图形是一个正六边形，它的六个顶点是由试验得到的，但是连接这六个点得直线却是假设的，而且Tresca正六边形的角点也给问题的数学处理带来了不便。在1913年，Mises提出采用一个圆来连接Tresca正六边形的六个顶点可能更加合理，它可以避免由于屈服曲线不光滑而造成的数学困难。Mises提出的屈服条件为：J二C(3-11)2其中，C也是和材料性质有关的一个常数。它可通过实验确定。若做简单拉伸实验，则材料屈服时有=Q=0,J=O2

19、=C，所以：1s233sC=-q2(3-12)3s若做纯剪实验，则材料屈服时有1=_G2=Ts3=，J2=TI=C，所以C=t2(3-13)s对大多数材料，实验证明Mises屈服条件比Tresca屈服条件更接近实验结果。四加载条件加载和卸载准则1理想塑性材料加载和卸载由于理想塑性材料的加载面和屈服面总是保持一致，所以，加载函数和屈服函数可以统一表示为：f（b,k）二0ij它们均与塑性变形的大小和加载历史无关。于是，在荷载改变的过程中，如果应力点保持在屈服面上，即df=O,此时塑性变形可以任意增长，就称为加载。当应力点从屈服面上退回屈服面内，即dfvO,就表示变形状态从塑性变为弹性,此时不产生新的塑性变形，称为卸载。理想塑性材料的上述加载和卸载准则，可以用数学形式表示为f（a）0（弹性状态）ijfQj）二0妙二化+伽刀-化）二眾0（加载）ijfQ）二0df=fQ+