三重积分及其计算和多重积分

1、il三重积分和多重积分方法在第三节中我们讨论了二重积分，本节将之推广到一般的n维空间中去.类似于第三节，我们先定义一个R3中集合的可求体积性.同样可以给出一列类似的结论.读者自己推广.这里将不再赘述.、引例设一个物体在空间R3中占领了一个有界可求体积的区域V，它的点密度为f(x,y,z),现在要求这个物体的质量.假设密度函数是有界的连续函数，可以将区域V分割为若干个可求体积的小区域V,V，,V，其体积分别是，V,V,.,V，直径分别是d,d，,d,12n12n12n即dsuplWQIIW,QeV,(i=l,2,，n),IWQI表示W,Q两点的距离.设二maxd,d,.,d，则当很小时，f(x,

2、y,z)在V上的变化也很小.可以用这个小l2ni区域上的任意一点(x,y,z)的密度f(x,y,z)来近似整个小区域上的密度，这样我们可iiiiii以求得这个小的立体的质量近似为f(x,y,z)，V，所有这样的小的立体的质量之和即为iiii这个物体的质量的一个近似值.即mu工f(x,y,zky.当T0时，这个和式的极限存在，就是物体的质量.即MlimtO从上面的讨论可以看出，整个求质量的过程和求曲顶柱体的体积是类似的，都是先分割，再求和，最后取极限.所以我们也可以得到下面一类积分.二、三重积分的定义设f(x,y,z)是空间R3中的一个有界可求体积的闭区域V上的有界函数，将V任意分割为若干个可求

3、体积的小闭区域V,V，,V，这个分割也称为V的分划，记为P：V,V，,V.l2nl2nVocVoO(空，ij),其体积分别是，V,V,.,V，直径分别是d,d，,d.设ijl2nl2n二maxd,d,.,d,或记为IIPII.在每个小区域中任意取一点(x,y,z)eV，作和l2niiiiXf(x,y,ziV(称为Riemann和)，若当0时，这个和式的极限存在，则称其极限为函数fC,y,z)在区域v上的三重积分，记为,f(x,y,zbv.并称函数f(x,y,z)在区域V上可积.f(x,y,z)称为被积函数,x,y,z称为积分变量V称为积分区域.特别地，在直角坐标系下，可以记为HIf(x,y,z

4、)dxdydz.V我们同样可以引入Darboux大,小和来判别可积,也有同样的结论(略).1.若f(x,y,z)是有界闭区域V上的连续函数，则函数f(x,y,z)在区域V上可积.2.若f(x,y,z)=l时，Bldxdydz二V的体积.V3.若f(x,y,z)在有界闭区域V上的间断点集合是0体积时，f(x,y,z)在V可积.三重积分有着与二重积分类似的性质下面简单叙述一下1.2.可积函数的和(或差)及积仍可积.和(差)的积分等于积分的和(差)可积函数的函数k倍仍可积.其积分等于该函数积分的k倍.3.设是可求体积的有界闭区域，fCy,z)在上可积，分为两个无共同内点的可求体积的闭区域,之并，则f

5、(x,y,z)在,上可积，并有1212HIf(x,y,z)dV=1,1f(x,y,z)dV+HIf(x,y,z)dV.等等.、三重积分的计算方法同二重积分一样,我们这里给出三重积分的计算方法,理论上的证明读者自己完成.1.利用直角坐标系计算三重积分先给一个结论.定理12.14若函数f(x,y,z)是长方体V=a,bxc,dxe,h上的可积，记D=c,dxe,h对任意xCa,b,二重积分I(x)=f(x,y,z)dydzdx(记为,dx,f(x,y,z)dydz)存在，贝I,I(x)dx=,f(x,y,zl/ydzaDaD也存在,且,f(x,y,z)dV二,dx,f(x,y,z)dydz二,dx

6、,dy,f(x,y,z)dz.aDace这时右边称为三次积分或累次积分,即三重积分化为三次积分.证明分别中a,bc,de,h插入若干个分点a二xxxx二b；012ncyyy012yd；mezzz012zhs作平面xx,yy,zZ,(i=0,l,2,n;,ji=0,l,2,m;k=0,l,2,s,)得到V的一个分ijk划P.令vx,xXy,yxz,Z,(i=1,2,n;,ji=1,2,m;k=1,2,s,),ijki-1ij-1jk-1kmAyAzijkjkJ!f&iM,m分别是fx,y,z)在v上的上，下确界.那么在D=y,yxz,z上有ijkijkijkjkj，1jk，1k,y,z)dydz

7、MAyAzijkjkjk其中Ax.,=xi-xi-1,A厂=yj-yj_1,Azk,=zk-zk-1,(i=1,2,n;,ji=1,2,m;k=1,2,s,).工J!f(g.,y,z)dydz二J!f(giiij,kDDjk工I(g)Axii工mAxAyAzijkijki,j,ki1工MAxAyAzijkijki,j,k若函数fx,y,z）在v上的可积，那么JJJfx,y,z)dVJdzJJfx,y,z)dxdyeDz面给出一般三重积分的具体计算方法，理论证明读者可参照二重积分自己完成设函1数f(x，y,z)在有界闭区域上连将它在区间zCx,y),z(x,y)|上积分得到12J*z2Cx，y)

8、f(x,y,z)dz.ZG,y)显然这个结果是X,y的函数，再把这个结果在平面区域D上做二重积分xyDxy面给出一般三重积分的具体计算方法，理论证明读者可参照二重积分自己完成设函1面给出一般三重积分的具体计算方法，理论证明读者可参照二重积分自己完成设函1在利用二重积分的计算公式便可以得到所要的结果.若平面区域D可以用不等式xyaxb,y(x)yy(x)表示,2面给出一般三重积分的具体计算方法，理论证明读者可参照二重积分自己完成设函1面给出一般三重积分的具体计算方法，理论证明读者可参照二重积分自己完成设函1ffff(x,y,z)dVJdxJy2(x,dyjz2(x,y,f(x,y,z)dz.ay

9、i(X，也,y，这个公式也将三重积分化为了三次积分.如果积分区域是其他的情形，可以用类似的方法计算例1计算三重积分xdV,其中Q是由三个坐标面和平面x+y+z，1所围的立体区域解积分区域如图所示，可以用不等式表示为0 x1,0y1一x,0z1一x一y，所以积分可以化为xdV，J1dxj1-xdy1_xyxdz000，J1dxj1-xx(L-x-yby00=J1丄xG-x)2dx02111，一x4一x3+x2834,124四、三重积分的积分变换和二重积分的积分变换一样定理12.15设V是uvw空间R3中的有界可求体积的闭区域，T：z=z(u,v,w)，是V到xyz空间R3中的映射，它们有一阶连续

10、偏导数,有如下的结果:x=x(u,v,w),y=y(u,v,w),并且Q(x,y,z),dxdudydxdzdyd(u,v,w)dudzdzdzdudz如果f(x,y,z)是T(V)上的可积函数，那么丰0,(u,v,w)eV(称为Jacobi).T(V)f(x,y,z)dxdydz，f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)Xy,Zdudvdwd(u,v,w)在R3中有两种重要的变换柱面坐标和球面坐标.1.利用柱面坐标计算三重积分前面我们可以看到，由于积分区域与被积函数的特点，二重积分可以用极坐标来计算同样对于三重积分可以用柱面坐标和球面坐标计算我们先讨论用柱面坐标来计算三重积分

11、设空间中有一点M(x,y,z)，其在坐标面xoy上的投影点M的极坐标为(r,)，这样三个数z,r,就称为点M的柱面坐标(如图12-4-4).0r+1Z1zn/0/V/12-4-4M，092兀,z+注意到，当r=常数时，表示以z轴为中心轴的一个柱面.当9=常数时，表示通过z轴，与平面xoy的夹角为9的半平面.当z=常数时，表示平行于平面xoy,与平面xoy距离为z的平面.空间的点的直角坐标与柱面坐标之间的关系，即是R3到R3的映射：x=rcos9，y=rsin9.z=z9srsin9所以其Jacobi为(X,y,z)(r，9,z)sin9rco9s故容易得到：如果fx,y,z)是R3中的有界可求

12、体积的闭区域V上的可积函数，则Jf(x,y,z)dVf(rcos9,rsin9,z)rdrd9dz,VV其中，变换前后区域都用V表示.我们也可以从几何直观的意义来描述这个公式的由来.用三组坐标面r=C,9=C,z=C将积分区域划分为若干个小区域，考虑其中有代113表性的区域，如图12-4-5所示的区域可以看成是由底面圆半径为r和r+dr两个圆柱面，极角为9和9+d9的两个半平面，以及高度为z和z+dz的两个平面所围成的.它可以近似的看作一个柱体，其底面的面积为rdrd9，高为dz.所以其体积为柱面坐标下的体积元素，即dV=rdrd9dz.再利用两种坐标系之间的关系，可以得到,f(x,y,z)d

13、V-,f(rcos,rsin,z)rdrddzVV在柱面坐标下的三重积分的计算也是化为三次积分.(、例2计算三重积分JJJx2+y2力V,其中是由椭圆抛物面z二4x2+y2加平面z二4所围成的区域.解如图所示，积分区域在坐标面xoy上的投影是以=)r1,02兀,4r2z4.于是BlC+y2V=,r2rdrddz=J2Kd,r2rdr,dz4d,4r34r5)dr=-兀0032利用球面坐标计算三重积分我们知道球面坐标用数厂,申来表示空间的一个点.M(x,y,z),点M在坐标面xoy上的投影M,其中r=1OMI,为x轴到射线OM转角.P为向量OM与z轴的夹角如图12-4-7规定三个变量的变化范围是

14、0r+02兀.0甲兀我们可以看到,注意到，当r=常数时，表示以原点为球心的球面.当=常数时，表示通过z轴的半平面.当9=常数时，表示以原点为顶点，z轴为中心的锥面.两种坐标系之间的关系如下：x=rsin9cosy=rsin9sin.z=rcos9sin9cos(兀y二)=sin9sincos9rcos9sin一rsin9sinrcos9cosrsin9cos=r2sin9,一rsin90即又是一个即是R3到R3的映射.它的Jacobi是由一般的重积分变换公式容易得到:如果f(R3中的有界可求体积的闭区域V上的可积函数，则几z)dV=,f(rsincos,rsinsin,rcos)r2sinVV

15、其中，变换前后区域都用V表示.用几何直观的意义可以如下理解：已知fx,y,z)闭区域V上的可积函数.用三组坐标r=常数，二常数，二常数，将积分区域V划分为若干个小的区域.考虑其中有代表性的区域，此小区域可以看成是有半径为r和r+dr的球面，极角为和+d的半平面，与中心轴夹角为和9+d的锥面所围成，它可以近似的看作边长分别是dr,rd,rsin9d的小长方体，从而得到球面坐标系下的体积元素为dV二r2sindrdd.再由直角坐标系与球面坐标之间的关系，可以得到下面的公式,f(x,y,z)dV二川f(rsincos,rsinsin,rcos丄2sindrdd.VV例3计算三重积分fff(x2+y2

16、1/V,其中Q是右半球面x2+y2+z20所围成的区域解在球面坐标下，积分区域可以表示为0二0ra,0K,09所以+y2vr2sin29r2sin9drdd9d,nd,ar4sin39dr000=,nd,n00兀-5a5cos-1/sin3r5d01_COS334=na5150与二重积分,三重积分一样可以定义一般n重积分我们这里只是简单介绍.当V是Rn中的有界闭区域.依照可求面积的方法定义V的可求“体积”或可测(略).设fX,x2”，xn，)是Rn中的有界可测闭区域V上的函数，任取V的分划P,即把分成若干个可测小区域V,V,V,它们的”体积”或测度分别记为V,V,V,当令12m12md二sup

17、QQIIQ,Q,V,IQQI表示两点的距离,i1212i12IIPImax/,d，,d，对任取(x(i),x,x(i),V,(i=1,2,m),如果12m12nilim(i),x(i)V.存在，称f(x1，IIPIITO.,1当V是有界可测区域，fx,x2，,xn，)在T(V)上可积，并且Jacobin1i=1x2，,，xn，)是V上的可积函数其极限值称为f(x,x，,x)dxdxdx.12n12nf(x1，x2，,xn，)在V上的n重积分，记为戸f(x,x,x)dV12nnna1V特别当V=a,b1xa2，b2x.xan,bn时，f(x,x，,x)dxdx.dx12=fdxfdxff(x,x

18、,x)dx.1212nnaa2nx1x2若V上有一一映射T=x(u,u，,u)12n=x(u,u，,u)12n，其每个分量的函数有连续偏导数，n1=x(u,u，,u)2nd(x,x，,x)12n=d(u,u，,u)12ndx1du21dudxndu1dxdudu2dxdu2dx1dundx2dun丰O,(u,u，,u),V12ndxndun那么方f(xdxdx12dxnT(V)=fff(x(u,u，,u112),x(u,u，u),x212n(u,u，,u)12nVd(x,x，x)12ndududud(u,u，u)12n12n特别是Rn中的球坐标变换T:x二rcos,x二rsincos,x二rs

19、insincos112123123,TOC o 1-5 h zx二rsinsinsinsincos,n，1123n，2n，1x二rsinsinsinsinsin,n123n，2n，1这时的Jacobi是123n-2n，1axaxax11araad(x,x，,x)axaxn，1ax222=rn，1sinn2sinn3sin12n，212n=ar。1an，1a(r,，,)1n，1axaxaxnarna1nan，1在rn中，0rv,0,，兀,0同样可以得到相应的公式.例4求dxdxdx.12nJJdxdx-dx12nx2+x2+x2R212nRn二fdrfd-Jdfrn，1sinn-2sinn，3sind-12n，2n，1n一200Ppp2兀nn，2n，31其中psinkxdx,k二1,2,.从而有dxdx-dx12nR2m兀mm!x2+x22+x2R22R2m+1(2m+1