2022-2023学年人教A版必修第一册 第三章 3.4函数的应用（一） 学案

1、第三章 函数的概念与性质3.4函数的应用(一)素养导引1.理解函数是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具(数学抽象)2.通过实例理解用函数构建数学模型的基本过程(数学建模)学习任务一利用函数模型解决实际问题(数学建模)1(多选题)(2022金华高一检测)通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述所用的时间若用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)越大，表示学生的接受能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，长期的实验和分析表明，f(x)与x有以下关系：f(x) eq blc(avs4alco1(0.1x22.6x43，0 x1

2、0，,59，10 x16，,3x107，16x30，) 则下列说法正确的是()A讲授开始时，学生的兴趣递增；中间有段时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散B讲课开始后第5 min比讲课开始后第20 min，学生的接受能力更强一点C讲课开始后第10 min到第16 min，学生的接受能力最强D需要13 min讲解的复杂问题，老师可以在学生的注意力至少达到55以上的情况下完成【解析】选ABC.由题意，f(x) eq blc(avs4alco1(0.1x22.6x43，0 x10，,59，10 x16，,3x107，16x30，) 当0 x10时，f(x)0.1x22.6x430

3、.1(x13)259.9，故函数f(x)在(0，10上单调递增，最大值为f(10)59；当10 x16时，f(x)59，故f(x)为常数函数；当16x30时，f(x)3x107，故f(x)单调递减，所以f(x)f(16)59.则讲授开始时，学生的兴趣递增；中间有段时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散故选项A正确因为f(5)0.1(513)259.953.5，f(20)3201074753.5，所以讲课开始后第5 min比讲课开始后第20 min，学生的接受能力更强一点，故选项B正确由选项A的分析可知，讲课开始后第10 min到第16 min，学生的接受能力最强，故选项C正

4、确当0 x10时，令f(x)55，则0.1(x13)24.9，所以(x13)249，解得x20或x6.又0 x10，故x6.当16x30时，令f(x)55，则3x10755，解得x17 eq f(1,3) .因此，学生达到(或超过)55的接受能力的时间为17 eq f(1,3) 611 eq f(1,3) 13.所以需要13 min讲解的复杂问题，老师不可以在学生的注意力至少达到55以上的情况下完成，故选项D错误2某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位产品，成本就增加1万元，又知总收入R是单位产量Q的函数：R(Q)4Q eq f(1,200) Q2，那么总利润L(Q)

5、的最大值是_万元，这时产品的产量为_(总利润总收入成本)【解析】L(Q)4Q eq f(1,200) Q2(200Q) eq f(1,200) (Q300)2250，则当Q300时，总利润L(Q)取最大值250万元答案：250300利用函数模型解决实际问题(1)分析函数类型，一般常见的函数模型有一次函数、二次函数、幂函数等，根据不同函数的性质解题；(2)常见的解决问题的方法有通过解不等式求范围，利用单调性、配方法求最值学习任务二建立函数模型解决实际问题(数学建模)【典例】某种物资实行阶梯价格制度，具体见表：阶梯年用量(千克)价格(元/千克)第一阶梯不超过10的部分6第二阶梯超过10而不超过20

6、的部分8第三阶梯超过20的部分10则一户居民使用该物资的年花费y元关于年用量x千克的函数关系式为_；若某居民使用该物资的年花费为100元，则该户居民的年用量为_千克【解析】(1)当0 x10时，y6x；当10 x20时，y6108(x10)8x20；当x20时，y61081010(x20)10 x60.所以函数的解析式为y eq blc(avs4alco1(6x，0 x10，,8x20，10 x20，,10 x60，x20.) (2)通过分析函数的解析式可得，只有8x20100，解得x15.故该户居民的年用量为15千克答案：y eq blc(avs4alco1(6x，0 x10，,8x20，1

7、0 x20，,10 x60，x20) 15建立函数模型解决实际问题(1)理解题意，设出未知量，结合未知量的实际意义，确定未知量的范围；(2)根据题意求解析式，或设出解析式，利用待定系数法求出解析式；(3)如果是分段函数，那么根据每一段上函数的类型求解析式如图所示，某学校要在长为8米、宽为6米的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为x米，中间植草坪则草坪的面积为_，为了美观，要求草坪的面积大于矩形土地面积的一半，则x的取值范围为_【解析】花卉带的宽度为x米(0 x3)，则中间草坪的长为(82x)米，宽为(62x)米根据题意可得，(82x)(62x) eq f(1,2) 8

8、6，整理得x27x60，即(x6)(x1)0.解得0 x1或x6.x6不符合题意，舍去故所求花卉带宽度的范围为(0，1).答案：(82x)(62x)(0，1)【补偿训练】 某果蔬批发市场批发某种水果，不少于100千克时，批发价为每千克2.5元小王携带现金3 000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进如果购买的水果为x千克，小王付款后剩余现金为y元，那么x与y之间的函数关系为_；x的取值范围是_【解析】由题意可得x与y之间的函数关系为y3 0002.5x.由题意可知，最少买100千克，最多买 eq f(3 000,2.5) 1 200(千克)，所以x的取值范围为100，1 200.答案：y3

9、0002.5x100，1 200学习任务三函数模型的综合应用(数学建模)【典例】(2022重庆高一检测)某企业自主开发出一款新产品A，计划在2022年正式投入生产，已知A产品的前期研发总花费为50 000元，该企业每年最多可生产4万件A产品通过市场分析知，在2022年该企业每生产x(千件)A产品，需另投入生产成本R(x)(千元)，且R(x) eq blc(avs4alco1(f(1,2)x260 x，0 x10，,70 xf(1 800,x)230，10 x40.) (1)求该企业生产一件A产品的平均成本p(元)关于x的函数关系式，并求平均成本p的最小值；(总成本研发成本生产成本)(2)该企业

10、欲使生产一件A产品的平均成本p66元，求其年生产量x(千件)的取值区间【解题思维】观察函数的解析式；求最小值；求取值区间联想分段函数、二次函数；配方法、基本不等式法；解不等式求范围转化利用配方、基本不等式求最值；解相应的一元二次不等式求范围【解析】(1)由题意知生产x千件的总成本为(R(x)50)千元，故一件的平均成本为 eq f(R（x）50,x) 元所以p(x) eq blc(avs4alco1(f(1,2)x60f(50,x)，0 x10，,70f(1 800,x2)f(180,x)，10 x40.) 当x(0，10时，p(x) eq f(1,2) x60 eq f(50,x) eq f

11、(1,2) (x eq f(100,x) )60 eq f(1,2) 2 eq r(xf(100,x) 6070，当且仅当x eq f(100,x) ，即x10时，等号成立故最小值为p(10)70.当x(10，40时，p(x)1 800( eq f(1,x) eq f(1,20) )265.5，故最小值为p(20)65.5.因为65.570，所以生产一件A产品的平均成本最低为65.5元(2)由(1)知，要使p(x)66，只需考虑x(10，40，即70 eq f(1 800,x2) eq f(180,x) 66.整理得x245x4500，解得15x30.所以，当x15，30时，生产一件A产品的平

12、均成本不超过66元关于函数模型的综合应用解决此类问题往往涉及分段函数等几类函数模型，多种运算方法，如基本不等式法熟练掌握这些知识是解决问题的关键某跨国公司决定将某种智能产品大量投放中国市场，已知该产品年固定研发成本为30万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入为G(x)万元，G(x) eq blc(avs4alco1(2503x，0 x25，,80f(3 000,x)f(9 000,x2)，x25.) (1)写出年利润S(万元)关于年产量x(万台)的函数解析式；(利润销售收入成本)(2)当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？求出最大利润【解析】(1)年利润SxG(x)3090 x eq blc(avs4alco1(3x2160 x30，0 x25，,10 xf(9 000,x)2 970，x25.) (2)当0 x25时，S3x2160 x303(x eq f(80,3) )2 eq f(6 310,3) ，所以S在(0，25上单调递增，所以Smax325216025302 095；当x25时，S10 x eq