圆锥曲线的极坐标方程焦半径公式焦点弦公式修订版

1、圆锥曲线4mpany number ： WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998圆锥曲线的极坐标方程极坐标处理二次曲线问题教案知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点（焦点）的距 离和一条定直线（准线）的距离的比等于常数e的点的轨迹.以椭圆的左焦点（双曲线的右焦点、抛物线的焦点）为极点，过点F作相应准线 的垂线，垂足为K,以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系.椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：p =之一.1 -ecosd其中P是定点F到定直线的距离，p0.当OVeVl时，方程表示椭圆；当el时，方程表示双曲线，若P0,方程只表示双曲线右支，若允许PV

2、0,方程就表示整个双曲线；当 e=l 时，方程表示开 口向右的抛物线.引论若P =1+GCOS，则OVeVl当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆当e=l时时，方程表示开口向左的抛物线 当el方程表示极点在左焦点上的双曲线(2 )若夕=ep1-esind当OVeVl时，方程表示极点在下焦点的椭圆当e=l时，方程表示开口向上的抛物线当el时!方程表示极点在上焦点的双曲线(3) p=乎i+esin0当0l时!方程表示极点在下焦点的双曲线例题选编(1)二次曲线基本量之间的互求例1.确定方程夕=一 表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。5-3cos3 109- X 解法一p = T = 5； 31 一二 co

3、s。 1 一二 cos。55解法二：根据极坐标的定义，对右顶点对应点的极角为0,因此只需令6 = 0, 右顶点的极径，同理可得左顶点的的极径。根据左右顶点极径之和等于长 轴长，便可以求出长轴。点睛，解法一采用待定系数法比较常规，解法二利用极坐标的定义，简洁而有 力，充分体现了极坐标处理问题的优势。下面的弦长问题的解决使极坐标 处理的优势显的淋漓尽致。(2)圆锥曲线弦长问题若圆锥曲线的弦MN经过焦点F,1、椭圆中，p = - -c = , MN=- + -厂，r-.c c1 -ecos。l-ccos(/r-。)eV -c- cos 02、双曲线中，(注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解

4、。)若M、N在双曲线同一支上，|MN| = +电_=、2加;1 - ecos l-ecos3 - 8) - Leos-。若M、N在双曲线不同支上，卜一丁“QP +ecosO -ecos0 ccos8-。-3、抛物线中，|MN| = m + 1 - = - 1 一cos。 1 -cos(/r-6) sin- 027例I过双曲线t-J = l的右焦点，引倾斜角为的直线，交双曲线与A、B两 4 53点，求I AB I解：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系 5即得 =所以A(若),8(0/ +勺又由 AB =1 + p21 TOC o 1-5 h z ,55, 80彳日 =11=2-3cos

5、 2-3cos( + ) 33注释：求椭圆和抛扬线过焦点的弦后时，无需对v加绝对值，但求双曲线的 弦长时，一定要加绝对值，这是避免讨论做好的方法。点睛由于椭圆，抛物线的弦的两个端点极径均为正值,所以弦长都是；对于两个 端京都范双曲线右支上的弦，其端点极径均为正值,所以弦长也是；对于两个端 点分别在双曲线左、布宓幺的弦，其端点极径一个为正值一个为负值,所以弦长 是-或-(8+22)为统一起见，求双曲线时一律加绝对值，使用设直线6的倾斜角区 则直线的倾斜角为6 + 90,由极坐标系中焦点弦长 公式知：PQ 1=一3 MN1=-=声1-|cos261-|cos2(9 + 90) l-1sin2/7

6、0)例一 .过椭圆-b-的左焦点F,作倾斜角为60的直线/交椭圆于A、B两点，若归T = 2归回，求椭圆的离心率.简解，建立极坐标系，然后利用等量关系，可很快求出离心率。设椭圆的极坐标方程为P =则|以| = .“马咫=-. l-ecos1 - ecos601 - ecos240：.=2工,解得e=； TOC o 1-5 h z 1， i + 32221COS03变式求过椭圆夕=1的左焦点，且倾斜角为?的弦长|A8|和左焦点到左准 线的距离。解：先将方程夕=化为标准形式：夕12则离心率6 =叩=飞,所以左焦点到左准线的距为2。设4月,）,8（0,牛），代入极坐标方程，则弦长 44（3）定值问题

7、例1.抛物线丁2=2.0）的一条焦点弦被焦点分为,力的两段，证明：11 一士一+丁定值。 a b解：以焦点F为极点，以FX轴为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为夕=；一,设 A（a,。）,8（/?招 + 笈）1 一 COS。将a、b两点代入极坐标方程，得力一一1 - cos 0l-cos（8 + /r） TOC o 1-5 h z nil 11 1 - cos 0 1 -cos（ + zr） 2、贝|J_+ =+:-=-（定值）a b ppp点睛，引申到椭圆和双曲线也是成立的。112推论：若圆锥曲线的弦MN经过焦点F,则有 + =一mF pVF | ep例二：经过椭圆的的焦点作两条相互垂

8、直的弦AB和弦CD,求证+焉为 lABl lCDl定值。证明：以椭圆的左焦点建立极坐标系，此时椭圆的极坐标方程为P = -CV又设人（月收）凤。”+。）,（/0=+夕2 外,二十。则代入可1 c cost/2 J 2/得IA8I= IA8I=则l-e.cosl-e-sm-夕注释。此公式对抛物线也成立，但对双曲线不成立。注意使用的范围。推广1若经过椭圆的中心做两条相互垂直的弦，倒数和也为定值。需要以原点为极点建立极坐标方程。推广2若不取倒数，可以求它们和的最值。例三（2007重庆理改编）中心在原点。的椭圆拚提=1,点尸是其左焦点，在椭圆上任取三个不同点R，P?B使/尸尸尸2 =/巴尸产3 =/尸

9、安平=120 .证明：匚+熹+匚为定值，并求此定值FP归尸3O解析：以点尸为极点建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：p=J,设2-cosd点八对应的极角为氏 则点外与A对应的极角分别为8 + 120、6-120.OQe、2与A的极径就分别是建j=E、-工-一夕+。）与FP.=92-cos(6-120)因此1112 cos6 2-cos(-120)； + ： + ；7 = + + f 而在二角怛制 FP2 |FP3|999函数的学习中，我们知道cose + cos（8 + 120） + cos（8 120） =。，因此1 1 1H 17 +冉FP, 极坐标分别表示IFPJ、1尸鸟1与1尸鸟1,这样一个角度对应一个极径.就不会象 解析几何那样，一个倾斜角，对应两个点，同时对应两条焦半径（极径）,这就是极坐标表示圆锥曲线的优点.推广1若放在抛物线