数学必修二重难点

1、人教版数学必修二第三章直线与方程重难点解析第三章课文目录3.1直线的倾斜角与斜率2直线的方程3.3直线的交点坐标与距离公式重难点：1、倾斜角、斜率、过两点的直线的斜率公式。2、直线方程的两点式、截距式的推导及运用。3、两点间的距离公式和它的简单应用。4、点到直线距离公式，会求两条平行直线间的距离。一、直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为a,那么a叫做直线的倾斜角。一条直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角a为0。直线倾斜角的取值范围是：0Wa180。直线的斜率：倾斜角不是90。的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线

2、的斜率，记为k,即k=tana。说明:(1)a=0=k=0(2)0a90=k0(3)90a180=k0(4)a=90k不存在。注意:斜率k可以是任意实数，每条直线都存在唯一确定的倾斜角，但不是每条直线都有斜率。过两点的直线的斜率公式：直线经过两点P(x,y),P(x,y),(xMx)。它的斜率丁叫。11122212对于上面的斜率公式要注意下面五点：当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角a=90,直线与x轴垂直；k与P1、P2的顺序无关，即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；当y1=y2

3、时，斜率k=0,直线的倾斜角a=0。，直线与x轴平行或重合.求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到.典型例题：例题1：已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率，并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角(用计算机作直线，图略)分析：已知两点坐标，而且x1工x2,由斜率公式代入即可求得k的值；解析：而当k=tana0时，倾斜角a是钝角；而当k=tana0时，倾斜角a是锐角；而当k=tana=0时，倾斜角a是0.直线AB的斜率k1=1/70,所以它的倾斜角a是锐角；直线BC的斜率k2=-0.50,所以它的倾斜角a是钝角；直线CA的斜率k3=10,所以它的倾斜

4、角a是锐角.求l,12的斜率。例题2：已知直线丄12，且I】的倾斜角为恳,匸1=壬且丄TOC o 1-5 h z解析：1勺斜率角&,上=tan更=”k2则-12的斜率分别为63点评：已知直线的倾斜角，可以由定义式直接得出直线的斜率。例题3：求出过两点A(-2,0),B(-5,3)的直线的倾斜角和斜率。I”互解析：(刃，即tana=-1,而aWO,n),4点评：已知直线的斜率，可以直接得出倾斜角，但要注意角的范围。例题4:已知点P(a,b)(a,b不同时为0),0为坐标原点，求直线0P的斜率和倾斜角。解析：当b=0时，由aM0,则OP的倾斜角a=0，斜率k=0。,hbA;=0a=arctan当a

5、,b同号时，门，门bhyt=Una=x十arctan当a,b异号时，。7Ca=当a=0时，由bM0,贝92,k不存在。负与零，倾斜角的表达方式不同,点评：斜率是否存在，与P点位置有关；斜率的正、这是因为倾角的范围造成的。sin3七）cos八3七）55例题5：如图，直线1的倾斜角a=30。，直线1丄1，解析：/的斜率件=tan30=3-,1112的倾斜角以=90+30=120TOC o 1-5 h z2的斜率k=tana=tan120=r3 HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 22例题6：已知Q和k分别是1的倾斜角和斜率，当（1）cosa=-3时，分

6、别求直线1的斜率k.33解析：当sina=时，0a180，:k=tana=5434当cosa=时，0a180，.0a90，.k=tana=34当cosa=-时，.0a180，:90a0，直线斜率X十17CKk=1,GEan若入0，直线斜率二空综上所述，l的倾角的范围是p-l=0原方程变形为以入为主变量的方程：(x-1)入2+2入y+(x-l)=O，令，可知此方程与入无关的解为x=1,y=0。故直线l恒过定点(1,0)。二、直线的方程直线方程的四种形式：点斜式：已知：直线l经过定点Po(xo，yo),且斜率为k,则直线l的方程为:y-yo=k(x-xo),称为直线的点斜式方程。特别地，当l的倾斜

7、角为o时，k=tano=o,此时，l的方程为y=yo。如果直线l的斜率为k,与y轴的交点为(o,b)，代入点斜式得l的方程为：y=kx+b(其中，b叫直线l的纵截距)，这便是直线的斜截式。注意:斜截式是点斜式的特例，两者均不能表示与x轴垂直的直线方程。换句话说,斜率存在的直线才可以用点斜式或斜截式表示，斜率不存在的直线的方程可写成x=xo的形式(直线经过Po(xyo)。此外，斜截式中的b不是指距离，而是直线与y轴交点的纵坐标。b可正可负，也可为o。两点式：已知：直线l过两点P(x,y),P(x,y),(xMx),则利用斜率公式和点斜式可得11122212l的方程为：P一尹1=疋玛儿乃忑】(其中

8、xMx,yMy)。12丿1丿2这便是直线方程的两点式。两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，但把两点式化为整式形式：(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)，就可以利用它求出平面内过任意两个已知点的直线方程：若X=x2，y1My2时，则有x-x1=0,即：x二xj若y=y2,XMx2时，则有yyo,即:y=y1O截距式：如果直线l在x轴,y轴上的截距分别为a和b(aMo,bMo),则l的方程为：心。这便是直线方程的截距式，显然，截距式是两点式的特例，它不能表示与坐标轴垂直及过原点的直线。一般式：方程Ax+By+C=o(A、B不全为零)叫做直线方程的一般式。任何一条直线的方程都可以化成

9、一般式。直线的方程都是二兀一次方程；任何一个关于x,y的二兀一次方程都表示一条直线。这就是直线与二元一次方程的关系。ic=-b=-当BMo时：直线Ax+By+C=o的斜率序，在y轴上的截距衣。当B=0时：直线Ax+By+C=0的斜率不存在，在X轴上的截距综上所述，两个独立条件确定一条直线，所以求一条直线的方程，必须给出两个独立的条件。一般说来，确定一条直线主要有两种方法。第一个方法，由直线上的一点和直线的方向确定。而直线的方向由斜率确定，这便是直线方程的点斜式的由来(斜截式是点斜式的特例)。第二个方法，由两点确定一条直线，这便是两点式的由来，当然两点式也可以由点斜式而来，截距式可看作是两点式的

10、特例。四种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式)进行比较:直线名称已知条件直线方程使用范围示意图点斜式P(X,y),k111y-y=k(x-x)k存在斜截式k，by=kx+bk存在两点式(x,y)11(x,y)22y-yx-x11x丰x,y丰y1212yyxx2121截距式a,b兰+2=1aba丰0,b丰0典型例题:例题1：求满足下列条件的直线方程：经过点p(-2,3)，倾斜角是直线$民十1的倾斜角的一半。经过点P(-2,3)，且在两坐标轴上截距相等。经过两点A(-2,3),B(4,-1)。经过点P(-2,3)，且与两坐标轴围成三角形的面积为4。解析：(1)由题设直线方程为y-3=k(x+2)

11、。因为直线厂辰+1中知二血-启，.：此直线倾斜角a=120,由题所求直线的倾斜角0=60，则：泌0”=朽，所以方程为+即:厂屆+亦+3就是所求方程。(2)当直线过原点时：设直线为y=kx，由于过P(-2,3)，则3=-2k，则？，则3V=K为直线方程。当直线不过原点时：设直线为，由于过P(-2,3)，贝9，：a=l,所以，方程为x+y=l,即：x+y-l=O就是所求方程。P3=忑斗由两点式得，即：2x+3y-5=0。由题可设方程为y-3=k(x+2)，分别令x=0得纵截距b=2k+3；y=0得横截距TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark75 o Current D

12、ocument 13 HYPERLINK l bookmark35 o Current Document -|(2+3X-2)|=4心又由题得：，解之得即：x+2y-4=0或9x+2y+12=0。y3=-(j:十2j/-3故所求方程为：和要根据不同的条件，选择适当的方程形式。点斜式和斜截式中，都有斜率k,常把k作为定。距相等，要注意区分截距是否为零，即是否过(4)直线方程的最后结果要求写成斜截式或者一般式的形式。例题6:已知点P(x,y),A(X,yi),B(x2,yj,(xx?)则点P在直线AB上的充要条件是()。1十入加十入出A、B、1+X提示：本题复习充分条件和必要条件；直线的方程和方程

13、的直线；定比分点坐标公式并渗透参数方程等内容，但作为选择题，只要熟悉概念，不难判断：A：P不能取A点，B：不能取A点和B点，D：不能取A点和B点，故只能选C。事实上，对于C：当t=0时，表示B点，当t=l时，表示A点。当t工0,1时,由定比分点公式知，它可以表示直线AB上所有异于A、B的点（反之亦然）。例题7：过点P（2,l）作直线l交x,y正半轴于AB两点，当IPAI-1PBI取到最小值时,求直线l的方程.解析：设直线l的方程为：y-1=k（x-2）,（k丰0）令y=0解得x=2-；令x=0，解得y=1-2kk.*.A(2，0)，B(0，12k)，kIPAI-1PBI=(1+丄)(4+k2)

14、k2=8+4(k2+丄);8+4x2二4k2当且仅当k2=1即k=1时，IPAI-1PBI取到最小值.又根据题意k0,k=-1所以直线1的方程为：x+y一3=0点评：此题在求解过程中运用了基本不等式，同时应注意结合直线与坐标轴正半轴相交而排除k=1的情形例题8：一直线被两直线l:4x+y+6=0，l:3x-5y-6=0截得的线段的中点恰12好是坐标原点，求该直线方程.解析：殳所求直线与ll的交点分别是A、B,设人（x,y），则B点坐标为（-x，-y）120000因为A、B分别在11，12上，所以4x+y+6=000-3x+5y-6=000+得：x+6y=0，即点A在直线x+6y=0上，又直线x

15、+6y=0过原点,00所以直线l的方程为x+6y=0例题9:直线Ax+By-1=0在y轴上的截距是一1,而且它的倾斜角是直线j3x-y=的倾斜角的2倍，贝y（）A.A=f3，B=1B.A=i：3，B=1C.A=*3，B=1D.A=：3，B=1A1解析：将直线方程化成斜截式y=x+.BB1因为=1，B=1，故否定A、D.B又直线x-y=3、运的倾斜角a=才，2兀直线Ax+By-1=0的倾斜角为2a=丁，A2兀乃斜率=tan=-3，B3A=、.:3，B=1,故选B例题10：若直线Ax+By+C=0通过第二、三、四象限，则系数A、B、C需满足条件（）A.A、B、C同号B.ACVO,BCVOC.C=0

16、，ABVOD.A=0，BCVOAC解法一:原方程可化为y=-x-(BM0)BB直线通过第二、三、四象限，AC其斜率小于0,y轴上的截距小于0,即0，且0,B即A、B同号，B、C同号.用、B、C同号，故选A解法二：（用排除法）ACA若C=0,AB0.B此时直线经过原点，位于第一、三象限，故排除C.CC若A=0,BCV0,则原方程化为y=.由BCV0,得一0.BB此时直线与x轴平行，位于x轴上方，经过一、二象限故排除D.若ACV0,BCV0,知A、C异号，B、C异号.A、B同号，即AB0.此时直线经过第一、二、四象限，故排除B.故A、B、C同号，应选A例题11：直线y=ax+b(a+b=0)的图象

17、是()解法一：由已知，直线y=ax+b的斜率为a，在y轴上的截距为b又因为a+b=0.a与b互为相反数，即直线的斜率及其在y轴上的截距互为相反数图A中，a0,b0；图B中，a0,b0,b=0故排除A、B、C.选D.解法二：由于所给直线方程是斜截式，所以其斜率a工0,于是令y=0,解得x=-a又因为a+b=0,.a二一b，.:x=-=1a直线在x轴上的截距为1,由此可排除A、B、C,故选D三、直线的交点坐标与距离公式1、两点间的距离公式+(打-yi2、点到直线距离公式：Ax+By+C点P(x0,y0)到直线1:Ax+By+C=0的距离为：d=.；A2+B23、直线的交点如果两条直线Ax+Biy+

18、C=0和A2x+B2y+C2=0相交，由于交点同时在两条直线A2x+B2y+C2=0的解，反之，如果上面方程组只有一个解，那么这个解为坐标的点就是直线Aix+Biy+Ci=O和A2x+B2y+C2=0的交点。说明若无解，则两直线平行；若有无数解，则两直线重合。在x轴上求一点，使|pa|=|pb|，并典型例题：例题1:例1：以知点A(-1，2)，B(2,J7求|pa|的值。解：设所求点P(X，0)，于是有+1)2+(0-2)22匕+C、订)pa=pb得X2+2X+5=X2-4X+11解得x=1。求点P0(-1,2)到下列直线的距离.2x+y10=0；(2)3x=22x(1)+210|解析：根据点

19、到直线的距离公式得D=2鶯522+1225因为直线3x=2平彳丁于y轴，所以D=|3(1)|=3评述：此例题(1)直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握；(2)体现了求点到直线距离的灵活性，并没局限于公式.所以，所求点P(1，0)且|PA|=：(1+1)2+(02)2=2迈通过例题，使学生对两点间距离公式理解。应用。打12+0解法二：由已知得，线段AB的中点为M-，一-一，直线AB的斜率为12丿k=2+化亠厶AT(1+(02心迈322I2丿3线段AB的垂直平分线的方程是y-1)X2丿在上述式子中，令y=0,解得x=l。所以所求点P的坐标为(1,0)。因此|PA|=J(l+21+(02)

20、2=2湮:2x+3y一10=0的距离.2例题2:求两平行线I】：2x+3y-8=0,解法一：在直线l上取一点P(4,0),因为/,112TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark145 o Current Document x4一3x0+1022.所以点P到1的距离等于1与1的距离.于是d=13212v22+321313解法二：l112又C1=-8,C2=-10由两平行线间的距离公式得d=匕凹=羊 HYPERLINK l bookmark151 o Current Document 4解析：(1)d=pa-4x6-2詩+(-4)2=4解得a=2或a46T3a+4x62

21、46d=4,解得aV2或aJ32+(4)23例题7：求下列两直线交点坐标L1：3x+4y-2=0L1：2x+y+2=0解析：解方程组:+4y2-02x+2y+2二0得x=-2,y=2证交点不可能在第一象限及x轴上.分析：先通过联立方程组将交点坐标解出,再判断交点横纵坐标的范围.TOC o 1-5 h za2+1a+1解析：解方程组若0,则a1.当a1时，一V0,此时交点在第二象 HYPERLINK l bookmark200 o Current Document a-1a-1限内.a2+1又因为a为任意实数时，都有a2+110,故工0a-1因为a工1(否则两直线平行，无交点)，所以，交点不可能

22、在x轴上，得交点(一a+1a2+11，1)a-1a-1例题9:求下列两条直线的交点：L1:3x+4y-2=0,L2:2x+y+2=0.解析：解方程组2+y+2=0.L1与L2的交点是M(-2,2).例题10:已知两条直线：11:x+my+6=0,12:(m-2)x+3y+2m=0.当m为何值时，11与12:(1)相交，(2)平行，(3)重合.解析：将两直线的方程组成方程组畫十my+6=0,-2)+2m=0.A_1总_intn-2?3令学二4可得丄晋A.：lh-.-,m-2二解得m=-1或m=3.AR当m-1且n#碱盏工詮方程组有唯一解，1屜相交.当m=-1时，方程组为rx-y+6=0(-強亠S

23、y-2=0.鱼=虫鱼.方程无解，11与12平行.当m=3时，方程组为惡+刖+&=0,s+3y+6=0.两方程为同一个方程，11与12重合.直线方程单元检测题满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.并把答案写在答题卡1、过点(一1,3)且垂直于直线x2y+3=0的直线方程为A.2x+y1=0B.2x+y5=0C.x+2y5=0D.x2y+7=01“m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m2)x+(m+2)y3=0垂直”的()2A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不

24、充分也不必要条件3三直线ax+2y+8=0,4x+3y=10,2xy=10相交于一点，则a的值是A.2B.1C.0D.14、直线xcos9+y+m=0的倾斜角范围是冗3冗4,45、如直线l、iB.U3-)0-一,-L4L4丿C.C-3-0-D.uL4J)l的斜率是二次方程x24x+1=0的两根,2那么l和l的夹角是（12B.-D.-6.已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是（）A.45J3C.26D.A;13267、过点A(l,2)且与原点距离最大的直线方程是()A.x+2y-5=0B.2x-y-4=0Cx+3y-7=0D.3x+y-5=0&已知直线1的方程

25、是ax-y+b=0,l2的方程是bx-y-a=0（abZ0,aMb）,则下列各示意图形中，正确的是（）29.直线y=3x绕原点逆时针旋转900，再向右平移1个单位，所得到的直线为（）TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark236 o Current Document 11a.y=B.y=一一x+1c.y=3x-3D.y=x+1x+y-5=0上移动,310.若动点AW，儿）、Bq，打分别在直线l1:x+y一7=0和12则AB中点M到原点距离的最小值为A.3迈B.2訂11.点A（1，3），B（5，2），点P在x轴上使IAPIBPI最大，则P的坐标为（）A.(4,0)B.

26、(13,0)C.(5,0)D.(1,0)设a,b,c分别是AABC中，ZA,ZB,ZC所对边的边长，则直线sinAx+ay+c=0与bx-sinBy+sinC=0的位置关系是（）A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直填空题：本大题4小题，每小题4分，共16分.把正确答案填在答题卡的横线上.）13、直线l：x+my+6=0与l2：(m2)x+3y+2m=0，若12则m=过点（1,2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方禾TOC o 1-5 h z直线y=2x关于直线x=1对称的直线方程是;已知点P（2,-3）,Q（3,2），直线ax+y+2=0与线段pq相交，则实数a的取值范围 HYPERLIN

27、K l bookmark238 o Current Document 是；答题卷一、选择题（60分）题号123456789101112答案二、选择题：（16分）TOC o 1-5 h z;14.;15.;16.解答题（74分）17、（12分）根据下列条件，求直线方程（1）经过点A（3,0）且与直线2x+y5=0垂直（2）经过点B（2,1）且与直线5x+2y+3=0的夹角等于4518（12分）ABC中，A（3,1）,AB边上的中线CM所在直线方程为：6x+10y59=0,ZB的平分线方程BT为：x4y+10=0，求直线BC的方程.19、（12分）过点（2，3）的直线L被两平行直线Li：2x5y+9=0与L2:2x5y7=0所截线段AB的中点恰在直线x4yl=0上，求直线L的方程20（12分）过点P（4,1）作直线l分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于点A、B,当AAOB（O为原点）的面积S最小时，求直线l的方程，并求出S的最小值21.（12分）