3-1 一维单原子晶格的振动

1、第三章 晶格振动主要目的： 搞清材料热性能有关的物理概念，学习分析问题的方法。对象： 晶体大量原子的热振动及在晶体中的传播（格波）等。1方法： 易 难 间断 连续 间断（依原子间距和波长的比较而定） 利用已熟知的连续波波动方程及其解的结论 一维 三维（推广） 经典 量子（修正） 23 .1 一维单原子晶格的振动 一、物理模型3二选坐标系选第0个原子的平衡位置为坐标原点，第n个原子平衡时为 X0nna, 它的位移记为Un， 位移后： Xn=na+Un Un：第n个原子的绝对位移，向右为正，向左为负。 三分析受力 近似：近邻作用近似：仅考虑最近邻原子间的相互作用； 简谐近似.4当温度不太高时，原子

2、间的相对位移较小，互作用势能在平衡点a处泰勒展开式中可只取到二阶项。记a+=R ,则： (3-1)（类似于 EW 为单位正电荷的受力）二原子间的互作用力为5在平衡位置a处，势能为极小值 ，其一阶导数为0, 其二阶导数大于零(并以表示)， 0 。 (3-2)即在近邻近似和简谐近似条件下，原子间的相互作用力与相对位移成正比，满足胡克定律。这时原子间的相互作用力称为弹性力或简谐力，称为弹性系数，或恢复力系数。6此时可以把一维单原子链等效为用弹性系数为的弹簧把质量为m的小球连结起来的长链，如上图所示，图中的k=。四列方程 在近邻近似条件下，第n个原子分别受到第（n-1）个原子及第（n+1）个原子的作用

3、力， 设二力系数相同，则可表示为 fn-1= （Un - Un-1） fn+1= （ Un - Un+1）7解释：由于坐标轴向右为正方向，f, Un 均向右为正。考虑到方向性，以 上二式均 Un在前。由牛顿定律，第n个原子的运动方程为(3-4)8即第n个原子的加速度不仅与Un有关，且与 Un-1,Un+1有关，这意味着原子运动之间的耦合,由于对每一个原子都有一个类似的方程，n共可取N个值，故该式实为N个方程组成的方程组，可有N个解，而此时晶体的总自由度也为N。 五解方程 设a, 相邻原子的相位差小 可把晶体看作是连续媒质.na x a x x 为小量 Un(t)=U(na,t) U(x,t)

4、Un+1(t)=U(na+a,t) U(x+x,t)9把这些关系式代入式（34），得令 v02= a2/m, 则上式成为(3-6)这是熟知的波动方程，v0 是波速度。10有特解：U(x,t)Aei( q x t ) (3-7)它是一个简谐波，q=2/是波矢。从物理上讲，“连续” 波长原子间距;如果 a，不连续。必须直接求解方程（34）。设试探解：Un(t)=Aei( q n a t ) (3-8)对应于连续情况下的解式（37），这里仅以na代替X，这也是一个简谐行波，称它为一个格波。可见，一个格波是晶体中全体原子都参与的一种简单的集体运动形式。 11六定解条件玻恩卡曼 （Born-Karman

5、）周期性边界条件目标：求出q=? 因：晶体的固有热学性质（例如：热容量）应由晶体的大多数原子的状态所决定；边界上的原子数要比内部原子数少很多；近邻近似。这样，就可以以方便为原则来选择边界条件，而基本上不影响晶体的固有性质。 12玻恩卡曼设计了一种特殊的边界条件：假设在有限晶体之外有无限多个和这个有限晶体完全相同的假象晶体，它们和实际晶体彼此毫无缝隙地衔接在一起，组成一个无限的晶体。这样就保证了有限晶体的平移对称性。这实际上是一个循环条件，下图给出了它的一维示意图。把有限晶体首尾相接，从而就保证了从晶体内任一点出发平移Na后必将返回原处，实际上也就避开了表面的特殊性。 13 0 N 2N 3N

6、可等效视为： （N，0）, （N+1，1） 14于是一维晶格振动的边界条件就可写成 UnUn+N （39） 把式（39）代入式（38），可得到 ei(q n a t) = ei (n+N) a qt, eiq N a=1， qNa = 2m（m=0,1，2）得（310）式（310）15结论： 1. 格波的波矢q不连续; 2. q点的分布均匀, 相邻q点的间 距为 2 (a); 3. 2q =Na/ m16七、讨论（一）格波由（38）表示的是一个格波，它是 简谐行波，又称为简正格波，简正模式。格波相速度vp（等相位面移动的速度） 设t1时刻，n1a处振动，某一确定的相 位面到t2 时刻传到n2a

7、处，则 q n1a t1 = q n2a t2 ， q(n2n1)a=(t2t1) 设 n2a n1a = x , tt1 =t则 vp =x /t =(n2an1a) /(t2t1) = q 17说明： 波速v0, 相速vp, 群速（能速） vg=ddq 在很多情况下可不同，在无色散的真空中三者相同。（二）色散关系 本来色散关系是指vp间的关系， 因 vp = q 也可以用q 之间的关系来表征色散关系。若q 间为线性关系，则vp为常数，即各种频率的波在该媒质中传播时不发生色散，否则发生色散。18把式（38）代入式（34）并用尤拉公式整理得到 （311）式m称为截止频率。 （3-11）1920

8、上式又可改写为 所以，不是q的线性函数，或说vp不是q的线性函数 有色散。 21（三）长波近似 当a时，即相应于当的情况， 则q= 2，q0 .sin (q/)(qa/2 ) ,由上式 vp=/q = v0 -无色散 这正是连续媒质中弹性波的色散关系。 （四）q的取值 式（311）表明， 是q的周期函数，周期为 (2/a), 即m为整数 （313）22 相同时，由式（38）可知波矢q和q+(2/a)所描述的原子位移情况完全相同。 (3-14)这一点在从波形上也易于理解， 例如 q（/2a）和q=q+(2/a)=(5/2a)分别对应波长为 （2/q）4a和 (2/q)=(4/5)a 23图35

9、两种波长的格波描述一维不连续原子 的同一种运动24它们所描述的原子位移情况完全相同。这说明若对波矢的取值范围不加限制，则描述同一种晶格振动的格波波矢并不唯一确定。为此通常把它限制在一个周期范围内（即一个倒格子元胞范围内）取：(3-15) 这正是一维晶格的第一布里渊区。格波频率是波矢q的周期函数，周期为（2/a），正好为一维原子链的最短倒格矢，（3-13）式可写为 (q)= (q+Kh) 倒格子平移对称性 （316） 其中Kh为倒格矢。25 由式（311）还可知： (q)= （q）倒格子反演对称性 关于色散关系的倒格子平移对称性和反演对称性的这两个结论对三维晶格也是适用的。说明： 1. q和q对应相同的，但q和q代表 了不同的格波，与唯一性不 矛盾。 2. q的不唯一性是由晶体的不连续性所致。 26（五）格波数（模式数） 对一维单原子链而言即为在第一布里渊区中波矢q的取值数在q空间，q点均匀分布，相邻q点间的“距离”为（2/Na），而q的取值范围是第一布里渊区，它的大小为（2/a）,所以允许的q取值总数为(3-18) 这里N是原子总数，对于单式格子也就是初基元胞的总数。 27普遍结论： 允许的q值总数等于组成晶体的初基元胞数 。 在一维单原子链情况下，每