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文档简介

1、一、 原函数与不定积分的概念引例:一个质量为 m 的质点,下沿直线运动 ,因此问题转化为:已知求在变力试求质点的运动速度根据牛顿第二定律,加速度定义 1.若在区间I上定义的两个函数F(x)及f(x)为f(x)在区间 I 上的一个原函数.则称 F(x)如引例中, 的原函数有 1问题: 1. 在什么条件下,一个函数的原函数存在?2. 若原函数存在,它如何表示? 定理1. 存在原函数 .(下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数2定理2. 原函数都在函数族( C 为任意常数 )内.证: 1)又知故即属于函数族即3定义2. 在区间I 上的原函数全体称为上的不定积分,其中 积分号;

2、 被积函数; 被积表达式. 积分变量;若则( C 为任意常数 )C 称为积分常数不可丢 !例如,记作4不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.的积分曲线 . 5例1.设曲线通过点( 1,2 ), 且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.解: 所求曲线过点 (1,2),故有因此所求曲线为6例2.质点在距地面处以初速力,求它的运动规律. 解:取质点运动轨迹为坐标轴,原点在地面,指向朝上,质点抛出时刻为此时质点位置为初速为设时刻 t 质点所在位置为则(运动速度)(加速度)垂直上抛, 不计阻 先由此求 再由此求7先求由知再求于是所求运动规律为

3、由知故8二、 基本积分表 (P141)从不定积分定义可知:或或利用逆向思维(k为常数)9或或1011例3. 求解:原式 =例4. 求解: 原式=12三、不定积分的性质推论:若则13例5.求解: 原式 =14例6.求解:原式 =例7.求解:原式 =15例8.求解:原式 =16内容小结1. 不定积分的概念 原函数与不定积分的定义 不定积分的性质 基本积分表 (见P 141)2. 直接积分法:利用恒等变形, 及基本积分公式进行积分 .常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式 ,积分性质17思考与练习1.证明 2.若提示:提示:183.若是的原函数,则提示:已知194.若的导函数为则的一个原函数是( ).提示:已知求即B?或由题意其原函数为205. 求下

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