2022年九年级动点问题题型方法归纳

1、动点问题 题型方法归纳时按已知线段身份不同分类-OP为边、 OQ为边, OP为边、 OQ为对角线, OP 为对角线、 OQ为边；然后画出各类的图形,依据图形性质动态几何特点- 问题背景是特殊图形,考 求顶点坐标；查问题也是特殊图形,所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中,特殊要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置；）动点问题始终是中考热点,近几年考查探究运动中的特殊性： 等腰三角形、 直角三角形、相像三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值；下面就此问题的常见题型作简洁介绍,解题方法、关键给以点拨；一、三角形边上动点1、（20XX 年齐齐哈尔市） 直线

2、 y 3x 64与坐标轴分别交于 A、B 两点,动点 P、Q同时从 O 点动身,同时到达 A 点,运动停止点 Q 沿线段 OA 运动,速度为每秒 1个单位长度, 点 P 沿路线 O B A 运动（1）直接写出 A、B 两点的坐标；（2）设点 Q 的运动时间为 t 秒,OPQ 的面积为 S ,求出 S 与 t 之间的函数关系式；（3）当 S 48时,求出点 P 的坐标, 并直5接写出以点 O、 、Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点 M的坐标y B P O Q A x 提示：第（ 2）问按点 P 到拐点 B 全部时间分段分类；第（ 3）问是分类争论： 已知三定点 O、P、Q ,探究第四点构成平行四

3、边形2、（ 20XX年衡阳市）C B A C B C A O B D A E F F O E O 图（ 1）图（ 2）图（ 3）如图, AB 是 O 的直径,弦BC=2cm ,ABC=60 o（1）求 O 的直径；（2）如 D 是 AB 延长线上一点,连结 CD,当 BD 长为多少时, CD 与 O 相切；（3）如动点 E 以 2cm/s 的速度从 A 点动身 沿着 AB 方向运动,同时动点 F 以 1cm/s 的 速度从 B 点动身沿 BC 方向运动, 设运动时间为ts 0t2,连结 EF,当 t 为何值时,BEF 为直角三角形留意：第（ 3）问按直角位置分类争论3 、（ 2022 重庆綦江

4、）如图,已知抛物线y a x 12 3 3 a 0 经 过 点A 2,0 ,抛物线的顶点为 D,过 O 作射线 OMAD过顶点 D 平行于 x 轴的直线交射线 OM 于点 C ,B 在 x 轴正半轴上,连结 BC （1）求该抛物线的解析式；（2）如动点 P 从点 O 动身,以每秒 1 个长度单位的速度沿射线 OM 运动,设点 P 运动的时间为 t s 问当 t 为何值时,四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（ 3）如 OC OB ,动点 P 和动点 Q 分别从点 O 和点 B 同时动身,分别以每秒 1 个长度单位和 2 个长度单位的速度沿 OC 和 BO运动,当其中一个点停止

5、运动时另一个点也随之停止运动设它们的运动的时间为t s ,连接 PQ ,当 t 为何值时,四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长y D M C P A O Q B x 留意：发觉并充分运用特殊角DAB=60当 OPQ面积最大时,四边形 BCPQ的面积最小；二、特殊四边形边上动点4、（20XX 年吉林省） 如下列图, 菱形 ABCD的边长为6 厘米,B60 从初始时刻开头,点 P 、 Q 同时从 A 点动身,点 P 以1 厘米 /秒的速度沿 A C B 的方向运动 , 点 Q 以 2 厘 米 / 秒 的 速 度 沿A B C D 的方向运动,当点 Q 运动到 D 点时, P 、

6、 Q 两点同时停止运动,设 P 、Q 运动的时间为 x 秒时,APQ 与ABC的面积为 y 平方厘米（这里规定：点和线段是面积为 O 的三角形） ,解答以下问题：（ 1）点 P 、 Q 从动身到相遇所用时间是秒；（2）点 P 、Q 从开头运动到停止的过程中,当APQ是 等 边 三 角 形 时 x 的 值 是秒；（3）求 y 与 x 之间的函数关系式D C P A Q B 提示：第 3 问按点 Q到拐点时间 B、C全部时间分段分类；提示 - 高相等的两个三角形面积比等于底边的比；5、（ 20XX 年哈尔滨）如图 1,在平面直角坐标系中, 点 O 是坐标原点, 四边形 ABCO是菱形,点 A 的坐

7、标为（3 ,4）,点 C 在x 轴的正半轴上,直线 AC 交 y 轴于点 M,AB 边交 y 轴于点 H（1）求直线 AC 的解析式；（2）连接 BM,如图 2,动点 P 从点 A 动身,沿折线 ABC 方向以 2 个单位秒的速度向终点 C 匀速运动,设 PMB 的面积为 S（S 0）,点 P 的运动时间为 t 秒,求 S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量 t 的取值范畴）；（3）在（2）的条件下,当 t 为何值时,MPB与 BCO 互为余角, 并求此时直线 OP 与直线 AC 所夹锐角的正切值y y x A H B A H B M M O C x O C 图（1）图（ 2）留意：第（

8、2）问按点P 到拐点 B 所用时间分段分类；第（ 3）问发觉 MBC=90 , BCO与ABM互余,画出点 P运动过程中,MPB=ABM的两种情形,求出 t 值；利用 OBAC,再求 OP与 AC夹角正切值 . 6、20XX 年温州 如图,在平面直角坐标系中,点 A 3 ,0 ,B3 3 ,2 ,C（0,2 动点 D以每秒 1 个单位的速度从点 0 动身沿 OC 向终点 C运动,同时动点 E 以每秒 2 个单位的速度从点 A 动身沿 AB 向终点 B 运动过 点 E作 EF上 AB,交 BC于点 F,连结 DA、DF设 运动时间为 t 秒1 求 ABC的度数；2 当 t 为何值时, AB DF

9、；3 设四边形 AEFD的面积为 S求 S 关于 t 的函数关系式；如一抛物线 y=x 2+mx 经过动点 E,当S2 3 时,求 m 的取值范畴 写出答案即可 留意：发觉特殊性, DE OA 7、（ 07 黄冈）已知：如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCO 是菱形,且C P y B Q A x AOC=60 ,点 B 的坐标是 0,8 3 ,点P 从点 C 开头以每秒1 个单位长度的速度在O D 线段 CB 上向点 B 移动,同时, 点 Q 从点 O开头以每秒a（1a3）个单位长度的速度沿射线 OA 方向移动,设t0t8秒后,直线 PQ 交 OB 于点 D. （1）求 AOB 的度数及线段

10、OA 的长；（2）求经过 A,B,C 三点的抛物线的解析式；（3）当a3,OD43时,求t 的值及3此时直线 PQ 的解析式；（4）当 a 为何值时,以O ,P,Q ,D 为顶点的三角形与OAB 相像？当a 为何值时,以 O ,P,Q ,D 为顶点的三角形与OAB不相像？请给出你的结论,并加以证明. 8、（08 黄冈）已知：如图,在直角梯形 COAB中, OCAB,以 O 为原点建立平面直角坐 标 系 , A, ,C 三 点 的 坐 标 分 别 为A 8 0 B 8 1 0 C, , 点 D 为 线 段BC 的中点,动点 P 从点O动身,以每秒 1个单位的速度, 沿折线 OABD 的路线移动,

11、移动的时间为 t 秒（1）求直线 BC 的解析式；（2）如动点 P 在线段 OA 上移动, 当 t 为何值时,四边形 OPDC 的面积是梯形 COAB面积的2？7（3）动点 P 从点 O 动身,沿折线 OABD 的路线移动过程中,设OPD 的面积为 S ,请直接写出 S 与 t 的函数关系式,并指出自变量 t 的取值范畴；（4）当动点 P 在线段 AB 上移动时,能否在 线 段 OA 上 找 到 一 点 Q , 使 四 边 形CQPD 为矩形？恳求出此时动点 P 的坐标；如不能,请说明理由y D B x y D B x C P A C A O O （此题备用）9 、09 年黄冈市 如图 ,在平

12、面直角坐标系1 2 4 xoy 中,抛物线 y x x 10 与 x 轴 18 9 的交点为点 A,与 y 轴的交点为点 B. 过点 B 作 x 轴的平行线 BC,交抛物线于点 C,连结 AC现有两动点 P,Q 分别从 O ,C 两点同时 动身 ,点 P 以每秒 4 个单位的速度沿 OA 向 终点 A 移动 ,点 Q 以每秒 1 个单位的速度沿 CB 向点 B 移动 ,点 P 停止运动时 ,点 Q 也同 时停止运动 ,线段 OC,PQ 相交于点 D,过点 D 作 DE OA ,交 CA 于点 E,射线 QE 交 x 轴于 点 F设动点 P,Q 移动的时间为 t单位 :秒 1求 A,B,C 三点

13、的坐标和抛物线的顶点的坐标 ; 2 当 t 为何值时 ,四边形 PQCA 为平行四边形.请写出运算过程 ; 3 当 0 t9 时, PQF的面积是否总为定 2 值.如是 ,求出此定值 , 如不是 ,请说明理由 ; 4 当 t 为何值时 , PQF为等腰三角形 .请写 出解答过程提示：第（ 3）问用相像比的代换,得 PF=OA（定值）；第（ 4）问按哪两边相等分类争论PQ=PF,PQ=FQ,QF=PF. 三、直线上动点8、（ 20XX 年湖南长沙）如图,二次函数2y ax bx c（a 0）的图象与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴相交于点 C 连结AC、BC, 、C 两 点 的 坐 标 分

14、 别 为A 3 0 C 0,3,且当 x 4 和 x 2时二次函数的函数值 y 相等（1）求实数 a, ,c 的值；（2）如点 M、N 同时从 B 点动身, 均以每秒 1 个单位长度的速度分别沿 BA、BC 边运动,其中一个点到达终点时,另一点也随之停止运动当运动时间为 t秒时,连结MN, 将B M N 沿 MN 翻 折 , B点恰好落在 AC 边上的 P 处,求 t 的值及点P 的坐标；（3）在（ 2）的条件下,二次函数图象的对称轴上是否存在点Q ,使得以 B,N,Q为项点的三角形与ABC相像？假如存在,恳求出点 Q 的坐标； 假如不存在, 请说明理由A P y C N x M O B 提示

15、：第（ 2）问发觉特殊角 CAB=30 , CBA=60特殊图形四边形 BNPM为菱形；第 3 问留意到ABC 为直角三角形后,按直角位置对应分类；先画出与 ABC相像的BNQ ,再判定是否在对称轴上；9、（2022 眉山）如图, 已知直线 y 1x 12与 y 轴交于点 A,与 x 轴交于点 D,抛物线1 2y x bx c 与直线交于 A、E 两点,与2x轴交于 B、C两点, 且 B 点坐标为 1 ,0 ；求该抛物线的解析式；动点 P 在 x 轴上移动,当PAE是直角三角形时,求点 P 的坐标 P； 在 抛 物 线 的 对 称 轴 上 找 一 点 M, 使| AM MC | 的值最大,求出

16、点 M的坐标；提示：第（ 2）问按直角位置分类争论后画出图形 -P 为直角顶点 AE为斜边时, 以AE为直径画圆与 x 轴交点即为所求点 P,A 为直角顶点时, 过点 A 作 AE垂线交 x 轴于点 P, E为直角顶点时,作法同；第（3）问,三角形两边之差小于第三边,那么等于第三边时差值最大；10、（ 20XX 年兰州） 如图, 正方形 ABCD 中,点 A、B的坐标分别为 （0,10）,（8,4）,点 C在第一象限动点P 在正方形ABCD的边上,从点 A 动身沿 ABCD匀速运动,同时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动,当 P点到达 D点时,两点同时停止运动,设运动的时间为 t 秒1 当

17、 P 点在边 AB上运动时, 点 Q的横坐标x （长度单位）关于运动时间 t （秒）的函数图象如图所示,请写出点 Q开头运动时的坐标及点 P 运动速度；2 求正方形边长及顶点 C的坐标；3 在（ 1）中当 t 为何值时,OPQ的面积最大,并求此时 P 点的坐标；4 假如点 P、Q保持原速度不变,当点 P 沿 ABCD匀速运动时, OP与 PQ能否相等,如能,写出全部符合条件的 t 的值；如不能,请说明理由留意：第（ 4）问按点 P 分别在 AB、BC、CD边上分类争论；求 t 值时,敏捷运用等腰三角形“ 三线合一”；11、（20XX 年北京市） 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, ABC三

18、个顶点的坐标分别为A6,0,B6,0,C0, 4 3,延长AC 到点 D,使 CD=1 2交 BC 的延长线于点AC ,过点 D 作 DE AB E. （1）求 D 点的坐标；（2）作 C 点关于直线 DE 的对称点 F,分别连结 DF、EF,如过 B 点的直线 y kx b 将四边形 CDFE 分成周长相等的两个四边形,确定此直线的解析式；（ 3）设 G 为 y 轴上一点,点 P 从直线y kx b 与 y 轴的交点动身,先沿 y 轴到达 G 点,再沿 GA 到达 A 点,如 P 点在 y轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2 倍,试确定 G 点的位置, 使 P 点依据上述要求到达

19、 A 点所用的时间最短； （要求：简述确定 G 点位置的方法,但不要求证明）提示：第（）问,平分周长时,直线过菱形的中心；第（）问,转化为点到的距离加到（）中直线的距离和最小； 发觉（）中直线与轴夹角为. 见“ 最短路线问题” 专题；12、 20XX 年上海市 A P D A P D A D P Q 图 1 C B （Q） 图 2 C B 图 3 C B Q 已知 ABC=90 , AB=2,BC=3,AD BC,P 为线段 BD上的动点,点 Q在射线 AB上,且满意 PQ AD（如图 1 所示）PC AB（1）当 AD=2,且点 Q 与点 B 重合时（如图2 所示）,求线段 PC 的长；（2

20、）在图 8 中,联结 AP当 AD 3,且点 2Q 在线段 AB 上时,设点 B Q、 之间的距离为SAPQ x,y,其中 SAPQ 表示 APQ的面 SPBC积,SPBC 表示PBC 的面积,求 y 关于 x的函数解析式,并写出函数定义域；（3）当 AD AB,且点 Q 在线段 AB 的延长线上时（如图 3 所示）,求 QPC 的大小留意：第（ 2）问,求动态问题中的变量取值范畴时,先动手操作找到运动始、末 两个位置变量的取值,然后再依据运动的特点确定满意条件的变量的取值范 围；当 PCBD时,点 Q、B重合, x 获得 最小值；当 P 与 D重合时, x 获得最大 值；第（ 3）问,敏捷运

21、用 SSA判定两三角形相像,即两个锐角三角形或两个钝角三 角形可用 SSA来判定两个三角形相像；或者用同一法；或者证BQP BCP,得 B、Q、C、 P四点共圆也可求解；13、（08 宜昌）如图,在 Rt ABC中, ABAC,P是边 AB（含端点）上的动点过 P作 BC的垂线 PR,R为垂足, PRB的平分线与 AB相交于点 S,在线段 RS上存在一点 T,如 以线段 PT为一边作正方形 PTEF,其顶点 E,F 恰好分别在边 BC,AC上（1） ABC与 SBR是否相像,说明理由；（2）请你探究线段 TS 与 PA的长度之间的关系；（3）设边 AB1,当 P 在边 AB（含端点）上运动时,

22、请你探究正方形 PTEF的面积 y的最小值和最大值CERTBERTBSSFPFPACA第 13 题 第 13 题 提示：第（ 3）问,关键是找到并画出满意 条件时最大、 最小图形； 当 p 运动到使 T 与R 重合时, PA=TS 为最大；当 P 与 A 重合 时, PA 最小；此问与上题中求取值范畴类似；14、 20XX 年河北 如图,在 Rt ABC 中,C=90 ,AC = 3 ,AB = 5 点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长的速度向点 A 匀速运动,到达点 A 后马上以原先的速度沿AC 返回；点 Q 从点 A 动身沿 AB 以每秒 1个单位长的速度向点 B 匀速运动

23、相伴着 P、Q 的运动, DE 保持垂直平分 PQ,且交 PQ于点 D,交折线 QB-BC-CP 于点 E点 P、Q 同时动身,当点 Q 到达点 B 时停止运动,点 P 也随之停止设点 P、Q 运动的时间是t 秒（ t0）（1）当 t = 2 时, AP = ,点 Q 到 AC的距离是；（2）在点 P 从 C 向 A 运动的过程中,求 APQ 的面积 S 与 t 的函数关系式； （不必写出 t 的取值范畴）（3）在点 E 从 B 向 C 运动的过程中,四边形 QBED 能否成为直角梯形？如能,求 t 的值如不能,请说明理由；（4）当 DE 经过点 C 时,请直接写出 t 的值B Q E D A

24、 P C 提示：（）按哪两边平行分类,按要求画出图形,再结合图形性质求出 t 值；有二种成立的情形, , ；（）按点 P 运动方向分类,按要求画出图形再结合图形性质求出 t 值；有二种情形,t 时,时15 、（ 20XX 年 包 头 ） 已 知 二 次 函 数y ax 2 bx c （a 0）的图象经过点A , ,B 2 0, ,C 0,2,直线 x m（m 2）与 x 轴交于点 D （1）求二次函数的解析式；（2）在直线 x m（m 2）上有一点 E（点E在第四象限） ,使得 E、D、B 为顶点的三角形与以 A、O、C 为顶点的三角形相似,求 E 点坐标（用含 m 的代数式表示） ；（3）在

25、（ 2）成立的条件下,抛物线上是否存在一点 F ,使得四边形 边形？如存在,恳求出ABEF 为平行四 m 的值及四边形ABEF 的面积；如不存在,请说明理由提示：第（ 2）问,按对应锐角不同分类争论,有两种情形；第（3）问,四边形 ABEF 为平行四边形时,E、F 两点纵坐标相等, 且 AB=EF ,对第（2）问中两种情形分别争论；四、抛物线上动点16、（20XX 年湖北十堰市）如图,已知抛物线 y ax 2bx 3（ a 0）与 x 轴交于点 A1,0和点 B 3,0,与 y 轴交于点 C1 求抛物线的解析式；2 设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M ,问在对称轴上是否存在点 P,使 CMP

26、 为等腰三角形？如存在, 请直接写出全部符合条件的点 P 的坐标；如不存在,请说明理由3 如图,如点 E 为其次象限抛物线上一动点,连接 BE、CE,求四边形 BOCE 面积的最大值,并求此时 E 点的坐标留意：第（ 2）问按等腰三角形顶点位置分类争论画图再由图形性质求点P坐标 -C为顶点时, 以 C为圆心 CM为半径画弧, 与对称轴交点即为所求点 P, M 为顶点时,以 M为圆心 MC为半径画弧,与对称轴交点即为所求点 P,P 为顶点时,线段 MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点 P；第（ 3）问方法一,先写出面积函数关系式,再求最大值（涉及二次函数最值）；方法二,先求与 BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简洁二元二次方程组）,再求面积；17、（20XX 年黄石市）正方形 ABCD 在如图所示的平面直角坐标系中,A在 x轴正半轴上, D 在 y 轴的负半轴上,AB 交 y 轴正半轴于 E,BC 交 x 轴负半轴于 F ,OE 1,抛物线 y ax 2 bx 4 过A、D、F