备战2020中考：抛物线背景下的特殊三角形解题策略

1、 i抛物线背景下特殊三角形存在性问题的解题策略动态问题是近几年来中考数学的热点题型，常与存在性问题结合J这类问题综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，解题时要特别关注运动和变化过程中的不变量、不变关系和特殊关系.本文以中考题为例，对二次函数背景下，一些特殊三角形存在性问题的解题策略进行探究.一、探究等腰三角形的存在性已知抛物线y=ax2+bx十c经过A(-1.0).B(3f0).匚(。，3)三点，直线x=l是抛物线的对称轴.(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线x=l上的T动点，当心PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线乂二I上是否存在点M.佳-MAC为等腰三角形

2、?若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.答案解析解：(1)将A(-1,0)、B(3f0)%C(O,3)代入抛物线y=dx+bx+c中,(an=09d-b3A+c=0,c3(a=-1解得，xh=2IT抛物线的解析式为y=-/+2k+3.(2)分析由图知，A,E两点关于抛物线的对称轴对称,那么垠性以及两点之间线段可知,若连结BC,那么BC与直线/的交符合条件的P点. 易求得BC的函数关系式为y=-x+3,当时.y=2,所以P(1,2)；)存在，理由如下：设M(1.e),已知A(-1,0)3).则MA2二月十4,MC2=(3-m)2+l6m+10,ACO.若MA=MC,则M

3、A2=MC2j得,m2+4=m2-6rn+10,解得,m二L若MA=AC,贝!JMA?=AC?,得，m2+4=10f解得，m二土.II。若MC=AC,则MCjC2,得.rn2+10=10,解得，旧1二0由2二6.当m二6时,M、KC三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去.综上可知，符合条件的M点，且坐标为M(1,西),(1网),(1,1),(1,0).评注例1(3)中，由于MAC的腰和底不明确，因此要分上述三种情况来讨论，可先设出M的坐标.然后用M点纵坐标表示MAC的三边长，再分别按三种情况列式求解.同学们可根据上述解题思路分析解决下迤：如图2,在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、

4、B分别落在坐标轴上,O为原点，点A的坐标为(6.0)，点B的坐标为(0,8),动点M从点。出发.沿0A向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒:个单位的速度运动.当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动设动点M.N运动的时间为t秒(t0).(1)当t=3秒时，直接写出点W的坐标.并求出经过0.A,N三点的抛物线的解析式；(2)在此运动的过程中faMNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；(3)当t为何值时，虫MNA是一个等腰三角形?J9AIH2二、探究直角三角形的存在性如凰已知抛物线产X2+取+匚与犬轴交于4B两点(A点在

5、B点左侧)，与y轴交于点C(0,-3),对称轴是直线xL直线BC与抛物线的对称轴交于点D.1)求抛物线的函数表达式(2)求直线RC的函数表达式(3)点E为y轴上一动点,CE的垂直平分线交CE于点E交抛物线于P、Q两点.且点P在第三象限-当线段PQ二:AB时，求tan/CED的值当以点C、D,E为顶点的三角形是直角三角形时,清直接写出点P的坐标.常(L)易得,三fq口.一丸1门导相11Tm向3。)，r放直题H。的函数也送式为】=1-3.(JivAB=4.P=:内片,二产9;九二牝。美于直技1=I对低,点产的横嵯标为-寺，.-Y，-J.*(o.-),E仝M一口声至三一1w：.44EC-工FC=y.

6、进而禅到，拓=tx；-EE三y,4%-5*炖3匕与物画就的前科轴1=1的交点办的坐标JHL&.过点it作JW-1轴干点吃住拈心卜力打中.HIJ；H/OH0E.uin4CfD然亭ftttJ-21.,点E为r牯上-动点I3设E帕屏标为(。3.又门3势mu,-2).南由勾放定理.耨二乐=U*3i*HE=yi+Tl+2f,以点ULE为班点的三箱形生日地三焦形时,(i)点。为汽南瘴点.划CIV+CE；=心趾,即tfiy-3)(ymTTipy解带r=-3,此时匚与E醺舍.事介即患,啻宜：C野嘉口力直角覆点.Clf+bt*3卯+(71；O*2)1r=(f*3).1.此时CW的旗向平分坡力,=-2,由二工,卜

7、-Zr-3Ji=A*L,p-由.11T-3ily-2.V点花第三靠,m-2)tUii)就首为卤的妆点，；?*f；r=fjrI即JTTi*针*3M斛郡，-z或-由卜当I-2时，。5的慝白平分覆为,-52ti由12鳏得yj1-11-3；-1+卜三一卓*.(*)/5I513:-Jr=-丁立严在第三条虬二声(1_专,_升综乜所述.PJ1-R),P：(一个-升.三、探究相似三角形的存在性例3如图41已知二次函数y=/X+2)(ax+b)的图象过点A(-4f3),B(4,4).(1)求二次函数的解析式：求证：aACB是直角三角形；(3)若点P在第二象限且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直戈轴于点H,是否存在以LH、D为顶点的三角形与白ABC相似?若存在,求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.M曷福=g*3-IJ.aC-52小国-W.Jjtff+毗-1他Vi3r晶自第二篇物*U*+/-卷)Q”)rw尸八东+r*-frib=晶-ACn/Li.肌=2在MUC.ffl?V.LPRD=Lcfi-K)则只籀分两钟情3m论；当NHA&*第孙得产H科hW9.卜司?匐AIX一上一出小候料Mj|=-涔/寿t旬,回一上小泮卧0当AOffF*时.病口闻PHc*砒.解得勺柒包）网”*资嵋上所述,备勒什髻尚评注由动点产生的相似三角形问题的一般解题途径为：若两个三角形