衍生金融工具教师1.课件4各种利率

1、1 第四章 各种利率 2一、市场上主要基础利率1、利率：资金借入方支付给资金贷出方超过本金的金额与本金的比率。2、 国债利率(treasury rates)：投资短期或中长期国债获得的利率。被认为是无风险利率。3、伦敦同业拆放利率LIBOR(London Interbank Offer Rate):是银行向同业银行货出(拆放)大额资金时所收取的利率。伦敦同业拆借利率LIBIR(London Interbank Bid Rate):是银行愿意接受银行同业存款资金时所愿意支付的利率。LIBOR 高于LIBID ，其价差较小，具体取决于资金的供求关系。参与同业拆借的银行要满足一定的信誉等级标准，至少

2、AA级。LIBOR基本上是无风险的，被市场视为无风险利率的代表。LIBID和LIBOR在不受任何单个政府控制的欧洲货币市场交易。34、再回购利率再回购协议(repo or repurchase agreement)是指证券所有者同意将其证券出售给另一方，之后再以稍高一些的价格将这些证券买回的协议。再回购协议实际上是以证券为抵押的贷款，这种贷款几乎没有风险，因为如果借钱的公司不遵守协议的话，债权人只需保留证券即可。再回购利率(repo rate)。在回购协议中，证券出售和购回的价差就是对方的利息收益。以此计算的利率就是再回购利率率。再回购利率仅比短期国库券利率稍高一点。对许多在期货市场上操作的套

3、利者而言，其相关的无风险利率就是再回购利率 。最普通的回购类型：是隔夜回购(overnightrepo)，该回购协议每天都重新商定。4二、利率的度量1、复利频率和终值假设数额A资金以年利率R投资n年，每年复利m次。则投资终值为：52、不同复利频率对终值的影响63、不同复利频率下的等价利率任意两种复利方式下，等价利率的相互转换。74、连续复利假设数额A以年利率R投资了n年。如果每年复利m次，当m趋近于无穷大时(即连续复利)，其终值为：如果已知终值为A，以利率R按连续复利方式贴现n年，其现值为：85、连续复利和每年计m次复利的利率之间相互转换的公式：Rc是连续复利利率, Rm是每年计m次复利的利率

4、.9例4.1 考虑一个年息为10%的利率，半年计一次息。等价的连续复利的利率是多少？利用式(4.3)，则m=2，R=0.10，得到一个等价的连续复利的利率为：2ln(1+0.1/2)=0.09758=9.758%例4.2 假设债权人给出贷款利息为年息8%，连续复利计息。而实际上利息是一季度支付一次。求每季度计一次息的等价年利率是多少？利用公式(4.4)，m=4，Rc=0.08，每季度计一次息的等价年利率为： 4 (e0.08/4-1)=0.0808即年利率为8.08%。这意味着，对于$1 000的贷款，则要求借款人每季度必须支付$20.2的利息。10三、债券的定价1.债券的理论价格：将债券持有

5、者将来收到的所有现金流(利息和本金)贴现值求和，得到债券的理论价格。2.贴现率选择：有时债券交易员使用相同的贴现率来贴现所有未来现金流；更为精确的方法是对于不同时间的现金流使用不同的零息率。例：假设连续复利的国债零息率如表4.2：11假设一个2年期国债的本金为$100，息票率为每年6%，每半年支付一次息票。求债券的理论价格。解：为计算第一次$3息票的现值，使用对应6个月期限的5.0%的贴现率；为计算第二次$3息票的现值，使用对应1年期限的5.80%的贴现率。依此类推。 这样，债券的理论价格为：3e-0.050.5+ 3e-0.0581.0 + 3e-0.0641.5 + 103e-0.0682

6、.0 =$98.39123.债券收益率债券收益率(bond yield)：是使债券所有未来现金流的现值等于市场价格的贴现率。例：假如上一例的债券的市场价格为$98.39，债券收益率为y，则有：3e-y0.5+ 3e-y1.0 + 3e-y1.5 + 103e-y2.0 =$98.39可以通过试错法（反复试验使得误差最小化）解该方程，得出y=6.76%。134.票面收益率票面收益率(par yield) 是指能使债券价格等于其账面价值的贴现率（账面价值等子本金价值）。通常，假定债券是每半年支付一次息票。假设我们的例子中的2年期债券的息票率为每年c（或者说是每半年1/2c）。使用表4.2中的零息率

7、，债券的价格等于其账面价值(为100)时，有如下方程：解得：c= 6.87。因此，2年期每半年计一次复利的票面收益率为每年6.87%（若转换为连续复利情况，等价于每年6.75%）。14一般情况假设债券到期时收到的$1的现值为d，每次息票支付日支付$1的年金的价值为A，m为每年的利息支付次数，那么票面收益率c应该满足如下等式：100 = A(c/m) +100d因此:c=(100-100d)m/A例：在上例中：m=2，d=e-0.0682.0= 0.87284， A= e-0.050.5+ e-0.0581.0 + e-0.0641.5 + e-0.0682.0 = 3.70027将m、d和A值

8、代入以上公式，得到票面收益率为每年6.87%。15四、利率的期限结构利率的结构主要包括：利率的风险结构和利率的期限结构。利率风险结构：是指期限相同的各种金融工具利率之间的关系，主要是由金融工具的违约风险、流动性及税收等因素决定的。16利率的期限结构是指利率与期限之间的关系，考察的是风险因素相同的证券之间因期限的不同所产生的利率差异，分析的是利率运动的特征。在过去一百多年时间内，利率的期限结构一直是微观金融的研究重点，原因是微观金融的两大支柱定价及风险管理都离不开利率期限结构这个基础。17（一）零息票收益率1.零息票收益率(zero-coupon interest rate) ：持有期内没有利息

9、派发，所有利息和本金在期末支付的收益率。n年期零息票利率有时也被称为n年期即期利率或n年期零息率(zero rate或zero)。假设一个报价中连续复利的5年期零息率为每年5%。这说明$100投资5年之后，增长到： 100e0.055=128.402.附息票收益率：持有期内定期派发利息，期末还本的收益率。在市场能直接观察到的很多利率并不是纯粹的零息率而是附息票利率。183.零息票收益率的确定（息票剥离法）部分零息票利率可以直接得到。不能直接得到的零息票利率，可以从附息票债券的价格求得。19例：表4.3 息票剥离方法的数据债券本金($)到期期限年息票*($)债券价格($)1000.25097.5

10、1000.50094.91001.00090.01001.50896.01002.0012101.61002.751099.8*注：假设每6个月支付所列息票数额的一半。20直接求得前面3个债券不付息票，对应的即期利率容易算出（连续复利）。运用方程(3.3)： Rc=mln(1+Rm/m)3个月的即期利率：4ln(1+2.5/97.5)=0.10126个月的即期利率：2ln(1+5.1/94.9)=0.10471年的即期利率：ln(1+10/90)=0.105421利用拆现法求得：a.期限1.5年的。支付方式为：6 个月后1 年后1.5年后$4$4$10422b.期限2年的。支付方式为：6 个月

11、后1 年后1.5年后2年后$6$6$6$10623.用插值法求得第六个债券的现金流为(p75)：3 个月后9个月后1.25年后1.75年后2.25年后2.75年后$5$5$5$5$5$10524线性插值公式：25a.利用6个月和1年的利率用插值法求9个月的利率：b.同理，1.25年1.75年利用插值法求得为：0.61%;10.745%26C.求2.75的即期利率，设为R。由前面求得2 年的即期利率为10.18%.27由此得到方程：284.零息率曲线零息率曲线(zero curve)是表示零息票收益率与期限之间关系的曲线。通常的假设是利用息票剥离方法得出的零息率曲线数据点是线性的。通常也假设零息

12、率曲线中第一个点之前和最后一点之后曲线都是水平的。表4.4中总结了我们求出的这些利率。图4.1表示了基于上述假设，由上面的数据所得到的零息率曲线。29表4.4 从表4.3中的数据计算的连续复利的零息到期期限零息率(%) (连续复利)0.2510.1270.5010.4691.0010.5361.5010.6812.0010.8082.7510.873031（二）即期利率和远期利率即期利率(spot interest rate)：即期利率：是从现在开始计算并持续n年期限的零息票收益率。远期利率(forward interest rate)：是未来某一时间段的利率零息票利率。它是由当前即期利率隐含

13、的将来一定期限的利率。32结论：当这些利率是连续复利，并且将相互衔接的各时间段的利率组合在一起时，整个期间的等价利率是这些利率的简单算术平均值。当这些利率不是连续复利时，这个结果近似成立。T2年期的即期利率R20T1T1年期的即期利率R1T2-T1时段的远期利率RFT233推导： 3435五.远期利率协议(一)、概念 远期利率协议(Forward Rate Agreements，FRA)是合同双方在名义本金(Norminal Principal)的基础上进行协议利率与参照利率差额支付的远期合约。协议利率为双方在合同中同意的固定利率。参照利率(Reference Rate)为合同结算日的市场利率

14、(通常为LIBOR)。36支付该协议利率者为买方，即是结算日收到对方支付市场利率的交易方，反之，收到该协议利率者为卖方。双方在结算日根据当天市场利率(通常是在结算日前两个营业日内使用伦敦同业拆放利率来决定结算日的市场利率)与协议利率结算利差，由利息金额大的一方支付一个利息差额现值给利息金额小的交易一方。 37买方卖方参考利率协议利率38例如：A银行向B银行购买一个39的5的远期利率协议，该交易成交3个月后市场利率如升至5.5，则由B银行支付利息差额现值给A银行。39(二)、远期利率协议简况 远期利率协议第一次出现在1983年，该交易最早起源于英国伦敦。目前，伦敦市场仍是远期利率协议的主要交易中

15、心。纽约是第二个重要中心。远期利率协议在场外交易市场成交，信用风险较大。其参与者多为大银行，非金融机构客户可以通过银行参与交易。40 (三)、种类 1.按币种：美元、英镑、马克、瑞士法郎和日元。美元利率的交易占整个市场交易量的90以上。2.期限： “3个月对6个月”, “6个月对9个月”和“6个月对12个月”，近来更扩大到一年至两年，并且不是整数的期限也可以通过交易双方的协商而达成交易。3.金额：1985年底以前，一般在500万美元至2 000万美元，而1985年底以后，金额在2000万美元至5000万美元的情形已相当普遍了。 41(四)、远期利率协议作用 1.远期利率协议主要被用来对远期利率

16、头寸进行套期保值。远期利率协议给银行提供了一种管理利率风险而无须改变银行资产负债表的有效工具，银行能够在不改变资产负债表的流动性的情况下调整其利率风险。由于远期利率协议的本金并未实际流动，以利息差额结算，故资金流动量较小。 422.远期利率协议被非金融机构客户用来规避远期借款利率上升的风险，而很少用此来固定远期存款利率。 远期利率协议的交易一方为避免利率上升的风险，交易的另一方则希望防范利率下跌的风险，双方就未来某个期限的一笔资金的使用事先商定一个利率。 433.远期利率协议还可以用来短期防范长期债务的利率风险。例如，某公司有一笔7年期的美元浮动利率债务，该公司预测近2年里美元利率有上升的风险

17、。于是，该公司通过远期利率协议把2年利率(使用3笔远期利率协议交易，分别是612，1218，1824)固定在较理想的水平。444.套利:如果某一家公司或银行对短期利率趋势有正确的预测，他们也可以用远期利率协议来开立一个头寸，以获取利润为目的，使用远期利率。 把远期利率协议同金融期货、互换、期权等结合在一起，从中套利。 45(五)、与相关衍生工具的关系 1、与利率互换的区别与联系(1)联系:一个利率互换可看成一系列的远期利率协议。例如3年期的半年固定利率对浮动利率互换的现金流与同时签订6个期限为6个月的远期利率协议的现金流几乎一致。远期利率协议能替代利率互换，但一般把前者看作是后者的补充。46(

18、2) 区别：FRAs的合同利率是合同期的远期利率，依合同期不同而不同。而利率互换有一个稳定的固定利率；FRAs的结算金额是经过贴现的，且在互换期限内分期支付。 472、与金融期货的比较(1)远期利率协议具有简便、灵活和不需支付保证金等特点。它无需在交易所成交，对一些没有期货合约的货币来说，远期利率协议特别具有吸引力。远期利率协议的优点更表现在不像期货交易那样有固定的交割日和标准的金额，任何具体的要求均可以通过交易双方协商达成协议。期货交易需在成交前支付一定比例的保证金，而远期利率协议仅凭信用而无需支付保证金即可成交。 48（2）不足之处：首先，远期利率协议是场外交易，有些信用等级不高的交易者往

19、往较难找到对手来交易其次，远期利率协议不能进行对冲交易，每笔交易都是相对独立的交易，它仅能与另一笔远期利率协议掉换，而不能够出卖或冲销原协议。相反，利率期货可在交易所内卖出和买进，可通过对冲交易结束其履约义务。再次，远期利率协议的信用风险将随着交易对手的变化而发生变化。同利率互换一样，它无法知道最后的风险程度。而期货的信用风险是极小的，几乎可以说是没有信用风险。49(六)、合约内容 远期利率协议与互换交易一样，有一个标准化文件，即英国银行家协会远期利率协议(简称FRABBA)。标准化文件，大大提高了交易的速度和质量，使得每一笔远期利率协议交易仅需一个电传确认即可成交。内容包括 A、B、C、D、

20、E、F六部分。 50A部分介绍了远期利率协议的发生、结算利率、远期利率协议文件的影响及今后的发展。B部分是有关专用术语的定义。C部分简要说明了报价的习惯做法。D部分是远期利率协议的条款，包括陈述和担保、确认、结算，支付、取消、违约、豁免、运用法律等详细内容。E部分是超过一年期的远期利率协议结算金额的计算过程。F部分是确认样本。 51其B部分中的重要术语有：(1)结算日(Settlement Date)：名义借贷的结算日期，是协议期限的起息日。 (2)到期日(Maturity Date)：名义借贷到期日。(3)合同期(Contract Period)：结算日至到期日的天数，即协议期限。 (4)合

21、同利率(Contract Rate)：FRAs中的固定利率，即协议利率。(5)结算金额(Settlement Sum)：按合同利率和指定利率差额计算的由当事人一方支付给另一方的金额。 52(七)、远期利率协议报价53541、远期利率的确定：设某远期利率协议，其标的贷款的期限为T2T1 。R1、R2为期限为T1 、T2的即期利率。RK：远期利率协议的利率。RF：现在计算的T2T1期间的远期LIBOR。RM：在T1时刻观察到的T2T1期间的市场的实际LIBOR值L：协议的本金该协议满足如下现金流：在时刻T1：-L在时刻T2：+LeRK(T2-T1)将上述现金流贴现到0时刻（签订协议的时刻），得该协

22、议在0时刻的价值为：(八)远期利率协议的定价55 R20T1 R1RKT256令V(0)=0，得： 可见，在0时刻时，即在远期利率协议签署时，协议价值为0，而协议利率等于远期利率RF。572.远期合约结算公式(1)连续复利远期利率协议是在T1时结算，此时多头的盈亏为:58(2)用年利率远期利率协议结算日是协议期限的起息日。例如一笔69的远期利率协议交易的结算日是本交易日6个月后的这一天，也就是该远期利率协议期限的起息日。远期利率协议结算时用的是同一币种，为降低结算风险，并考虑到资金的时间价值，交易双方以差额利息的现值进行结算。结算金额计算公式如下59例4.3 假设一家公司签订一个FRA，3年后

23、开始的3个月期间内，公司将以4%固定利率获得100万美元本金的利息。后来，对应于该3个月期限的3个月期LIBOR为4.5%。计算公司的盈亏。解：公司的盈亏为：60RK3.在t(0tT)时远期合约多头的价值：T1、T2为距现在时刻t的时间，合约在0时刻签定0T1 R1T2t R26162例4.4 假设即期和远期LIBOR数据如表4.5。考虑一个FRA，协议期间从第1年末到第2年末，我们将收取6%利率，每年计一次复利，本金为100万美元。在表4.5情况下，1年末的1年期远期利率为按连续复利计算的5%（或按每年计一次复利计算的5.127%）。根据式(4.9)，该FRA的价值为： 1 000 000(

24、0.06 - 0.05127)e-0.042= $8 058比较式(4.7)和式(4.9)，我们可以这样对FRA进行估值：1假设未来的远期利率会实行，即RM= RF，在这个假设下计算损益2以无风险利率，对损益进行贴现63（一）久期的概念及计算 久期是指债券持有者在收到现金付款之前，平均需要等待的时间。 n年期限的零息票债券的久期为n年， n年期限的附息票债券的久期小于n年。 在进行利率期货的套期保值时，久期是一个重要的概念。 令:ci：债券持有者在ti时刻收到的现金流（1in） B: 债券的在0时刻的价格 y: 连续复利条件下的收益率 D：久期六、久期 641、 y: 连续复利条件下的收益率（

25、1）单个债券的久期 定义65可见，D为在债券存续期内，债券持有者每次收到现金流所需等待时间ti的加权平均数；即久期是付款时间的加权平均值。其权数为在该时刻所得现金流的现值占现值总和的比重。66久期的经济意义根据 得 将收益率曲线进行微量平移，使所有期限的利率（包括债券收益率）都增加y，相应的，债券的价格也变动 B，上式近似地等于：67该公式表明：债券价格的变动和收益率的变动负相关：债券价格变化的百分比等于其久期乘以收益曲线的平行增量 68例：某个面值为$100、附息票利率为10%的3年期债券。假定该债券连续复利的年利率为12%,即y=0.12。息票每6个月付息一次，利息为$5 。贴现率用收益率

26、代替。求该债券的久期。解：69表4.6 久期的计算时间付款金额现值权重时间权重0.554.7090.0500.0251.0 54.4350.0470.0471.554.1760.0440.0662.053.9330.0420.0842.553.7040.0390.0983.010573.2560.7782.334合计13094.2131.0002.65470注：表中第三列为现值，其中前六行数据为该债券每次现金流的现值。最后一行的94.213为各期现值的和。第三列的前六行数字除以94.213就得到第四列的权重。第五列的数字之和即为久期2.654年。B=-BDy=- 94.213 2.654y=-

27、250.04y 如果y=+0.001 ,即:y增加到0.121; 此时由公式我们可以估计: B=-0.25 即预计债券价格将下降到:94.213-0.250=93.96371（2）债券组合的久期债券组合的久期定义为组合中单个债券久期的加权平均，权重为单个债券的价格占组合价格 的百分比。有：B/y=-BD 或 B/B=-DyB为债券组合的价值。当所有债券的收益率有微小的变化y时债券价格变化的百分比等于其久期乘以收益曲线的平行增量 。注意：当久期应用于债券组合的时候，隐含假设是所有债券的收益率的变化程度是一样的。如果债券期限的覆盖范围比较宽，上述对于债券组合价值的影响的情况只会发生在零息票收益率曲

28、线平移一个小的y的时候。722、在 y为每年计m次复利的条件下的久期 同理，得：其中， 称为修正的久期737475例4.6 ：考虑表4.6中的债券价格为94.213，久期为2.653。每半年计一次复利计算的收益率为12.3673%。 D*=2.653 /(1+ 0.123673/2) =2.499 根据公式(4.17)： =-94.2132.4985y 即： B=-235.39y当债券收益率上升10个基点(=0.1%)，y=+0.001。则可预计： B=-235.39 0.001=-0.235债券的价格将下降到： 94.213 - 0.235=93.978。如果： y=+0.001，则： y=12.4673%(等价于连续复利的12.0941%) 由例子4.5，精确计算债券价格为93.978。这表明修正久期公式的准确度较高。76（二）久期的局限性1、凸度 参见86页图(1)凸度的影响对于两个具有相同久期的证券组合，当收益率变化很小时，两个组合价值变化的百分比相同。当收益率变化较大时，两个组合的凸度（曲率）不同，其价值变化的百分比也不同。当收益率减小时，凸度（曲率）大的组合价值增加的速