随机变量分布和数字特征

1、关于随机变量的分布和数字特征第一张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月为什么要引入随机变量的概念1.很多随机试验，其结果可以直接用数值表示。例如：产品抽检中出现的次品数，测量物体长度产生的误差等。2.有些试验其结果看起来与数值没有直接的关系，但是我们可以人为的赋予他们“关系”。例如：抛硬币的试验第二张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月这个试验有2个可能的结果:正面,反面。为了讨论的方便，引入变量X，当正面出现时，取X=1，当反面出现时，取X=0，这样，X随试验结果的不同而取不同的值，即X可以看成是定义在样本空间上的函数第三张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月一、随机变量（

2、random variable）的概念 2.1 随机变量 1、含义：用来表示随机现象结果的变量。 样本点本身是用数量表示的； 样本点本身不是用数量表示的。 总之，不管随机试验的结果是否具有数量的性质，都可以建立一个样本空间和实数空间的对应关系，使之与数值建立联系，用随机变量的取值来表示事件。 2、定义：定义在样本空间上的实值函数XX()称为随机变量，常用大写英文字母或小写希腊字母来表示，相应地，用小写英文字母表示其取值。HT第四张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月随机变量的特点: （1）X的全部可能取值是互斥且完备的。（2）X的部分可能取值描述随机事件。 注：随机变量是样本点的函数，其

3、函数值是实数，但自变量（样本点）不一定是实数。 与微积分中的变量不同，还存在其取值的概率的问题。（分布）第五张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月二、随机变量的实例解：样本点如图所示共有10个不同的样本点例1 引入适当的随机变量描述下列事件：将3个球随机地放入三个格子中，事件A=有1个空格，B=有2个空格，C=全有球。第六张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月记X表示“空格个数”，则有第七张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月三、关于随机变量的补充说明 随机变量随着试验结果的不同而取不同的值，在试验之前，只能知道它可能取值的范围，但不能预先知道它取哪个（些）值； 随机试验的各

4、个结果的出现有一定的概率，因此随机变量取某个（些）值也有一定的概率。第八张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月随机变量的分类：其他（混合型）连续型随机变量离散型随机变量随机变量第九张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月2.2 离散型随机变量的概率分布一、离散型随机变量及概率分布XP第十张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月例1 掷两颗骰子，观察其点数，记X为点数之和，Y为6点的个数，Z为最大点数，求X、Y、Z的概率分布。含有36个样本点.分析：样本空间是什么？随机变量的取值范围是什么？第十一张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月XPYPZP第十二张，PPT共一百零三页，

5、创作于2022年6月求分布律的一般步骤确定样本空间。确定随机变量的可能取值。确定随机变量的每个取值所对应的事件。求出每个事件的概率。列出表格或写出一般的概率表达式。求分布律中的概率时，关键在于必须把随机变量的取值对应到样本空间中的具体事件。第十三张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月分布律的基本性质 非负性： 正则性： 这两条性质也是随机变量分布律的充要条件。第十四张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月二、常用离散分布1、01分布 X 0 1 P 1-p p 随机变量只有两个取值的分布称为两点分布；特别地，若其取值为0和1，称之为01分布。例2 一批产品的废品率为5%，从中任意取一

6、个进行检验，用随机变量X描述废品出现的情况，即X的分布。第十五张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月用X=1表示产品为废品，X=0表示产品为合格品，则 X 0 1 P 95% 5%2、二项分布（Binominal distribution） 定义：在 n 重Bernoulli试验中， 若以X记事件发生的次数，则X为一随机变量，且其可能取值为X=0,1,2,，n.其对应的概率由二项概率给出： 第十六张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月例3 某工厂每天用水量保持正常的概率为3/4,求最近6天内用水量正常的天数的分布。 X 0 1 2 3 4 5 6 P0.0002 0.0044 0.

7、0330 0.1318 0.2966 0.3560 0.1780第十七张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月3、泊松分布第十八张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月补充说明单位时间内电话总机接到用户的呼唤次数、电路受到的电磁波的冲击次数；一平方米内玻璃上的气泡数；一铸件上的沙眼数等随机变量都服从泊松分布。二项分布和泊松分布都是非常重要常用的离散分布.在n重的贝努利试验中，某个事件在n次试验中发生的次数服从的是二项分布.其特点是只知次数，不知位置.二项分布在某个取值处概率达到最大.第十九张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月二项分布与泊松分布的关系：泊松定理 二项概率可以用泊松

8、分布的概率来近似 ，n越大，近似程度越高，该定理解决了二项概率的近似计算问题。第二十张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月例4 已知某种疾病的发病率为0.001，某单位共有5000人，问该单位患有这种疾病的人数不超过5人的概率是多少？解：设患病人数为X，则X服从二项分布B(5000,0.001).n=5000, p=0.001.概率可利用泊松分布近似计算。直接查表可得，见P294，5，k=05.第二十一张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月4、几何分布（Geometric distribution）特殊性质无记忆性定义：在Bernoulli试验中，记 p 为事件A在一次试验中出现的

9、概率，X为首次出现A时的试验次数，则X的可能取值为1，2，称X的分布为几何分布，记为XGe(p). 其分布律为第二十二张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月5、超几何分布 设N个元素分为两类，有N1个属于第一类，N2属于第二类（N1+N2=N) ，从中任取n个，令X表示取到的第一（二）类元素的个数，则X的分布称为超几何分布。 当N很大，n相对于N较小时，超几何分布可用二项分布来近似计算，不放回抽样可近似看成有放回抽样，这一结论在实际工作中往往可使问题变得简单。第二十三张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月 为了方便地表示随机事件的概率及其运算，我们引入了分布函数的概念。一、分布函数

10、（distribution function）的定义2.3 随机变量的分布函数第二十四张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月 注：（1）分布函数表示的是随机事件的概率。（2）分布函数与微积分中的函数没有区别。第二十五张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月二、分布函数的性质 注：以上三条是分布函数的基本性质，也是分布函数的充要条件。 第二十六张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月三、举例例1一袋中装有依次标着数字-1，2，2，2，3，3的6个球，从袋中随机取出一个球。记X为取出的球上的数字，求X的分布函数。解：X的可能取值有-1，2，3.且有第二十七张，PPT共一百零三页，创作

11、于2022年6月该分布函数的图形如下:注：分布函数是概率的累加。第二十八张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月四、离散型随机变量的分布函数由分布律可以写出其分布函数 10它的图形是有限（或无穷）级数的阶梯函数右连续 在X的取正概率的点xk处有跳跃，跃度为概率pk.第二十九张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月解：X的可能取值为1，2，3.且例2一个袋中有5个球，编号为1，2，3，4，5.从中任取3个，以X表示取出球的最小号码，求X的分布律与分布函数。注：计算概率时，必须明确相应的具体事件是什么。第三十张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月X的分布律为 X 1 2 3 P0.6

12、 0.3 0.1X的分布函数为思考：如何由分布函数求分布律？第三十一张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月分析：由分布律与分布函数的关系，考虑X的可能取值有哪些？第三十二张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月2.4 连续型随机变量的概率分布定义：设X是随机变量，F(x) 是它的分布函数，若存在一个非负可积函数f(x)，使得对任意的xR ，有则称X为连续型随机变量，F(x)为X的分布密度函数。注：分布函数表示在 x 处的累积概率，把其导数称为概率密度是非常合理的。一、连续型随机变量的定义及性质称f(x) 为X的概率密度函数第三十三张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月概率密度的

13、性质（充要条件）：非负性：正则性：概率密度在概率计算中的应用：注：（2）式中的区间可以是开（闭或半开）区间。第三十四张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月几个重要结论(4)对于连续型r.v.,不必“点点计较”，而对离散型r.v.,则要“点点计较”。第三十五张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月密度函数与分布函数的关系：1由分布函数求密度函数比较简单，下面考虑如何由密度函数来求分布函数.第三十六张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月例1.设随机变量X密度函数为 求常数c 和分布函数.第三十七张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月密度函数和分布函数的图形如下：1-11-11

14、第三十八张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月求：1.c的值；2.P(-1X1)；3.X的分布函数.解：1.利用正则性例2设随机变量X的密度函数为第三十九张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月注意随机变量的可能取值，不能机械地套公式，简单地在积分上、下限上取.二、常用连续分布1、均匀分布（Uniform distribution）第四十张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月均匀分布的密度函数和分布函数的图形：ab1ab均匀分布的概率计算：第四十一张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月例3设X服从(0,10)上的均匀分布，现对X进行4次独立观察，求至少3次观测值大于5的概

15、率。分析：除了X之外，本题还有一个随机变量观测值大于5的次数，记为Y.二项分布，第四十二张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月 某公共汽车站从早晨7：00起，每隔15min来一趟车,一乘客在7：00到7：30之间随机到达，求（1）该乘客等候不到5min乘上车的概率；（2）该乘客等候时间超过10min才乘上车的概率。注：均匀分布与几何概型关系“密切”。练习第四十三张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月2、指数分布(Exponontial distribution)密度函数的图形为：其分布函数为：注：与几何分布类似，指数分布也具有无记忆性。第四十四张，PPT共一百零三页，创作于2022

16、年6月例4设打一次电话所需要的时间(单位：分钟)服从参数为0.2的指数分布。如果刚好有人在你前面走进电话亭，并立即开始打电话，求你将等待：1、超过5分钟的概率；2、5分钟至10分钟的概率.指数分布在实际中有着重要的应用。如一些“东西”的寿命服从指数分布、随机服务系统中的服务时间也服从指数分布等。第四十五张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月3、正态分布（Normal /Gaussian distribution）密度函数图形如下密度函数关于x=对称.分布函数为：第四十六张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月标准正态分布其密度函数为：0.51第四十七张，PPT共一百零三页，创作于20

17、22年6月正态分布概率的计算：第四十八张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月第四十九张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月正态分布的标准化 问题：对于非标准的正态分布，如何通过查表求相关概率？通过等价事件转化为服从标准正态分布的随机变量。第五十张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月第五十一张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月例7某地区抽样调查结果表明，考生的外语成绩X，且96分以上的考生占总人数的2.3。求考生成绩在60分至84分之间的概率。第五十二张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月 定义 设f(x)是定义在随机变量X的一切可能值x集合上的函数,对X的每一可

18、能取值x,有唯一的y=f(x)与之对应,Y是y的集合,则Y是一个随机变量,称Y为X的函数,记作Y=f(X).问题:若X的分布已知,如何求Y的分布？2.5 随机变量函数的分布第五十三张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月设随机变量X的分布律为一、离散型随机变量函数的分布第五十四张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月例1 已知X的分布律如下：解：第五十五张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月整理，得第五十六张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月二、连续型随机变量函数的分布1、公式法注意该定理的适用条件。g(x)严格单调第五十七张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月定理

19、的证明:第五十八张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月第五十九张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月第六十张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月补充说明:第六十一张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月2、分布函数法g(x)为任意形式（1）先确定Y的可能取值范围，（2）在Y的可能取值范围内，求出其分布函数。（3）在Y的可能取值范围内，求其密度函数。（4）在实数区间内，表示出Y的密度函数。万能法第六十二张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月例4 设X服从区间(0,1)上的均匀分布,求Y=X2的密函数.第六十三张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月练习：设X的密度

20、函数是fX(x),Y=4X-1,求Y的密度函数.第六十四张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月2.6 随机变量的数字特征一、为什么要引入随机变量的数字特征1.实际中，有些随机变量的分布不易求。二、几个常用的特征指标数学期望、方差、标准差、协方差、相关系数、矩2.有些实际问题往往对随机变量的分布不感兴趣，只对随机变量的几个特征指标感兴趣。第六十五张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月一、数学期望例1分赌本问题甲、乙两个赌徒赌技相同，各出赌注50元，每局无平局，且约定：先赢三局者得到全部赌本100元。当甲赢了两局，乙赢了一局时，因故要中止赌博，问这100元的赌本应如何分配才合理？乙胜甲

21、输甲胜乙输乙胜甲输甲胜乙输甲胜的概率为：.分析：假设赌博继续下去，其可能结果如下：1、数学期望的引入第六十六张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月设甲得到的赌本为X，则X的分布律为 甲胜的概率为：.说明：该问题涉及随机变量的分布，且含有均值的意义.甲应该获得赌本的3/4.第六十七张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月算术平均与加权平均问题：如果已知离散型随机变量X的分布律如何求X的平均值？第六十八张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月加权平均数的计算：随机变量的平均值：概率替换频率第六十九张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月2、数学期望的定义 为随机变量X的数学期望.

22、第七十张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月补充说明：加权平均数：离散型随机变量期望：连续型随机变量期望：频率概率概率注：期望是均值的推广或更一般的形式.第七十一张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月例2 一批产品中有一、二、三等品、次品及废品5种，相应的概率分别为0.7,0.1,0.1, 0.06，0.04，若其价格分别为6元，5.4元，5元，4元及0元。求产品的平均价格。XP第七十二张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月第七十三张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月第七十四张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月3、数学期望的运算性质4、一维随机变量的函数的数学

23、期望 线性性质第七十五张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月第七十六张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月例4 设随机变量X的分布为解：第七十七张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月练习：设随机变量X的分布律为XP第七十八张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月第七十九张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月第八十张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月数学期望在解决实际问题中有着非常重要的应用，见下面的例子.第八十一张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月例6 购买福利彩票,为简化假定只有一种奖,即百万大奖,中奖率为百万分之一.每张彩票2元,张某买了一张彩票

24、,问他可以获益多少元?第八十二张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月练习:保险公司设立汽车盗窃险,参保者交保险费a元,若汽车被盗,公司赔偿b元,问b应如何定值才能使公司期望获益?(经统计,一年内汽车的失窃率为p)第八十三张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月保险公司按以上策略经营,很可能破产！原因有二：(1)投保者是相对不安全地区的车主.信息不对称(2)投保者会放松对车的看管.道德风险它们使投保者中车辆的失窃率p大大提高.第八十四张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月例7 某公司生产的机器无故障工作时间X有密度函数公司每售出一台机器可获利1600元，若机器在售出1.2万小时之

25、内出现故障，则予以更换，这时每台亏损1200元；若在1.2到2万小时之内出现故障，则予以维修，由公司负担维修费400元；若在使用2万小时以上出现故障，则用户自己负责。求该公司售出每台机器的平均获利。第八十五张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月解决方法：求随机变量函数的数学期望.关键：第八十六张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月则用户自己负责。公司每售出一台机器可获利1600元，若机器在售出1.2万小时之内出现故障，则予以更换，每台亏损1200元；若在1.2到2万小时之内出现故障，则予以维修，由公司负担维修费400元；若在使用2万小时以上出现故障，第八十七张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月第八十八张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月二、方差与标准差引例1 比较甲、乙两班学生成绩的差异百分比若把两班成绩看作随机变量的取值，其分布有什么区别？随机变量取值的分散程度不同，乙班成绩分布较集中。第八十九张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月引例2 比较两种型号手表的质量哪种手表质量