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文档简介
1、 中学九年级数学上(解直角三角形)锐角三角函数义务教育数学课程标准(2022年版)微能力2.0认证-中小学作业设计大赛目 录作业设计方案撰写:TFCF优秀获奖作品 PAGE 14初中数学解直角三角形单元作业设计一、单元信息基本信息学科年级学期教材版本单元名称数学九年级第一学期沪科版解直角三角形单元组织方式自然单元重组单元课时信息序号课时名称对应教材内容1锐角三角函数第 23.1(P112-116)2特殊角的三角函数值第 23.1(P117-119)3一般锐角的三角函数值第 23.1(P120-122)4解直角三角形第23.2 (P124-125)5解直角三角形的应用(1)第 23.2(P126
2、-127)6解直角三角形的应用(2)第 23.2(P127-128)7解直角三角形的应用(3)第 23.2(P128-130)二、单元分析(一)课标要求(数学课程标准2011版,第38页)1、利用相似的直角三角形,探索并认识锐角三角函数(sinA,cosA,tanA),知道30, 45, 60角的三角函数值。2、会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值,由已知三角函数值求它的对应锐角。3、能利用锐角三角函数解直角三角形,能用相关知识解决一些简单的实际问题。课标在“知识技能”方面指出:经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程,掌握图形与几何的基础知识和基本技能;参与综合实践活动, 积累
3、综合运用数学知识、技能和方法的解决简单问题的数学活动经验。在“数学思考”方面指出:通过用锐角三角形等表示三角形边角关系的过程,体会模型思想,建立数形结合思想;体会通过合情推理得出数学结论,运用演绎推理加以证明结论强化推理能力,清醒地表达自己的想法;学会独立思考问题,体会数学的基本思想和思维方式。在“问题解决”方面指出:通过锐角三角函数解决边角关系的过程,学会从数学的角度发现问题和提出问题,综合运用数学知识解决简单的实际问题,增强应用意识,提高实践能力;体会获得分析问题和解决问题的一些基本方法,体验解决问题方法的多样性,发展应用意识、创新意识;在知识的形成核应用过程中, 学会与他人合作交流;初步
4、形成评价与反思的意识 。在“情感态度”方面指出: 通过实际问题引入的活动,使得学生积极参与数学活动,对数学有好奇心和求知 欲;在数学学习过程中,体验获得成功的乐趣,锻炼克服苦难的意志,建立自信 心;通过类比学习,体会数学的特点,了解数学的价值;在问题解决过程中使学 生养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯;形成坚持真理、 修正错误、严谨求实的科学态度。(二)教材分析1.知识网络2.内容分析解直角三角形是沪科版数学九年级上册的最后一章,是一类特殊三角形中的边角之间关系主要研究锐角三角函数定义、性质和计算。它是在学生已经学习了“全等三角形、相似三角形、勾股定理”等内之后安排的。在知识
5、结构上,遵循了数学的一般研究规律;在研究方法上,让学生经历了由实际问题研究特例归纳性质运用知识解决实际问题等活动内容;渗透类比、从特殊到一般等数学研究的思想和方法。发展了学生的数学抽象、数学运算、数学推理等能力。通过本章知识的学习,学生能够建立起比较完善的直角三角形运算的知识结构, 进一步感受数形结合思想形成的一般路径。由于解直角三角形的知识广泛运用于测量、建筑、工程技术与其他学科的融合中,从而使得实际问题的内容是多种多样的,要把这些问题转化为解直角三角形的教学问题,主要是用来测量宽度、高度、角度、行程等其充分体现了锐角三角函数与实际生活的紧密联系,使得数学真正回归于生活,进而本章知识对于学生
6、分析问题的能力要求较高,使得学生感到解决问题困难,解直角三角形启着承上启下的作用,把实际问题中的数量关系转化为直角三角形中个元素之间的关系,进而解决问题,这也是本章学习内容中的重点难点。(三)学情分析从学生的认知规律来看:在“解直角三角形”这章,学生已经认识了勾股定理,直角三角形的两角互余,相似三角形的对应边成比例等,在一定程度地认识了直角三角形的边与边、角与角的关系,这些知识的学习都为本章的学习奠定了基础。根据学生学情给出以下学习指导建议:重视对基本概念的理解,本章知识的生成和实际问题,坚持理论与实践的相结合,体会数学来源于生活又回归于生活。在本章知识的学习过程中更多的是在积累了一定的数学学
7、习活动经验上自主学习和合作探究学习,使学生成为一个发现者、研究者、探究者。但是初中学生的思维方式和习惯还不够完善,数学的运算和推理能力尚且不足。因此,让学生养成严谨认真的学习态度,有条理地表达自己的想法,同时规范解题步骤,加强数形结合,提升学生分析问题和解题的能力。三、单元学习与作业目标正确理解三角函数的概念,准确把握直角三角形中边、角的关系,通过作业练习加深对“正弦、余弦、正弦”的认识,提升学生的数形结合意识;掌握特殊角的三角函数值,会使用计算机进行一般角三角函数求值;能够运用准确的锐角三角函数来解直角三角形,并解决测量、建筑、工程技术与物理学中的实际问题。进一步认识和体会实际问题变化与解直
8、角三角形对应的思维,领悟数形结合的思想。四、单元作业设计思路分层设计作业。每课时均设计“基础性作业”(面向全体,体现课标,要求学生必做) 和“发展性作业”(体现个性化, 探究性、实践性、可操作性,要求学生有选择的完成)。具体设计体系如下:五、课时作业第一课时(锐角三角函数)作业 1 (基础性作业)作业内容如图所示,在 RtABC 中,C=90,AC=8,BC=6,则 tanA 的值是()A.23B.35C.34D.45在 RtABC 中,若各边长都扩大为原来的 2 倍,则锐角 A 的正弦值() A.扩大为原来的 2 倍B.不变C.缩小为原来的 1D.以上都不对2如图,点 A1B1C 均在正方形
9、网格的格点上,则 cosABC 的值为 。3(4).2022 年在北京举办第 24 届冬季奥运会结束后,一些学校也开展了冰雪项目学习,一位同学乘滑雪板沿坡度为 1: 。的斜坡滑行 100 米,则他下降的高度为5(5).如图,在ABC 中,C=90,AB 是 CD 边上的中线,BD=2,AB= 各个三角函数。时间要求( 10 分钟以内)作业评价作业评价表求DAC 的评价指标等级备注ABC答题的准确性A 等, 答案正确、过程正确。等, 答案正确、过程有问题。等,答案不正确,有过程不完整;答案不准确, 过程错误、或无过程。答题的规范性A 等, 过程规范,答案正确。等, 过程不够规范、 完整,答案正确
10、。等, 过程不规范或无过程,答案错误。解法的创新性A 等, 解法有新意和独到之处, 答案正确。等, 解法思路有创新, 答案不完整或错误。等, 常规解法,思路不清楚, 过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等;ABB、BBB、AAC 综合评 价为 B 等; 其余情况综合评价为 C等。作业分析与设计意图作业第(1)题要求学生理解正切的概念,会在直角三角形中求锐角的正切。第(2) 题通过扩大边长,判断正弦值是否变化,巩固了正弦的概念,同时也可以让学生思考,正切和余弦值是否也发生变化,让学生运用同种方法可以解决同类型题目。第(3)题通过网格三角形求角的余弦,巩固在网格中构造直角
11、三角形的方法及余弦的概念。也可以使学生利用此方法求在网格三角形的正切和正弦。第(4)题以 2022 年北京冬奥会为问题背景,通过画图解决实际问题,不仅巩固了坡度、坡角及正切的概念,而且锻炼了学生的画图能力,领悟数形结合的思想,也让学生感受到数学来源于生活,运用数学知识可以解决实际问题,也可以激发学生学习数学的积极性。第(5)题通过利用中线,在直角三角形中利用勾股定理求出线段的长度, 在直角三角形中准确求出所求角的三角函数。巩固了三角函数的概念使学生养成良好的学习习惯.作业 2 (发展性作业)1.作业内容如图, ABC 中,ACB 90 ,CD AB 于D 点,已知 sinBCD=3,则的值 c
12、os5A 为()。A. 9B 4255351625正比例函数与反比例函数y=15的图象在第一象限内交于点P(3,m),若OP 与x 轴x正方向的夹角为,求的各个三角函数值。如图,定义:在直角三角形中,锐角的邻边与对边的比叫做角的余切,记作cot,即 cot= 的邻边的对边cot60= .=AC.根据上述角的余切定义,解下列问题:BC如图,已知 tanA= 23,其中A 为锐角,试求 cotA 的值.直接写出 tan与 cot关系. 2.时间要求(10 分钟以内)作业评价作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性A 等, 答案正确、过程正确。等, 答案正确、过程有问题。等,答案不正确,有过程不
13、完整;答案不准确, 过程错误、或无过程。答题的规范性A 等, 过程规范,答案正确。等, 过程不够规范、 完整,答案正确。等, 过程不规范或无过程,答案错误。解法的创新性A 等, 解法有新意和独到之处, 答案正确。等, 解法思路有创新, 答案不完整或错误。等, 常规解法,思路不清楚, 过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等; ABB、BBB、AAC综合评 价为 B 等; 其余情况综合评价为 C 等。作业分析与设计意图通过同角的余角相等进行角的转化和勾股定理知识来解决此题,让学生熟练掌握三角函数的定义以及各个知识点之间的联系,也体现了数学中的转化思想第(2)题通过在平面直
14、角坐标系中,利用函数关系求点 P 的坐标,根据点的几何意义构造直角三角形,然后准确求出锐角的三角函数,不仅巩固了三角函数的概念, 而且使学生建立了数与形,函数与几何之间的联系。第(3)题以新定义问题为背景, 通过从定义中获得信息,并运用所学的正切概念来解决新的问题,不仅巩固正切的概念及直角三角形的性质,而且让学生知道遇到新的问题,可以用学过的知识来解决,用自己的储存知识来应对新的问题。第二课时(特殊角的三角函数值)作业 1 (基础性作业)作业内容:2(1).计算:. 2 sin 45 tan 45 . 4 sin 30cos 60 tan2 30已知A 为锐角,且4 sin2 A 3 0 ,则
15、A 如果cos A 1 | 3 tan B 3 | 0 ,则ABC 的形状是2 PAGE 241在 RtABC 中,C90,若cos B 2 ,求sin A 的值。时间要求( 10 分钟以内)评价设计作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性A 等, 答案正确、过程正确。等, 答案正确、过程有问题。等,答案不正确,有过程不完整;答案不准确, 过程错误、或无过程。答题的规范性A 等, 过程规范,答案正确。等, 过程不够规范、 完整,答案正确。等, 过程不规范或无过程,答案错误。解法的创新性A 等, 解法有新意和独到之处, 答案正确。等, 解法思路有创新, 答案不完整或错误。等, 常规解法,思路
16、不清楚, 过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等; ABB、BBB、AAC综合评 价为 B 等; 其余情况综合评价为 C 等。作业分析与设计意图作业第(1)题考察学生运用特殊角三角函数值进行计算的能力,第(2)题首先利用等式计算出A 的正弦值,根据锐角的正弦值为正数舍去负值,然后逆向思维得到A 的度数。第(3)题根据已知条件可分别算出A 的余弦值和B 的正切值,然后反向得到A 和B 的角度,由A 和B 互余可知ABC 为直角三角形。作业第(5)题根据互余角的三角函数间的关系:sin(900)=cos,cos(900)=sin解答即可。本题重在考察互余两角的三角函数关系
17、,掌握当A+B=900 时,sinA=cosB 是解题的关键。作业 2 (发展性作业)作业内容若 0A45,那么 sinAcosA 的值()A大于 0 B小于 0C等于 0D不能确定如图,边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30到正方形 ABC D,求图中阴影部分面积时间要求( 10 分钟以内)评价设计作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性A 等, 答案正确、过程正确。等, 答案正确、过程有问题。等,答案不正确,有过程不完整;答案不准确, 过程错误、或无过程。答题的规范性A 等, 过程规范,答案正确。等, 过程不够规范、 完整,答案正确。等, 过程不规范或无过程,答案错
18、误。解法的创新性A 等, 解法有新意和独到之处, 答案正确。等, 解法思路有创新, 答案不完整或错误。等, 常规解法,思路不清楚, 过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等; ABB、BBB、AAC综合评 价为 B 等; 其余情况综合评价为 C 等。作业分析与设计意图作业第(1)题:cosA=sin(90-A ),再根据余弦函数随着角的增大而减小进行分析即可;学生需熟记特殊角的三角函数值,了解锐角三角函数值的增减性是解题的关键。作业第(2)题:设 BC与 CD 交于点 E,由于阴影部分的面积=S 正方形ABCD-S 四边形ABED,又因为 S 正方形 ABCD=1,所以
19、关键是求 S 四边形 ABED。为此,连接AE。根据 HL 易证ABE 全等于ADE 得出BAE=DAE=300 .在直角ADE 中,由正切的定义得出 DE=ADtanDAE= 3,再利用三角形的面积公式求出 S3四边形ABED=2SADE。本题主要考察了正方形、旋转的性质,直角三角形的判定及性质,图形的面积以及三角函数等知识,综合性较强,有一定难度。第三课时(一般锐角的三角函数值)作业 1 (基础性作业)作业内容用计算器求 tan635241的值,按键顺序为: 显示 , 所以 tan635241”= (精确到 0.0001)已知三角函数值,用计算器求锐角 A,角度精确到 1。sinA0.89
20、79 ,cosA0.9781 .探究:在ABC 中,C 为直角,直角边 a=3cm,b=4cm,求 sinA+sinB+sinC的值(利用计算器进行求解)。时间要求(12 分钟以内)评价设计作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性A 等, 答案正确、过程正确。等, 答案正确、过程有问题。等,答案不正确,有过程不完整;答案不准确, 过程错误、或无过程。答题的规范性A 等, 过程规范,答案正确。等, 过程不够规范、 完整,答案正确。等, 过程不规范或无过程,答案错误。解法的创新性A 等, 解法有新意和独到之处, 答案正确。等, 解法思路有创新, 答案不完整或错误。等, 常规解法,思路不清楚,
21、过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等; ABB、BBB、AAC综合评 价为 B 等; 其余情况综合评价为 C 等。作业分析与设计意图第(1)题利用计算器求 tan635241,取近似数,要求学生熟练应用计算器, 对计算器给出的结果,根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数。第(2)题让同学们注意不同的计算器用法不同,要学会读懂计算器说明书,根据说明书正确使用计算器。第(3)题解题思路在直角三角形中,可得 sinA为 3 ,sinB 为 4 55,C=90,用计算器求出 sinC 为 1,通分计算得到答案。在直角三角形中,利用题目中给定的数值计算正弦值,了解锐角三角函数
22、的概念,能够正确应用正弦值表示不同的角度或边长。加强学生运用新知的意识,培养学生解决实际问题的能力和学习数学的兴趣。作业 2 (发展性作业)作业内容用不等号连结右面的式子:cos40 cos20, sin37 sin42,tan37tan42;探究:与是锐角,且;试比较:sinsin,cos cos, tan tan.如图,在 RtABC 中,ABC=75,在 AC 边上取一点 D,使得 CD=DB, 求 tan75的值(结果保留根号)。时间要求(10 分钟以内)评价设计作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性A 等, 答案正确、过程正确。等, 答案正确、过程有问题。等,答案不正确,有过程
23、不完整;答案不准确, 过程错误、或无过程。答题的规范性A 等, 过程规范,答案正确。等, 过程不够规范、 完整,答案正确。等, 过程不规范或无过程,答案错误。解法的创新性A 等, 解法有新意和独到之处, 答案正确。等, 解法思路有创新, 答案不完整或错误。等, 常规解法,思路不清楚, 过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等; ABB、BBB、AAC综合评 价为 B 等; 其余情况综合评价为 C 等。作业分析与设计意图第(1)题首先通过使用计算器,比较锐角三角函数值的大小,在进一步探究正弦值和正切值随锐角增大而增大、余弦值随锐角增大而减小的道理。掌握正弦, 余弦角度大小
24、的比较方法,提高学生分析问题,解决问题和概括总结的能力。第(2) 题通过角度的关系,在不使用计算器的情况下就能得出一般三角函数值,促使学生在探索这个问题的过程中,自然地体会到学习数学的必要性,体验到数学与现实生活的紧密联系。这样设计不仅有利于突破难点,而且为归纳结论打下了基础。第四课时(解直角三角形) 作业 1 (基础性作业)作业内容根据下列条件,解直角三角形:.在 RtABC 中,C90,B30,AB6,求 BC 的长.33 .在 RtABC 中,已知C90,A、B 所对的边分别为 a、b,a b 3 ,求B 的度数.在RtABC 中,C = 90,AB = 8,cosA = 3,求BC 的
25、长。41,如图,已知ABC 中, ABC 30,ACB 45, AB 8 .求ABC 的面积。时间要求( 10 分钟以内)评价设计作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性A 等, 答案正确、过程正确。等, 答案正确、过程有问题。等,答案不正确,有过程不完整;答案不准确, 过程错误、或无过程。答题的规范性A 等, 过程规范,答案正确。等, 过程不够规范、 完整,答案正确。等, 过程不规范或无过程,答案错误。解法的创新性A 等, 解法有新意和独到之处, 答案正确。等, 解法思路有创新, 答案不完整或错误。等, 常规解法,思路不清楚, 过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A
26、 等; ABB、BBB、AAC综合评 价为 B 等; 其余情况综合评价为 C 等。作业分析与设计意图作业第 1、2 题要求学生会运用直角三角形中各元素的关系解直角三角形,第1 题除直角外,已知B30,斜边 AB6,可选择正弦或余弦来解决。第 2 题除直角外已知两直角边,可选择正切来解决,方法不唯一。本题还穿插考察了二次根式的分母有理化。可总结规律:有斜用弦,无斜用切。第 3 题是教材例 2 的变式,过点 A 作 AD 垂直于 BC, 垂足为点 D,因为ABC 30,ACB 45这样就构造了两个特殊的直角三角形,进而便于求解。在解斜三角形时,一般通过作高构造直角三角形来解。做高时不能盲目作,要根
27、据题设条件特征,除了要注意特殊角的保护与构造外,还要注意使构造出来的直角三角形有利。体现了数学中的化归思想。作业 2 (发展性作业)1.作业内容如图,在 RtABC 中,BAC90,AD 是 BC 边上的高,若 sinCAD,BC25,求 AC 的长如图所示,在 RtABC 中,C90,AC 3,D 为 BC 边上一点,且 BD2AD,ADC60,求ABC 的周长(结果保留根号)(3).(安徽中考题)如图,游客在点处坐缆车出发,沿的路线可至山顶处.假设和都是直线段,且,求的长.(参考数据:, )(4).举一个生活中运用三角函数解决问题的例子 2.时间要求( 10 分钟以内)评价设计作业评价表评
28、价指标等级备注ABC答题的准确性A 等, 答案正确、过程正确。等, 答案正确、过程有问题。等,答案不正确,有过程不完整;答案不准确, 过程错误、或无过程。答题的规范性A 等, 过程规范,答案正确。等, 过程不够规范、 完整,答案正确。等, 过程不规范或无过程,答案错误。解法的创新性A 等, 解法有新意和独到之处, 答案正确。等, 解法思路有创新, 答案不完整或错误。等, 常规解法,思路不清楚, 过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等; ABB、BBB、AAC综合评 价为 B 等; 其余情况综合评价为 C 等。作业分析与设计意图作业第(1)题先根据同角的余角相等得出BC
29、AD,那么 sinBsinCAD,再解 RtABC,根据正弦函数的定义即可求出 AC 的长加深学生对三角函数的理解,同时增强了解直角三角形的应用。 要求学生具有一定的观察能力和数学思维能力。第(2)题要求 ABC 的周长,只要求得 BC 及 AB 的长度即可.根据RtADC 中ADC 的正弦值,可以求得 AD 的长度,也可求得 CD 的长度;再根据已知条件求得 BD 的长度,继而求得 BC 的长度运用勾股定理可以求得 AB 的长度, 求得ABC 的周长.本题考查了解直角三角形中三角数的应用,要熟练掌握好边角之间的关系。作业第(3)题通过利用两个锐角三角函数分别求解 BC、DF 的长度, 让学生
30、感受解直角三角形的初步应用,培养学生实际运用锐角三角函数解决实际问题的能力;第(4)题是开放题根据生活中的实际例子解答即可,也为下一节的应用做好铺垫,同时也培养了学生理论联系实际的能力。第五课时(解直角三角形的应用(1) 作业 1(基础性作业)作业内容如图,一学生要测量校园内旗杆的高度.他站在距离旗杆 12m 的E 处,测得旗杆的仰角 53,已知测角器的架高 1.5m,问旗杆的高度为多少米?(精确到 0.1m).(参考数据: sin53 4cos53 3tan53 4 )553如图,韩明在教学楼距地面 10 米高的窗口 C 处,测得正前方旗杆顶部 A 点的仰角为 37,旗杆底部 B 点的俯角为
31、 45,问旗杆的高度为多少米?(参考数据:sin370.60,cos370.80,tan370.75)亳州薛阁塔又名薛家塔、位于亳州市观音山遗址公园内,整座塔为八角七层楼阁式砖塔,,数学兴趣小组的同学欲测量薛阁塔 AB 的高度,他们先在 D 处测得古塔顶端点 B 的仰角为 45,再沿着 AB 的方向后退 25 米至 C 处,测得古塔顶端点 D 的仰角为 30求薛阁塔的高度为多少米?(精确到 1m,参考数据: 3 1.73)时间要求(25 分钟)评价设计作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性A 等, 答案正确、过程正确。等, 答案正确、过程有问题。等,答案不正确,有过程不完整;答案不准确,
32、 过程错误、或无过程。答题的规范性A 等, 过程规范,答案正确。等, 过程不够规范、 完整,答案正确。等, 过程不规范或无过程,答案错误。解法的创新性A 等, 解法有新意和独到之处, 答案正确。等, 解法思路有创新, 答案不完整或错误。等, 常规解法,思路不清楚, 过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等; ABB、BBB、AAC综合评 价为 B 等; 其余情况综合评价为 C 等。作业分析与设计意图作业第(1)题考查学生对仰角和正(余)弦公式公式的理解应用,以及解题格式的规范性和学生的计算能力,初步学会把实际问题转化为数学问题,再利用三角函数解直角三角形,渗透转化思想;
33、第(2)题在第(1)题基础上,考查学上把实际问题转化为数学问题能力,引导学生会主动发现隐含的条件辅助线 CD(直角三角形的边)构造直角三角形,分别解两个直角三角形从而把问题解决。培养学生良好的运算习惯和抽象思维能力以及数形结合思想;第(3)题中的线段CD 不再是直角三角形的边,需学生会利用方程的思想结合两个直角三角形的边角关系解决问题,解决问题的策略可以进行多维思考,提高学生分析问题和解决问题的能力。感受生活中处处有数学,体会转化和建构思想。作业 2(发展性作业)作业内容(1).(安徽中考题)为了测量竖直旗杆AB的高度,某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD,并在地面上水平放置个平面镜E,使
34、得B,E,D在同一水平线上, 如图所示.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时AEB=FED).在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3,平面镜E的俯角为45,FD=1.8米,问旗杆AB的高度约为多少米? (结果保留整数)(参考数据:tan39.30.82, tan84.310.02)(2).“雪龙 2 号”是我国第一艘自主建造的极地科学考察破冰船,并在 2021 年顺利完成我国第 37 次南极考察,“雪龙 2”船上午 9 时在 B 市的南偏东 25方向上的点 A 处,且在 C 岛的北偏东 59方向上,已知 B 市在 C 岛的北偏东 28方向上, 且距离 C 岛 232km。此时,“
35、雪龙 2”船沿着 AC 方向以 24km/h 的速度航行请你计算“雪龙 2”船大约几点钟到达 C 岛?(参考数据:sin31 1 cos31 526tan31 3sin53 4cos53 3tan53 4 )5553图 1 是疫情期间测温员用“额温枪”对小明测温时的实景图,图 2 是其侧面示意图,其中枪柄 BC 与手臂 MC 始终在同一直线上,枪身 BA 与额头保持垂直. 量得胳膊MN=26cm,MB=40cm,肘关节 M 与枪身端点A 之间的水平宽度为 25.3cm(即MP 的长度),枪身BA=8.5cm.测温时规定枪身端点A 与额头距离范围为35cm. 在图 2 中,若测得BMN=68.6
36、,小红与测温员之间距离为 55cm.问此时枪身端点A 与小红额头的距离是否在规定范围内?并说明理由(.结果保留小数点后一位)(参考数据:sin66.40.92,cos66.40.40,sin23.60.40, 21.414)时间要求(25 分钟)评价设计作业评价表评价指标等级备注ABC PAGE 31答题的准确性A 等, 答案正确、过程正确。等, 答案正确、过程有问题。等,答案不正确,有过程不完整;答案不准确, 过程错误、或无过程。答题的规范性A 等, 过程规范,答案正确。等, 过程不够规范、 完整,答案正确。等, 过程不规范或无过程,答案错误。解法的创新性A 等, 解法有新意和独到之处, 答
37、案正确。等, 解法思路有创新, 答案不完整或错误。等, 常规解法,思路不清楚, 过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等; ABB、BBB、AAC综合评 价为 B 等; 其余情况综合评价为 C 等。作业分析与设计意图作业第(1)题通过证明FDEABE,利用相似三角形的判定与性质从而得 AB AE ,在RtFEA中,由tanAFE= AE ,通过运算求得AB的值即可.本题不DFEFEF仅考查了解直角三角形的应用,同时也让学生巩固了相似三角形的有关知识,同时让学生接触中考题,培养学生的计算能力和对知识的综合运用能力;作业第(2) 题是方位角问题,正确作出辅助线构造直角三角形
38、,利用方程思想结合两个直角三角形的边角关系是解题的关键,引导学生学会在复杂的情境分析问题和解决问题,并积累处理此类问题经验,培养探究意识和克服困难的勇气,提升数学运算和逻辑推理等素养,向学生展示科技的力量和祖国的强大,提升学生的爱国主义情怀。第(3)题,以疫情防控维背景,学生会主动从大量的文字描述中获取数学信息,作出辅助线构造直角三角形本题得以解决。积累数据处理技巧提升数据处理能力,培养学生分析问题解的意识,解决问题的能力。学生明白祖国虽然强大但仍然面临巨大的挑战。少年强则国强,加强学生为中华崛起而读书的信念。第六课时(解直角三角形的应用(2) 作业 1(基础性作业)作业内容随着亳州十河花海大
39、世界的不断升级改造,近年吸引越来越多的游客来到药都亳州欣赏春景,某摄影爱好者用无人机这一美景进行航拍如图,在无人机镜头C 处,观测风景区A处的俯角为30,B处的俯角为45,已知A,B两点之间的距离为200米,则无人机镜头C处的高度CD为多少?(点A,B,D在同一条直线上,精确到小数点后一位, 3 1.73)每年的一月到七月为我国近海禁渔期,我渔政船在A处发现正北方向B处有一艘可疑船只,测得A,B两处距离为200海里,可疑船只正沿南偏东45方向航行我渔政船迅速沿北偏东30方向去拦截,经历4小时刚好在C处将可疑船只拦截求该可疑船只航行的平均速度(结果保留根号)时间要求( 20 分钟以内)评价设计作
40、业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性A 等, 答案正确、过程正确。等, 答案正确、过程有问题。等,答案不正确,有过程不完整;答案不准确, 过程错误、或无过程。答题的规范性A 等, 过程规范,答案正确。等, 过程不够规范、 完整,答案正确。等, 过程不规范或无过程,答案错误。解法的创新性A 等, 解法有新意和独到之处, 答案正确。等, 解法思路有创新, 答案不完整或错误。等, 常规解法,思路不清楚, 过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等; ABB、BBB、AAC综合评 价为 B 等; 其余情况综合评价为 C 等。作业分析与设计意图作业第(1)题通过两个俯角构造两
41、个直角三角形ACD,BCD,在AB已知的条件下设BD边长,通过在直角三角形ACD中用边AD表示边CD,之后在直角三角形 BCD中,用边BD表示边CD,进而列出方程求解边BD;也可以通过有一个为45的直角三角形是等腰直角三角形得出CD=BD来进行求解。本题三角函数的应用,熟练掌握三角函数的定义及解直角三角形是关键。第(2)题通过在一般三角形中做辅助线CD垂直于AB垂足为D,构造两个含特殊角的三角函数进行求解以BC,AC为斜边的两个直角三角形BD,AD,进而得出AB之间的距离,在通过路程、速度、时间的关系求出船只航行的平均速度。本题主要是让学生经历从一般到特殊的过程,掌握构造直角三角形的方法,提升
42、学生解决实际问题的能力,以及审题能力。作业 2(拓展性作业) 1.作业内容(1).(安徽中考题)如图,山顶上有一个信号塔 AC ,已知信号塔高 AC 15 米,在山脚下点 B 处测得塔底C 的仰角CBD 36.9 ,塔顶A 的仰角ABD 42 求山高CD (点 A, C, D 在同一条竖直线上)(参考数据:tan36.9 0.75, sin36.9 0.60, tan42.0 0.90 )(2)足球射门时,在不考虑其他因素的条件下,射点到球门AB的张角越大,射门越 好当张角达到最大值时,我们称该射点为最佳射门点通过研究发现,如图1所示,一学生带球在直线CD上行进时,当存在一点Q,使得CQA=A
43、BQ(此时也有DQB=QAB)时,恰好能使球门AB的张角AQB达到最大值,故可以称点Q为直线CD上的最佳射门点如图2所示,是一个矩形形状的足球场,AB为球门一部分,CDAB于点D ,AB=6米,BD=2米某球员沿CD向球门AB进攻,设最佳射门点为点QtanAQB = 已知对方守门员伸开双臂后,成功防守的范围为 5 米,若此时守门员站在张2角AQB内,双臂张开MN垂直于AQ进行防守,为了确保防守成功,MN中点与AB 的距离至少为 米如图,神医华佗是亳州历史文化名人,在亳州老城门楼有一座令人敬仰、悬壶济世的华佗像,雕塑由华佗像和基座两部分组成,现要求测出华佗像的高度,现有工具:一根 1m 长的标杆
44、,卷尺,和测角器。请同学们利用现有的工具,设计一个测量华佗像高度的方案。具体要求如下:测量时数据尽可能少;画出你所设计的几何图形,并将所测得的数据标在相应的位置;根据你所测量的数据,计算出华佗像的高度。时间要求(25 分钟以内)评价设计作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性A 等, 答案正确、过程正确。等, 答案正确、过程有问题。等,答案不正确,有过程不完整;答案不准确, 过程错误、或无过程。答题的规范性A 等, 过程规范,答案正确。等, 过程不够规范、 完整,答案正确。等, 过程不规范或无过程,答案错误。解法的创新性A 等, 解法有新意和独到之处, 答案正确。等, 解法思路有创新, 答
45、案不完整或错误。等, 常规解法,思路不清楚, 过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等; ABB、BBB、AAC综合评 价为 B 等; 其余情况综合评价为 C 等。作业分析与设计意图作业第(1)题设山高CD=x米,先在RtBCD中利用三角函数用含x的代数式表示出BD,再在RtABD中,利用三角函数用含x的代数式表示出AD,然后可得关于x的方程,解方程即得结果本题设计意图是为了进一步巩固学生对仰角、俯角的掌握,会熟练运用锐角三角函数解直角三角形的一般步骤、一般方法;作业第(2)题证明BDQQDA,利用相似三角形的性质求出QD,过点B作BHAQ 于点H利用面积法求出BH,再
46、利用勾股定理求出QH,可得结论;第(2)问设NM的中点为O,过点N作NKAD于点K,根点O作OJNK于点J解直角三角形求出NJ,NK,可得结论本题考查了矩形的性质,解直角三角形,相似三角形的判定和性质等知识,要求学生将已学的知识能够灵活运用、融会贯通。结合中考命题趋势,文字量加大,训练学生的阅读和理解题意,并从中提取准确的、有效的数学信息的能力。教师在讲解本题时,最后再把角度固定的话,这一问可牵涉到圆周角的引入,为以后学习圆周角做好铺垫;作业第(2)题主要让学生利用身边的工具对未知物体进行测量高度,综合运用解直角三角形的知识,加深对知识的理解和认识;在小组合作的过程中,积累数学活动经验,锻炼学
47、生的语言表达能力、动手实践能力、团队合作的能力及创新意识;在解决问题的过程中发展学生的数据分析观念、数学建模思想。第七课时(解直角三角形的应用(3) 作业 1(基础性作业)作业内容已知一段坡面,其铅直高度为 4m,坡面长为 8m,则坡度 i= ,坡角= 。直线 y=x 的向上方向与 x 轴正方向所夹的锐角为 。直线 y=2x 与直线 y=4x 的向上方向与 x 轴正方向所成的角分别为,那么有 (填“,=,”)。时间要求(10 分钟以内)评价设计作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性A 等, 答案正确、过程正确。等, 答案正确、过程有问题。等,答案不正确,有过程不完整;答案不准确, 过程错
48、误、或无过程。答题的规范性A 等, 过程规范,答案正确。等, 过程不够规范、 完整,答案正确。等, 过程不规范或无过程,答案错误。解法的创新性A 等, 解法有新意和独到之处, 答案正确。等, 解法思路有创新, 答案不完整或错误。等, 常规解法,思路不清楚, 过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等; ABB、BBB、AAC综合评 价为 B 等; 其余情况综合评价为 C 等。作业分析与设计意图作业第(1)题要求学生理解在实际情境中铅直高度,坡面,坡角和坡度的概念。同时会运用直角三角形中各元素的关系解直角三角形,第(2)题除利用坡角和坡度 tan=i 之外,已知铅直高度为
49、4,坡面长为 8,可选择正弦来直接解决坡角。第(2),(3)题要求学生理解直线向上方向与 x 轴所形成的夹角的概念, 理解 tan=k 的内在联系,这两题的解法不唯一可选择利用函数图像来解决,也可以通过 tan=k 来解决,除此之外第(3)题也是沪科版教材 8 年级一次函数性质中的练习,可以通过观察图像得到,之间的大小关系,在利用 tan=k 是,考察了正切值随着锐角增大 tan的变化规律:tan随着锐角增大而增大,页可以利用正切的概念来进行得出,之间的大小关系,在利用实际问题中得到的结论时要注意题目的情境,准确掌握概念不能盲目根据题设条件来使用结论,同时一定要结合已学来进行检查检验,同时还要
50、注意函数与图形的联系。体现了数学中的数形结合思想。作业 2(拓展性作业)作业内容(1).如图,一段河坝的横截面如图所示,BCAD,CE 垂直于 DE 于 E,测得河坝高CE=4m,坝顶 BC=4m,坡面 AB=5m,坡高 CD=8m,求(1)斜坡 AB 的坡度;(2) 斜坡 CD 的坡角。(3).如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点 B 在第一象限,OB 与 x 正半轴的夹角为 45 ,OB= 18,点 A 的坐标为(7,0)。求:点 B 的坐标;cosBAO 的值。时间要求( 15 分钟以内)评价设计作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性A 等, 答案正确、过程正确。等, 答案
51、正确、过程有问题。等,答案不正确,有过程不完整;答案不准确, 过程错误、或无过程。答题的规范性A 等, 过程规范,答案正确。等, 过程不够规范、 完整,答案正确。等, 过程不规范或无过程,答案错误。解法的创新性A 等, 解法有新意和独到之处, 答案正确。等, 解法思路有创新, 答案不完整或错误。等, 常规解法,思路不清楚, 过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等; ABB、BBB、AAC综合评 价为 B 等; 其余情况综合评价为 C 等。作业分析与设计意图作业第(1)题现根据 BCAD 得到两平行线之间的距离相等,过点 B 作 CE 的平行线,构造直角三角形,求出三角
52、形直角边长,进而斜坡 AB 的坡度;在直角三角形 CDE 中求出D 的度数即为斜坡 CD 的坡角,也可以利用直角三角形中 30所对直角边等于斜边的一半。加深了学生对有关掌握,增强了理解直角三角形的有关运用的场景,进一步提升的学生的观察和计算能力;作业第(2)题可以通过解锐角三角形化为直角三角形进行求解,过 B 作 x 轴的垂线,构造两个直角三角形进行求解点 B 的坐标,同时也可以通过把线段 OB 当做直线的一部分利用函数图像进行求解。然后再根据解直角三角形求解 cosBAO 的值。本题主要考察的意图加深对锐角三角函数的考察,结合所学知识,练习一次函数,进一步提升学生的数形结合能力。六、单元质量
53、检测作业(一).单元质量检测作业内容在 RtABC 中,C=90,BC=5,AB=13,求 sinBAC 的值()5B. 1191312C. 512D.1213在 RtABC 中,C=90,若 sinB=1,则 cosA 的值()3A.13B.2 2 3C. 2 4D.3 1010用计算器求 sin6220的值,正确的是()A.0.8851B.0.8852C.0.8856D.0.8857在我校附近涡河大堤的横截面如图所示,河堤高BC=5m,迎水坡AB 的坡度比1:3,则 AC 的长是( )A.5 3B.10C.15D.15 3如图,A,B,C 是正方形网格中的个点,则 sinABC 的值为 。
54、在ABC 中,A=70,cosB=1,则C 的度数是 。2在锐角三角形ABC 中,cosB= 22,sinC=3,AC=10,求ABC 的面积为。5如图,随着时代的发展便携式餐桌极大的节约了我们的生活空间,现在在市场上有一种如图的折叠餐桌,它是由下面的支架AD、BC与桌面构成,OA=OB=OC=OD=20 3cm,COD=60,则点B到底面的距离是 。9. sin245 cos30 + 2tan60在菱形ABCD 中,AB=AD=6,ABC=50 ,求菱形ABCD 的面积(精确到 0.01)。随着城市的不断建设,高层建筑比比皆是,在某小区甲,乙两栋楼的楼间距 AC 为 20 米,某人在甲楼娄底
55、 A 处测得乙楼的楼顶 B 的仰角为 60,在乙楼楼底 C 处测得甲楼楼顶 D 的仰角为 45,则甲、乙两楼的高度差是多少?(安徽中考题)学生到工厂劳动实践,学习制作机械零件零件的截面如图阴影部分所示,已知四边形AEFD为矩形,点B、C分别在EF、DF上, ABC 90,BAD 53 ,AB 10cm ,BC 6cm 求零件的截面面积参考数据:sin 53 0.80, cos 53 0.60(二) .单元质量检测作业属性表序号类型对应单元作业目标对应学习水平难度来源完成时间了解理解应用1选择题1易原创30 分钟2选择题3易原创3选择题3易改编4选择题1,6中改编5填空题1,3易原创6填空题3易
56、原创7填空题4中改编8填空题5中改编9解答题2中原创10解答题3,4较难改编11解答题2,5较难原创12解答题1,3,6较难中考题 知识备份(根据实际情况删减)概念被认为是儿童智力的基本组成部分,对基本概念的获得与儿童整体智力发展密切相关(Bruce, Bracken,1998),在数学领域亦是如此,儿童对数学概念的理解是进行数学问题解决和交流的前提和基础,例如,儿童理解定量的相关概念,如“多”、“少”、“很多”、“较少”可以让而儿童掌握量的比较并进行描述(Barner, Chow & Yang, 2009);掌握空间概念能够让儿童对数轴上的数字关系以及空间物理对象之间的关系进行感知并交流和讨
57、论(Ramani, Zippert, Schweitzer, etal.,2014),同时,早期儿童的数学学习是操作性的,但是这种操作是建立在对基本数学概念理解基础之上的,当儿童不能准确理解数学概念时,也无法掌握更进一步的数学内容(Barner, Chow & Yang, 2009),因此,数学概念的理解是儿童进行数学交流的前提和保障。一、3-6 岁儿童数学概念理解能力的现状水平(一)3-6 岁儿童数学概念理解能力的整体 表现为了解 3-6 岁儿童在基本概念理解上的整体表现,对 433 名儿童在各个题项上的答题正确率进行统计,结果如表 5-2-1 所示:表 表 5-2-1 3-6 岁儿童在基本
58、概念理解上的表现测试项目 分量表题项总数 平均答对题数 1 项目通过率 2颜色 11 10 90.9%数字/计数 19 16 84.2%量/大小 13 10 76.9%比较 10 7 70%形状 20 15 75%基本概念理解 73 60 82.2%由表 5-2-1 可知,3-6 岁儿童在基本概念上理解上的整体表现较好,整体通过率为 82.2%。在各分量表上而言,儿童在颜色理解上的表现最优,通过率为90.9%,其次为数字和量通过率为 84.2%,76.9%,儿童在形状和比较上的表现稍微较弱,通过率仅为 75%和 70%。具体来说,儿童在颜色这一概念上的理解能力非常好,其中对黑色、白色、绿色、蓝
59、色、黄色、粉色 6 中颜色的识别率最高,其正确率在 95%以上,其次为红色、紫色和橙色,正确率在 90%左右,再次为灰色,正确率为 82.4%,儿童在褐色理解的表现上不佳,正确率进位 79.7%。儿童在数字/计数上理解总正确率 84.2%,其中对 “数字 1,2,3,4”的理解识别理解率最高,正确率均在 95%左右;其次对 5-9 数字的理解正确率要高于数字10 以上的,但是“数字 9”和“数字 6”的正确率稍微偏低,在 85%左右;儿童对两位数的理解正确率要低于“个位数”,并且数字的增大,儿童的正确率降低,“数字 95”、“数字 41”、“数字 27”的理解正确率会显著低于其他数字,在70%
60、左右。在图形计数方面,随着量的增多,儿童的正确率下降,儿童对“一头熊”、“三朵花”的正确率要高于“六只鸭子”和“九只蜜蜂”,其中“九只蜜蜂”的正确率最低,为 75.1%。儿童在量/大小上的理解情况略低于数字/计数上的表现,总正确率为 76.9%,说明儿童已经能够掌握量、大小等概念。具体来说,儿童对最大、最小、最细、最长概念的理解情况要优于对最深、最浅、最密的理解。儿童在比较概念上的理解程度较差,在此项目上的通过率为 70%,具体来看,儿童对“配成一对”、“完全匹配”、“某物体最像”、“读的不是书”等概念的理解还存在一定的困难,尚不能从否定方面或者事物特征的某一方面做出选择和分辨差异。儿童对形状
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