D3考研基础班(1)中值定理及其应用专题77325课件

1、二、洛比达法则及其应用一、 微分中值定理及其应用中值定理及导数的应用第三章三、导数应用-研究曲线的性态1第1页，共35页。二、中值定理的应用一、几个中值定理中值定理及其应用专题：2第2页，共35页。罗尔定理：拉格朗日定理：柯西定理：1. 微分中值定理一、 几个中值定理3第3页，共35页。其中余项当时为麦克劳林公式 .若函数内具有 n + 1 阶导数, 泰勒中值定理：4第4页，共35页。 拉格朗日中值定理 微分中值定理之间的相互关系 罗尔定理 柯西中值定理 泰勒中值定理 5第5页，共35页。2. 零点定理与介值定理1)零点定理 ：至少有一点且使(又叫根的存在定理).2)介值定理：则对 A 与 B

2、 之间的任一数 C ,推论: 在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最大值之间的任何值 .6第6页，共35页。3. 费马定理取得极值4. 积分中值定理实质:把积分转化为被积函数在某点的函数值.积分中值定理微分中值定理说明：牛顿 莱布尼茨公式7第7页，共35页。研究函数或导数的性态导数的应用及求不定式的极限1. 证明恒等式.2. 证明不等式.3. 证明有关中值问题的结论.关键: 利用逆向思维设辅助函数经验1:二、中值定理的主要应用利用中值定理证明不等式的步骤:(3) 根据 a b 的关系,证明出不等式.(2) 利用中值定理,(1) 设出辅助函数和区间，经验2：经验3: 欲证(1)设函数(2)验证

3、函数 在区间 上满足罗尔定理.8第8页，共35页。1.证明恒等式例1. 证明等式证: 设由推论可知 (常数) 令 x = 0 , 得又故所证等式在定义域 上成立.自证:9第9页，共35页。例1. 证明不等式证: 设的条件,即因为所以因此应有2.证明不等式10第10页，共35页。例2. 设函数在上二阶可导,且证明证:由泰勒公式得两式相减得11第11页，共35页。3. 证明有关中值问题的结论题型一.保号性 定理例1. 设试证：证: 不妨设必有使故保号性 定理必有使故又在上连续,由零点定理知, 存在12第12页，共35页。例2. 设分析：13第13页，共35页。例2. 设14第14页，共35页。题型

4、二.15第15页，共35页。例3. 设分析：保号性 定理证: 不妨设必有保号性 定理必有16第16页，共35页。例3. 设17第17页，共35页。例4. 设分析：想用罗尔定理时找辅助函数的方法证:18第18页，共35页。例5. 设证:19第19页，共35页。题型三.例6. 设分析：20第20页，共35页。例6. 设解：21第21页，共35页。例6. 设22第22页，共35页。例6. 设23第23页，共35页。题型四.24第24页，共35页。例7. 设在内可导, 且证明至少存在一点上连续, 在分析: 问题转化为证：证明：设辅助函数显然故至少使即有存在一点25第25页，共35页。例8.设证明：设辅

5、助函数只需验证：分析:26第26页，共35页。例8.设证明：27第27页，共35页。例9.设证明：设辅助函数：只需验证：分析:28第28页，共35页。题型五.29第29页，共35页。例10.设分析:30第30页，共35页。题型六.例11.试证存在证: 欲证将代入 , 化简得故有即要证31第31页，共35页。已知函数内可导, 且证: (1) 令使 即(2019 考研数1,2)(2) 根据拉格朗日中值定理, 使练习.32第32页，共35页。练习：分析：解：33第33页，共35页。总之， 有关中值问题的解题方法:利用逆向思维 , 设辅助函数 .一般解题方法:证明含一个中值的等式或根的存在 ,(2) 若结论中涉及含中值的两个不同函数 ,(3) 若结论中含两个或两个以上的中值 ,可用原函数法找辅助函数 .多用罗尔定理,可考虑用柯西中值定理 .必须多次应用中值定理 .(4) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式 ,有时也可考虑对导数用中值定