《数字信号处理教程》程佩青(第三版)清华大学出版社课后答案

1、 # 数字信号处理教程课后习题及答案 #目录第一章离散时间信号与系统第二章Z变换第三章离散傅立叶变换第四章快速傅立叶变换第五章数字滤波器的基本结构第八章无限长单位冲激响应(IIR)数字滤波器的设计方法第七章有限长单位冲激响应(FIR)数字滤波器的设计方法第八章数字信号处理中有限字长效应 # 第一章离散时间信号与系统.虫接计算下面两个序列的卷积和y(n)=x(n)h(n)h(n)=0X()=00请用公式表示。分析：注意卷积和公式中求和式中是哑变最加(77看作参帚)，结y(n)中变量是77,88y)=x(m)h(n-m)=)x(一7)；m=oom=oo分为四步(1)翻褶(),(2)移位()，(3)

2、相乘，(4)相加，求得一个的wo值,如此可求得所有值的)，()；淀要注意某些题中在的不同时间段上求和范则的不同 解:y(h)=x(n)*h(h)=工x(m)g一m)w=X(1)当ftw0时y(n)=0当n0nllQ+N-l时，全重叠n()=工x(M(一加)?n=n-N+l=土严严=春ww=?-5T+lPw=?-5T+l(严-俗广11-务yjn+l-Ar-n0aN(QH0)y(n)=N/f,(a=0)如此题所示，因而耍分段求解。.已知线性移不变系统的输入为丿，系统的单位抽样响应为试求系统的输出y(n),并画图。g)=R5W力(“)=Rg)/?(?)=0.5nA3(w)h(n)=0.5wu()x(

3、)=8(11)x()=R3(n)x()=8(n-2)x()=2ww(-m-1)分析:,例如小题(2)为如果是因果序列尹()可表示成y(n)=y(0),尹y(2)y(n)=l,2,3,3,2,1；5()*x()=x()，8(n-m)*x(w)=x(n-m)；卷积和求解时，的分段处理。解:(1)y(n)=x(n)*h(n)=R5(n)y(n)=x(7?)*h(n)=1,2,3,3,2,1y(n)=-2)*0.5恥)=0.5w_23(n-2)x(t?)=2u(-n-1)/(h)=0.5u(n)当770y(n)=0.5一2=丄2一TOC o 1-5 h z加=一83川4当7?-1y(n)=o.5”t”

4、2=2”加=一83.己知力(“)=67一(-1),01,通过宜接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为h(n)的线性移不变系统的阶跃响应。解：x(n)=u(ii)h(n)=anu(-n-1),0t?1y(n)=x(m)*h(n)当w一1时y()=土f戶一cc-1刃)=八戶一cca1-a判断下列每个序列是否是周期性的，若是周期性的，试确定其周期：(q)x(n)=Acos(n-)783(丁(b)x(n)=Asin(-兀n)(c)x(n)=eJ6分析：序列为x()=Acos(a)on+肖)或兀()=Asin(a)Qn+#)时，不一定是周期序列,M，l2tv/o=整数，则周期为2/ricoq;当辽上、

5、I有理数P、0为互索的整数)则周期为Q；%Q当2兀g=无理数,则x()不是周期序列。解：(d)X(77)=ACOS(竽”-y)2龙/。0=2兀/乎=守.是周期的，周期为14。(Z?)x(w)=Asm(号mi)25。员辺筒肯儷周舸舐周期會馬)+皿(&)nJJ=一cos三一丿sin令662兀/血0=12龙丁是无理数设系统礎艸黝：y()=ay(n-1)+xn)其中x(n)为输入y(n)为输出。当边界条件选为(1)丁(0)=0刃-1)=0试判断系统是否是线性的?是否是移不变的?分析：已知边界条件，如果没有限定序列类型(例如因果序列、反因果序列等),则递推求解必须向两个方向进行(nn0及n0)。解：(1

6、)X(0)=0时,设小()=5()，按y1(w)=y1(-l)+%!()z)向0处递推，儿=I()+B(1)=0儿(2)=矽1(1)+可(2)=0旳)=1一1)+X(7?)=0歹1()=0,心0巧向0处递推，按儿(“)=ay)-1)+厂(“)儿(1)W(0)+X2(l)=ly2(2)=ay2(1)+x2(2)=aIIIy2()=ay2(m-1)+x2(m)=a”t/.y2(w)=flW1,/?1向w0处递推旳(1)=3()+X3(1)T儿=3(1)+勺(2)=a旳(3)=，3(2)+心(3)=用IIIy3()=。儿(“-1)+X3(“)=a7小何以曲，”21万)向“VO处递推尹3(-1)=扣3

7、(0)_巾(0)=_a-儿(一2)=y3(-1)一X3(-1)=-a2a111儿()=+儿(+1)-勺(”+1)=一(1、”W_1综上),)可得：尹3()=af/(”-1)-1)=x(”)+y2()所给系统在y(0)=0条件下是线性系统。试判断：是否是线性系统?并判断(2),(3)是否是移不变系统？分析：利用定义来证明线性：满足可加性和比例性，T6Z1X1()+a2x2(n)=ajxny+a2Tx2(n)移不变性：输入与输出的移位应相同Tx(n-m)=y(nm)o解：(1)ny()=Lx(川)m=一oc)；!(/)=T.r1(zz)=丈X(加)m=yc.y2(n)=Zx2(;?)=Yx2(m)

8、m=-ocnG)+by2(n)=工血(加)+bx2(n)加=一00TaxA(n)+bx2(n)=工axn)+bx2(n)m=-8Taxv(77)+bx2(n)=ayl()+by2(n)系统是线性系统解乂2)尹5)=血)2必(刃)认)=讪)2j/2(w)=Tx2()=x2()2矽1(n)+by2()=ax(n)2+bx(n)2系统不是线性系统Tax(ii)+bx2(/)=切(77)+如仞)2=ax1(77)2+bx2(“)2+2abxY(ii)x2(n)即Tax(7/)+bx-,(7?)Hay(“)+by-,(77)Tx(n-m)=x(n-/?)2-m)二x(r?-ni)2即Tx(n-m)=y(

9、n-ni)系统是移不变的 .力()=血皿(警+号)尹2“）=兀2）sin（警+号）解：)=讹阪(寻+号)伽()+”2(“)=祇(问1(警+号)+加2(“)sin(警+号)+号试判断以下每一系统是否是(1)线性，(2)移不变的?Tx(77-?;?)=x(ii-my(n-m)=x(-加)sin(+号艮卩Tx(n-/?/)=y(n-m)系统是移不变的Taxl（n）+bx2（）=切（）+bx2（）sin（警+号）即有TaxA（77）+bx2（77）=伽（）+莎2（）系统是线性系统Tx（）=工x伙）k=QoTx（ji）=严）rx（w）=g（”）x（）（3）Tx（n）=x（n-nQ）分析：注意：Tx(n)

10、=g(n)x(n)这一类表达式，若输入移位m,则有x(n)移位变成x(n-m),而g(n)并不移位，但y(n)移位m则x(n)和g(n)均要移位m。解:(1)rx(7?)=g(77)X(7?)Taxx(h)+bx2(h)=g(/?)6?X1(77)+Z?X2(n)=g(77)Xax(H)+g(H)Xbx2(77)=aTx(/?)+bTx2(n)系统是线性系统。Tx(ri_加)=g()x(n-m)尹(-m)=g(-m)x(n-m)艮卩Tx(；7_加)hy(n-m):.系统不是移不变的。Tx(n-m)=訂()尹(-m)=ex(w-w)即Tx(77-Hl)=y(ii-in)/.系统是移不变的。解：(

11、2)Tx(n)=x(A-)=”oTax(n)+bx2(?/)=处1+bx2(k)k=nonn=2心伙)+Zbx2(k)k=o=aTX(/?)+bTx2(/7)系统是线性系统。Tx(h-?)=x(k-m)n-m=为讹)”一my-/n)=D()k=g即Tx(ii-m)hy(ii-m)系统不是移不变的。解：(3)Tx()=xn-n0)Tox1(77)+bx2(77)=ax(m-“o)+bx2(n-w0)=aT兀()+bTx2(z?)以下序列是系统的单位抽样响应恥)，试说明系统是否是(1)因果的，(2)稳定的？(1)2)(2)L心)n35(”)0)3(-7?)(5)0.3”2心)(6)0.35(-1)

12、(7)8(+4)O0来判断稳分析:Yh(n)=M注意：0!=1,已知LSI系统的单位抽样响应，可用”定性，用h(n)=0,n0來判断因果性。解：当v0时,力(”)=0,是因果的。 # # # :.不稳定。 #当”0时,h(n)=0,是因果的。811na-CD51.2!=1+1+1+2*113*2*1 # #1+1+丄+丄+丄+=248 # 当v0时,/:()=0,是因果的。00|力(“)=3+31+32+oon-oo不稳定。当770时，7/(7?)丰0,是非因果的。TOC o 1-5 h z003|/7(77)|=3+31+3-2+=-RY2稳定。当770时,力()=0,.系统是因果的。81n

13、h(n)|=03+0.31+0.32+.=一noo.系统是稳定的。当”v0时,/(?)丰0系统是非因果的。00|=0.31+0.32+n8系统不稳定。当n0时,h(n)工0系统是非因果的。00为|心)|=17?=-00系统稳定。列出下图系统的差分方程,并按初始条件y(n)=0,(2)=+(l)+x(2)+x(l)=2(1+1)+(1/V(3)=訂+x(3)+x(2)=2(l+”*)+(少y(n)=”(”-1)+x(n)+x(n-1)=2(1+”.+(捫)+(”设有一系统，其输入输出关系由以下差分方程确定)0)-1)=x()+(-1)设系统是因果性的。试求：该系统的单位抽样响应；由(a)的结果，

14、利用卷积和求输入x()=严(”)的响应。分析：小题(a)可用迭代法求解小题(b)耍特别注意卷积后的结果其存在的n值范围。1S1STatcor（）妙戶+（T-=jf）-M-aTTcof-*“（）仃-）诃。（）%严77137L朋=仃+）n（uMd（t-W）（T）Z=（I-（Mg戶+（）7%戶水（【一-73T（“）戶q（）纟+（i-）i（$）=（q）（）0+（1-”7（）=（MT（T-M）Xy+（tl）X+（-）y=（tl）lIIIz（y）=幷+（）x+（乙M与=（“/=（I）xy+x+（tM*=/T乙丄乙t=T+T=（0）幷+（T）x+（0）伴=（gI=（T-）y+（0）x+（T-）y=（oM（0

15、）0=（idi=（M（“）0=（w）x（u）（I一町尤辛+（）x=（-“）X辛一（“M:搦有一理想抽样系统，抽样频率为2=6龙,抽样后经理想低通滤波器刃,丿仗）还原，其中:丄，|/2|3龙今有两个输入兀I）=cos2r,x_（f）=cos5Z,问输出信号峋，儿卫）有无失真？为什么？分析：耍想时域抽样后不产生失真的还原出原信号，则抽样频率（龙）必须大于最高信号频率（兀）的2倍，即满足尤2兀。解：根据奈奎斯特定理可知：.%（/）=cos2频谱中最高频率0山=2兀字=3龙-2儿卫）失真。12.已知一个线性时不变系统的单位抽样响应/?（；?）除了区间N。55N之外皆为零；乂已知输入信号x（）除了区间N

16、2nN3之外皆为零；女n果假设输出信号班“）除区间N5之外皆为零，试以No,N、，N2,N3表示Nq,N分析：由于咖驾可知咖的非零范围为心Sh（n-m）的非零范围为“解：按照题意，在区间NQnN之外单位抽样响应加“）皆为零；在区间N2nN.之夕卜输入x（n）皆为零， # 因此y(fJ)=Xx(7)(一加)，由X(m)的非冬空间为mN25mN3h(fi-m)的非零空间为Nn-inN、将两不等式相加可得:N+N2nNNz，在此区间之外，h(n-k)和x伙)的非零抽样互不重叠，故输出皆为零。由丁题中给出输出除了区间N4nN5之外皆为零，所以有：N严皿N5=+N313.个具有下列有限长单位抽样响应加“

17、)的系统：h(n)=0,nN,(N0),请证处如果|x()|B,则输出的界N-1值为I尹()水工Ih(k)|,同时请证明|y(n)|可能达到这个k=Q界值，即寻找一个满足Ix(n)|B的序列x()，使y()对N-1某些值有|讥)|=3丫|方伙)丨。k=0N-分析：题中要求某些值使|y(/7)|=h(k),最方便的是=0时*0N-lN-1满足|y(0)|=吃h(k)f进一步看只要y(0)=吃h(k)满足即可Ar-0A-0 # #由卷积和公式有也就是要求满足N-17(0)=为h(k)x(-k),即要求x(-幻=k-QBh*(上)M(*)|Bx(n)=0h*(-n)(一M，当h(-n)工0 #证明：

18、由于题中给出/?(w)=0,(0,Nn)式中N0因此,可以把7(”)写成y(n)=h(k)x(n-k),而k=ON-Ar=O若|x(n-k)则输出的界值Ar-1y(n)Bh(k),为达到这个界值我们k=O凑一个序列,h(-n)H0,(一”)=0 # # # 丁是N7yW=工力伙)k=Ohk-n)B“伙一)1 # #因此N-lB=Bh(k)k=O第二章Z变换求以下序列的Z变换，并画出零极点图和收敛域。/IW(1)X(n)=卅1(IflI1)nnx(n)=wsin(0()为常数)x()=Arncos(a)Qn+)u(n),0?1分析：Zx(ii)=X(z)=x()z-Z变换定义”一,n的取值是x(

19、)的有值范围。Z变换的收敛域是满足00|x(w)zn=MVS的Z值范围。解：(1)由Z变换的定义可知：jt(z)=/匚-=-1zn=-ocn=-xw=0ococpJI=Z+工讥一”n=ln=0az11-a2L1I-azi_(i-az)(1_az1)z(d-l)zQ(z一)(za) # 2 收敛域：0z|vl,且fvlup：z极点为：z=ci、乙=丄零点为：z=0,z=8a解：（2）由z变换的定义可知:oc忍二）二zG）s（）八n=-ooZf1Y收敛域:rr1即:极点为:弓零点为心。(3)x(7/)fl2u(n-1)解：x(z)=Zn=-x11-w(w-1)zn=-()z=2z”=1122zl-

20、2z收敛域：|2z|io极点为：二=0,二=1零点为：Z=CO(5)x(”)=nSH10(%为常数)解：(5)设y(n)=sin(6yow)-u(n) # #2 # # #2 #则有r(z)=W=-Xz-2zHCOSQ+z2sina)0 #2 # 2 #而x(h)=ny(n)dz(1一2zcos+z因此，收敛域为：|z|l极点为：二=0皿，二=0一网(极点为二阶)零点为：二=1,二=一1,二=0,二=00(6)x(w)=Arf1cos(coQn+0)2心),0r)u(n)=(cos(Co)cos0-sni(l而x(m)=Arny(n)g)=/.Y(三)=4-fl-2zrcosa)Q+rz-则X

21、(z)的收敛域为:|z|r|o假如班“）的z变换代数表示式是下式，问X（z）可能有多少不同的收敛域。,11ZX=j-5_3(1+z2)(1+z一-Z1:2(l+iyz-Ci-iyzxi+lz-1)X(Z)的零点为：1/2,极点为：j/2,-j/2,-3/4X(Z)的收敛域为：+-z2)448分析:有限长序列的收敛域为:0|z|oo,心特殊情况有：0v|z|oo,0|z|oo,n20右边序列的收敛域为：Rg|z|oo,心6因果序列的收敛域为：Rx_v|z|8,心20左边序列的收敛域为：0v|z|vg,nti2特殊情况有：|z|v&+,心W0双边序列的收敛域为：g|z|v&.+有三种收敛域:圆内、

22、圆外.环状（=0,Z=oo要单独讨论）解:对X（Z）的分子和分母进行因式分解得X（z）=(1占)(1+占)（】+存+存5+存7）l/2IZIIZI(3)IZI3/4,为右边序列，请看v图形三用长除法，留数定理，部分分式法求以下X(z)的z反变换(1)X(z)=y(2)X(z)= # #2 #TOC o 1-5 h z7(1I(3)X(z)二一，z-1-aza分析:长除法：对右边序列(包括因果序列)(z)的分子、分母都要按Z的降幕排列，对左边序列(包括反因呆序列)“(Z)的分子、分母都要按Z的升幕排列。部分分式法：若/(z)用z的正幕表示，则按X(z)/z写成部分分式，然后求各极点的留数，最后利

23、用已知变换关系求Z反变换可得X(刀)。留数定理法：注意留数表示是Res(X(z)z”T)L_=(z_zJX(z)zi|_因而XZ”1的表达式中也要化成l/(z-zj的形式才能相抵消，不能用1/(1-以)来和(Z-Z.)相抵消,这是常出现的错误。(2)用用线内极点留数时不必取号(负号)，用用线外极点留数时要取X号(负号)。(1)(i)长除法: # #2 # # #2 #极点为z=-l/2,而收敛域为：|z|l/2,因而知x()为因果序列，所以分了分母要按降幕排列 # #2 # # #2 #2 #2 2 #-r-1亠亠24124一所以:心)=nr2 #2 #2 #(1)(ii)留数定理法:x(/7

24、)=fJznldz,设C为2羽f2Z丄内的逆时针方向闭合曲线：2当no时，Zw_1=Zn在C内有1+lz-1z+壬2z=-丄一个单极点22 #2 #2 #2 #2 #2 #由于g)是因果序列,故00寸，x(w)=0所以x(n)=g)2 #2 #2 #2 #2 #2 #(1)(iii)部分分式法: #2 #因为所以=(”)(2)(i).长除法：由于极点为z=l，而收敛域为|z4,414因而x()是左边序列，所以耍按Z的升幕排列：8+28z+U2z2+.2-8z7z7z28z?28z228z112zXz)=8+28z+112z2+=8+乞74”z”w-1-1=8+工7VzT(1、“所以兀(”)=8

25、6(n)+7-u(-n-1)(2)(ii)留数定理法:咖诗的论设c为M1,内的逆时针方向闭合曲线当ii0时:X(=)二z在c内无极点则:x(n)=0,n0综上所述，有：部分分式法：X(z)z-28-7x(n)=85(”)+7()nu(-n-1)则X(z)=8-一=8-z-1_4Z4因为Z- # #2 # # #2 #内的逆时针方向闭合曲线。半770时：X(z)zn在c内有乙=丄一个单极点ax()=Resx(z)zn_1-=lz- # #2 # # #2 #当=0时：X(z)z在c内有z=O,z=-两个单极点ax(0)=Resx厂1.+Res无z”t_=。a11cia=aa当”vO时:由于x何是

26、因果序列,此时x(n)=0o所以1wx(n)J(?7)+(a_u(n_1)(iii).部分分式法：zz(l-az)zI-azX(z)z-a-a1-a2=+ # 2 #贝IX(z)=-a+(a) # #2 #w(w)所以x(n)=(-a)5(w)+(a)aa # #2 # # #2 #(1u(n_1) # #2 # #2 #有一右边序列x(w),其z变换为X(z)=(1一尹T)(lzT将上式作部分分式展开(用z-1表示)，由展开式求x(/7)。将上式表示成z的多项式之比，再作部分分式展开，由展开式求xn),并说明所得到的序列与(a)所得的是一样的。注意：不管哪种表示法最后求出x5应该是相同的。解

27、：(a)_17因为X(z)=一:一+-1亠T1Z211.x(n)是右边丿y列/1n所以%()=(2-)w(n)i2丿X=(z-)(2-1)=1+22(z-|)(z-l)则x()=5(”)一(扌ji/(/7-1)4-2u(n-1)/1、”=(2-)咻)I,丿对因果序列，初值定理是X()=-(Z),如果序列为”0时班“)=0,问相应的定理是什么?_7_19X(z)=厅莎1-Z-*+Z2讨论-个序列乳小,其Z变换为:X(z)的收敛域包括单位圆，试求其班0)值。分析：这道题讨论如何由双边序列Z变换X(z)來求序列初值x(0),把序列分成因果序列和反因果序列两部分,它们各自由X(z)求x(0)表达式是不

28、同的,将它们各自的x(0)相加即得所求。解：当序列满足0,x(n)=0时,有:0X二。(心円Y0=x(0)+x(-l)z+x(-2)z2+所以此时有:lullX=x(0)二TO若序列兀5)的Z变换为: # #2 # # #2 #TOC o 1-5 h z719tz12245_11-z+z27,19Z_z1224 # #2 #4(z-2)=XLz)+X2(z)3(z)2.-Xz)的极点为S=2,z2=y由题意可知：X(Z)的收敛域包括单位圆则其收敛域应该为：1|z|23 #3 2 #则Xl)为72xZ3(z-丄)2x(0)=X(0)+X2(0)=*6.有一信号y(n)，它与另两个信号xn)和x2

29、(h)的关系是:y(h)=%!(+3)*x2(-77+1)其中X.()=已矢11Zanu(n)=,za1一az利用二变换性质求y(n)的二变换卩(二)。分析：(1)注意移位定理：x(n)oX(z)X(-J1)0X(z-1)x(w+7m)OziwAT(z)x(-n+m)zmX(z1)(2)XW)=X1(W)*X2(W)则y(z)=X(z)X2(z)o解：根据题目所给条件可得:屯(”)“一i一1-Z-12X.(7?)1-丄尹3=兀(并+3)l-z2z3而y(ii)=兀(/?+3)*x2(一+1) 2 #所以y（z）=zx（+3）zx2（-n+1）3z3(z-3)(z-1)7.求以下序列x()的频谱

30、X(eJO)。(1)5(一。)(2)eanu(n)(3)ea+j)nu(n)(4)厂心)cos(q)分析：可以先求序列的z变换X(二)再求频率禺尹)禺护)=X(二)|二=护即X(eja)为单位圆上的z变换，或者直接求序列的傅里叶变换X(eJ)=x()en-oo解：对题中所给的x(n)先进行z变换再求频谱得：.*沱如=z5(_o)=z。.X(R“)=X(C=尹g(2y：X(z)=ze-a,u(fi)_1=l-e-azl 2 #.禺严）=禺二）|十_1-l-eae-ja（3）.X（z）=如（训11一丿zJ：.x）=x）L十i（4）*/X（Z）=z|eW（77）COS（6?07?）11azecos%

31、一1-2zTe“cos%+尹严x（严）=x（z）|十1-0-肓COS1一2严厂cos+严严&若（“）是因果稳定序列，求证:亠尤（严）兀（严）為=f乙（严）def龙（严）也2/rJw2/tJf2龙-兀分析：利用时域卷积则频域是和乘的关系來求解x1（77）*x2（n）=y-X（鲜）X2（护）eiandco而X1（W）*X2（W）|n=0=可（0）兀2（0）Im=兀（严）上（严）伽,2龙再利用舌（）、迅（）的傅里叶反变换，代入二0即可得所需结果。证明：设y（n）=X（m）*x2（n）贝ljy（Z）=X/Z）X2（Z）.卩0”）=兀0絢.兀（宀丄XSeio）X）edco2”2兀=y()=Xi(ll)*

32、X2(77)X)X.eio)d(D2兀=x1(w)*x2()|w.o # #2 # # #2 #=X(0)x2(0)i兀%()=Xej)ejdco2/rJ-t丨打x.(w)=f如de2/r-irT.屯(0)=一XW)de2/r材八x.(0)=|XeJO)dco # #2 # # #2 #求x（n）=R5（n）的傅里叶变换。分析：这道题利用傅里叶变换的定义即可求解，但最后结果应化为模和相角的关系。解：根据傅里叶变换的概念可得：禺严）=帀心（）=工1Wco主2k7T、k为整数 # #2 #co=2krr # 2 # #2 #aigX(e)co+argsin(N呀)/sin(呀)co+htt2龙Nn

33、co|x()=28?=-oc(d)VX(e)=工兀(“7伽X=工(-)x(必7I=X即Z777t(-jw)x(m)=XC丿dco由帕塞瓦尔公式可得:dXejo)ydcoXd=2兀工|(-)x(”)f”=ocX=2龙n2x2(n)=X=2兀(9+1+0+1+9+64+25+0+49)=316兀X*(-77)+x(z?)2已知x（）有傅里叶变换X（e）,用X（严）表示下列信号的傅里叶变换。*/”)=x(l一“)+x(-l一n)(b)x3(z?)=x2(n)=(w-l)2x(w)分析：利用序列翻褶后移位关系以及频域的取导数关系式來求解。x(n)o，x(-7/)Xe-JC0)x(川一“)0w一皿,-严

34、2)=D7FTx()odco解：(a)DTFTxi)=X(eio)DTFTx(-n)=Xejo)DTFTx(-ti)=严X(严)DTFTx(-m)=ej6)XeJO)DTFTxi)=X(严+严=2X(C)cos血 # DTFTx-n)=Xejo)因而：严丁空)=ReX(c)X(eja)=i(“)严w=XdX(R3)dco即f)心dX(eJO)dco同理:DTFTirx(n)djdxydodo沪x(严)dco1而x3()=n2x(n)一2nx(n)+x(w)所以DTFTx.(n)=DTFTrxQi)-2Q2TT血()+DTFTx(ii)一心(严If如+X(捫)dordco己知用下列差分方程描述的

35、一个线性移不变因果系统y(ri)=y(H-1)4-y(H-2)+x(h一1)求这个系统的系统函数，画出其零极点图并指出其收敛区域;求此系统的单位抽样响应；此系统是一个不稳定系统，请找一个满足上述差分方程的稳定的(非因果)系统的单位抽样响应。分析：x(n)Xz),h(n)H(z),y(n)oY(z)则H（J=y（二）/X（二）=Zh（n）,要求收敛域必须知道零点、极点。收敛域为Z平面某个圆以外，则为因果系统（不一定稳定），收敛域若包括单位圆，则为稳定系统（不一定因呆）。（a）对题中给出的差分方程的两边作Z变换，得：y（z）=zTy（z）+zF（z）+zx（z）所以H(z)=y（z）_x（z）1z

36、-1(z-)(z-n2) # # # # #零点为z=0,极点为z=q=0.5（l+循）=1.62z=coz=a2=0.5（l-V5）=-0.62因为是因果系统，所以|z|1.62是其收敛区域。零极点图如右图所小。右边是本题的零极点图。（b）因为H（z）=匚-（z-aL）（z-（i2）一yz_ciz-6111l-z-1l-a2zw=0n=0所以力(”)=i(d-a2n)(”)aa2式中n1=1.62,=0.62由TH（z）的收敛区域不包括单位圆，故这是个不稳定系统。（C）若耍使系统稳定，则收敛区域应包括单位圆，因此选刃（Z）的收敛区域为冬vzvdp即062vzl62,贝ijTOC o 1-5

37、h zZZz-az-a2中第一项对应一个非因果序列，而第二项对应一个因果序列。110C所以H(z)=-工。2鼻al一a2”Yn=0则有力(”)=一i(u(-n-1)+()a2ai=-0.447x(1.62)u(-n-1)+(一0.62)u(n)从结果可以看出此系统是稳定的，但不是因果的。13.研究一个输入为双)和输出为y(n)的时域线性离散移不变系统，已知它满足y(n-1)-y(n)+y(n+1)=x(n)并已知系统是稳定的。试求其单位抽样响应。分析：在Z变换域中求出H(g)=，然后和题12(c)一样分解成部分分式分别求Z反变换。解：对给定的差分方程两边作Z变换，得：z*一f(z)+zF(z)

38、=X则:刃(z)= # # # # # #z(z-3)(z-j)极点为心,宀为了使它是稳定的，收敛区域必须包括单位圆，故取l/3|z|2零极点图一：TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark361c一z2零极点图二：21Z2,则系统是非稳定的，但是因果的。其单位抽样响应为：方(”)=-”-z】-Z/2=-(2w-2-n)W(W)同样按12题，当收敛区域为丄zv22则系统是稳定的但是非因果的。其单位抽样响应为：1h(ii)=zu(-n-1)+TOC o 1-5 h zZ2-Zl2(1V=2u(-n-1)+ii(n)3(2丿(IZ?|Z|zJ)1(其中Z严2-2)Izlm

39、axhHo因为是因果系统，且当”v时x()等于零，所以y（）=O,V当n0时，采用围线积分法，其中围线C包围三个极点，所以将3,z=虫一丹代入上式，即可得到下图是一个因果稳定系统的结构，试列出系统差分方程,求系统函数。当)勺=1,时，求系统单位冲激响应，画出系统零极点图和频率响应曲线。分析:解法一：利用此系统是一阶系统写出差分方程，令其二阶项系统为零,可得一阶差分方程，取Z变换求得H(z)从而求得h(11)0解法二：将系统用流图表示，改变流图中两个一阶节的级联次序(线性系统服从交换定理)，然后写出差分方程，再取Z变换求得H(z)从而求得h(11)0解法一:由图示可得=x()+(7?-1)y(n

40、)=boxl(n)+blxl(n-l)则尹()+炒(-1)=bQx1()+Ex】(w-1)+kbQxl(ft-1)+kblxl(n一2)=bQx(n)+(Mo+$+kbQ)x(n-1)4-kbin一2)=4双)+a*+2+kbQ)x(n-1)+6(000+$+肋o)X(-2)4-kbxi-2)由方框图可看出：差分方程应该是一阶的所以+albl+kb=0=k=-aY则有)3)-aj一1)=bgi)+(afiQ+勺一afiQ)x(n一1)=bQx(n)+$x(“_1)4+恥7即y(z)(l-5zT)=+$zT)X(z)所以当bQ=0.5,乞=1、=0.5时:HQ)=bo+炉71-_05+zT-l-

41、0.5z0.5z-11-0.5Z1+l-0.5z因为此系统是一个因果稳定系统；所以其收敛域为|z|0.5=h(ii)=0.5-(0.5)”()+(0.5厂“(一1)解法二：将图P2-11画成流图结构，并化简如下:由丁线性流图的级联结构可以改变级联次序，因而上图乂可化成：由这个流图即可很方便地写出其线性差分方程：丁()=aAy(ii-1)+bQx(n)+bn一1)取z变换可得:r(z)(i-6T1z-1)=(z?o+z?1z-1)(z)所以将=0.5,b=1卫=0.5代入，可得:0.5+Z-11+0.5ZH(z)=71-0.5Z-1z-0.5H_l+0.5z_ABzz(z-05)zz-0.5其中

42、A=-2,B=2.5因而H=_2+Jz|05z-0.5(由丁系统是因果稳定的)所以h(n)=一2/(”)+2.5x(0.5)ww()设X()是一离散时间信号，其z变换为*(二)，对下列信号利用X(二)求它们的z变换：XS)=Ax(7?),这里记作-次差分算子，定义为:Ax(z?)=x(n)-x(n-1)x(-),为偶数-()=10,为奇数(C)X3(；7)=X(2/7)分析：兀式序列的抽取序列，兀()是内插零值序列(不是内插序列)，解题的关键是耍进行变量变换，以得到与班)的Z变换相似的表达式。解：(a)zzXx(77)=za(?)zx(n1)=X(z)zXz)=(lz!)-(z) # #Z妝一

43、Qz)x+Qz)x乙(-Z一LIT1w-IT工一=妝xW78妝,(w)xX+e/(m)xR-=XIuT8I73_=仲(uz)%r(T-)+ll-X=(z)2Ioc:fiM（心仃-）+畔=（心U9X9-血二(心M=M_z()xX=(z)JW=心IUx8-=妝()x=竝二(w)xR=oc(q)“一 #第三章离散傅立叶变换1.如下图，序列x(n)是周期为6的周期性序列，试求其傅立叶级数的系数。解:文伙)=f壬”=0”=0-j卑k-j-2k-丿孕3k-J-4k-j-5k=14+12e6+10e6+8e6+6e6+10e6计算求得：左(0)=60;X(l)=9-j3y/3;左(2)=3+丿馆；左(3)=

44、0左(4)=3j羽;左(5)=9+j3a/32.设兀()=A4(h),x(n)=x(w)6试求无伙)并作图表示壬(“),左(k)O解：X伙)=壬(“)叫性为壬()/6?/=0)1=0r1_2/r=1+e3+e3+eJ计算求得：攵(0)=4;f(1)=-yV3;02)=1；左(3)=0;左(4)=1;左(5)=j*oon其它,h(n)=R4(77-2),令壬S)=x()6，Zz(77)=7/()4,试求壬()与斤何的周期卷积并作图。解：在一个周期内的计算值nh(n-m)123450Y(n)00111101410011111221001111031100118411100165111100104.

45、已知x()如图卩3-1所示，试画岀x()5，x()6人6(),x(n)3R3(n)x(S)6,X-3)52?5(n),x(n)7/?7(n)解:等各序列。x(n)=a(cosa)Qn)RN(n)Nt-%Xk)=(coscoQn)eKRN(k)w=0=孰工(Q如+H如0岸朋(幻w=0N7、N7.=知工八甘如”+工戶味如”心(切w=0w=01_严庐1_R呻3_0-丿(鄴+哄)+_訂钳-如_GoN_.g.N亠丁(厂yF+2-J睜叫(丿埠叫-J睜咖、e-(e-e-A)_C7oy.%n-.gn12兀,、12打,/弓亍f亍-如a1w2sin(=TTTr:+esm(+-f70)-J畔.0(Nesuit)_2

46、e，2(CZoJsm(k-njQ)N20eJ2e2-eJ2)1J-e-3)5试求以下有限长序列的n点ar(闭合形式表达式)x(n)=q(coscoQn)RN(n)x(n)=anRN(n)x(n)=8(n-n0),0n0Qn)RN(az)X(k)=d(cos%)eA心伙)n=0N_1.2龙心伙）YQW+严)以訂7?=0 # # #RnE异等）7?=0N7讥2兀八m+为异矿）1=0 # # # #心伙）1_R曲-J(等+5)t-丿(等1a2gNgN.eN厂(/-异)揺g)d揺g)_揺g)(2)x(n)=aRN(n).JV3qN3qNJJJe2(e2-e2)x(k)=n=Q八1ex(n)=8(n-n

47、0),0nQNX(k)=ZxgjfRnZRz(k)=0n=0 x(n)=nRN(n)Ar-1X(灯=工7哝心伙)/?=0N-叭卫灯=工”吟”威心伙)w=0Ar-1N-X()(l呎)=工并炉护一工W)kn=0n=0=曲+2疗+3吟+(N一1)歹字-足尹+2WT+(N_2)吟+N-1)AV伙)N7=(_(N一1)+工啜)心(灯n=l_1=_(N_1)+仝i=-N-N-君尺、.伙)N7x(w)=n2RN(n):.X(k)=rWNw=0根据第小题的结论 # # #xl(n)=nRN(n)9则X=-N #N-lWX(k)=n2WkN-lN-lX()(l-呎)=工“2耐一工2呼小n-0”0二吟+4府+9呼

48、+(N-I)2Wi)k-Wk+40护+(N_2尸W)k+(N1严Ar-1=_(N_1)2+Y(2_1)啜7?-1N-1=_N(N_2)+2?化护1=N(N2)+2X&)=-N(N-2)-I1-吟X(k)=N(N-2)W-N2(1一畔尸6.如图画出了几个周期序列玫)这些序列可以表示成IAT1傅里叶级数壬(“)=土工左伙)0心创朋；问：NA-.0哪些序列能够通过选择时间原点使所有的X(灯成为实数？哪些序列能够通过选择时间原点使所有的X伙)除X(0)外成虚数?(3)哪些序列列能做到x(k)=0,k=2比4,6,解:要使龙伙)为实数，即要求：Xk)=X伙)根据DFT的性质可知：壬)在其一个周期内应满足

49、实部偶对称，虚部奇对称(关于=0为轴)，又由图知：壬(“)为实序列，虚部为零，故x()应满足偶对称：x(n)=x(-n),BPx(h)以=0为对称轴偶对称，故第二个序列满足这个条件。（2）要使X（灯为虚数，即要求：Xk）=-X（k）根据DF7的性质可知:壬（”）在其-个周期内应满足：实部奇对称，虚部偶对称（关于刃=0为轴）O又已知壬（”）为实序列故x（H）=-X（-7?）即在一个周期Pj,X（77）在一圆周上以=0为对称轴奇对称故这三个序列都不满足这个条件。（3）由于是8点周期序列对于第一个序列：当=2,4,6时,（k）=0对于第二个序列：当=2,4,6时,XY伙）工0对于第三个序列：根据序列

50、移位性质可知：乙伙）=恳（灯一占加上伙）当心2,4,6时，左3伙）=0.第一，第三个序列满足X（k）=0,k=2，土4,7在下图中画出了两个有限长序列，试画出它们的六点圆周卷积。yQj)=工无(加)兀2_加)6凡(刃)m=Q8如图表示一个5点序列x()；试画岀(w)=x(n)x(n);试画出y2(n)=x(m)(5)xn);(3)试画出y3(m)=x(n)x(w)o9.设有两序列x()=x(),0.yW=0、0SnS5其他n0W11S14其他n # # #各作15点的ar,然后将两个ar相乘，再求乘积的ZDFT,设所得结果为/(”),问/(”)的哪些点对应于x(”)y(”)应该得到的点。解：序

51、列x()的点数为N严6,7(”)的点数为N2=15故x(/7)*y(ii)的点数应为：N=N】+“21=20又f(“)为x()与y(n)的15点的圆周卷积，即Z=15所以，混叠点数为N-厶=20-15=5。用线性卷积结果以15为周期而延拓形成圆周卷积序列/)时，一个周期内在n=0到=4(=N厶1)这5点处发生混叠，即f(7?)中只有n=5到7?=14的点对应于x(7?)*y(ii)应该得到的点。10已知两个有限长序列为g)=n+1,.0,f1,0n3n60n4n6 # # # #试用作图表示x(n),y(n)以及f(n)=x(n)y(n)11.已知x(w)是N点有限长序列，X(k)=DFTx(

52、n)现将长度变成rN点的有限长序列y(n)fx(w),0nN-1y(n)=0、NnrN-1试求DFTy(n)(rN点DFT)与Xk)的关系。A-1竺必解:X（k）=DFTx（ti=x（h）e卞0“WN_1ory-lAr-1y（灯=（“）=!（”）哦=!（”）,*0”0T込上k=&（必疋7=x（_）k=hy.N_B訂0在个周期内,y伙）的抽样点数是x（灯的r倍（y（切的周期为N厂），相当于在X（灯的每两个值之间插入0-1）个英他的数值k（不一定为零），而当为7的整数/倍时,y伙）与x（）相等。12已知x（7/）是长为N点的有限长序列,X（k）=DFTx（n）现将x（）的每两点Z间补进-1个零值点

53、,得到一个长为旳点的有限长度序列yW,y(p)=fi=ir,05iN其他n试求rN点DFTy（n）与X（k）的关系。A-l解：X(k)=DFTx(ti=x(n)Wy,Ok.N-l“0rNly伙)=莎爪()卜工W?)%带刃oN-lN-l=刀x(ir/r)W；!=为x(i)W,0dN-17-0J-0.y()=x(认心的/.Y(k)是将X($)(周期为N)延拓r次形成的，E|JY(k)周期为旳。频谱分析的模拟信号以8应被抽样,计算了512个抽样的7；试确定频谱抽样之间的频率间隔,并证明你的回答。证明：5牛厶=2。其中Os是以角频率为变量的频谱的周期,Q。是频谱抽样之间的频谱间隔。几）对于本题：fs=

54、%KH二N=5128000512=15.625圧设有一谱分析用的信号处理器，抽样点数必须为2的整数幕，假定没有采用任何殊数据处理措施，要求频率分辨力GOHz,如果采用的抽样时间间隔为0.177/5，试确定(1)最小记录长度；(2)所允许处理的信号的最高频率；(3)在一个记录中的最少点数。解:：Tp=丄而FV10圧:Tp&丄sPFP10.最小纪录长度为0.1s乞=丄=x103=10AHzT0.1:人2仇齐*53允许处理的信号的最高频率为53ArZk=Hxio3=ioOO,又因N必须为2的整数幕T0.1一个纪录中的最少点数为:N=2=10245S5S #15.序列x()的共辘对称和共轨反对称分量为

55、：兀5)=扣(”)+(-)x(n)=|x(77)-x*(-w)长度为N的有限长序列x(”)(QnN-1)的圆周共轨对称和圆周共轨反对称分量定义如下：冷5)=|v(7O)2v+(-)斗心(“)XpS)=*x()N-T(T7)nRnS)(d)证明：兀p()=xen)+xen-N)Rg)“小=兀()+x。一N)&v()(b)把x()看作长度为N的序歹lJ,一般来说，不能从兀p()恢复兀()，也不能从(“)恢复(),试证明若把x()看作长度为N的序列(N为偶数)且心N/2时x=0,则可从Xep(“)恢复兀(77),从Xop(“)恢复X。(77)o解I(a)方法一：证明：由于x()只在OWWN-1的范围

56、内有值，则有：%()=*X()N+T(-)n戌v()=丄x()+丄x*(N_”)22z/=Olbj*,x*(7V-7?)=x*(0) #时,X(刃)=+()=#x()=*(N_)XgpS)=xe()+兀(7Z-N)Rn(h)方法二证明(a)：1)%S)=兀()+兀S-N)Rn()1*(z/)=yM)+(-)兀()心(”)=*X()+X*(0)3()(1)兀(-N)心)=扣(一N)+/(N一rz)Rn(/)因为：x(n-N)RN(n)=0所以：xg-N)Rg)=丄T(N_)一x*(0)5(一N)(2)+得：Xe()+%(一N)Xv(Z?)=-x(w)+X*(N-II)+X*(0)5(77)TOC

57、 o 1-5 h z-x*(0)5(7?-AQ(3)2)由于：兀(S)N=*X(S)N+T(-)nx()N心()=x(”)(4)/(-)心()=x*(N)+x*(0)5()一/(0)5(一N)(5)十(5)得：%()=*X()N+X*(T?)nKv()=x()+x*(N-ii)+x*(0)5()一.T(0)5(一N)(6)与(6)比较可知：x即(“)=兀(“)+xe(n-N)RN(n)同理可证：论(刃)=x0(n)+x0(n-N)RN(n)(b)利用(a)的结果：Xep(H)=xe(ll)+Xg(-N)Rv(“)xe(n-N)=x(w一N)+x*(-+N)(1)按照题意，当0nN/2时，x(h

58、)h0,此时-NG-NNI2N/2n+NN所以当OSvN/2时，xn-TV)=0、x-n+N)=0,故兀(N)=0所以：当0rtN/2时,xep(n)=xs(n)当-N/2v”S_l时，按共辘对称有：x；（7）=|x（）+x*（-n）=xe（n）且由（a）的结论知：x；p（7）=k；（-）+x；（-N）kv（-“）当一N/2n-1时，x；(-N)7?n(-“)=0所以坊(一“)=x；(ti)Rn(一“)=兀()Rn(t)隔()，xe(n)=xp(-n),同理可证S(),xP(n),16.令X(k)表示N点序列.W?)的N点离散傅里叶变换证明：如果x()满足关系式x(n)=-x(N-l-n),贝

59、【JX(0)=0;证明：当N为偶数时，如果x(n)=x(N-l-n),则X()=0o2证明：AM如果Xk)=x(ii)W,0k(“)咐呼Tw=0.-x(k)=-X(-k)NRN(k)畸Z):.当上=0时X(0)=_X(_0)=_X(0)/.X(0)=0仿照(a)当x(n)=x(N-l-n)时，可得：N-X(k)=工x(N-1-)、.“()叭护w=0=X()Mn(幻噪I当77=(N为偶数)时，X(兮)=X(-兮加心(号)C2由N为偶数，则有誇I=I=-1所以(4)=-x(r4)=-X(N-4)=-(4)所以X)=0 # #第四章快速傅立叶变换 # # #如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘需5

60、0s每次复加5“s,用它來计算512点的DFTx（n）,问直拉计算需要多少时间，用FFT运算需要多少吋间。解：解：（1）直接计算：复乘所需时间：7=5x10_,5xA=5xx10_65122=1.31072s复加所需时间:用FFT计算:复乘所需时间:7；=5xl0_6x41og2=5xl0_6xixlog2512=0.01152s兀=0.5xl0YxNx(N-l)=0.5x10-6x512x(512-1)=0.130816sT=7；+7；=1.441536sZ,=0.5xIO-6xNxlog,N=0.5xl0_6x512xlog2512=0.002304s.T=7；+兀=0.013824s复加