工程流体力学-03

1、工程流体力学机械工程学院2013年3月杨 阳第三章 流体动力学及工程应用 本章学习要求 掌握流体动力学的基本概念和基本方程，即质量守恒方程，动量定理，动量矩定理，能量守恒方程，重点是关于控制体的欧拉型方程。 质量守恒，牛顿第二定律和能量守恒原理都是对包含确定物质的“系统”写出来的，而流体力学问题的实际研究中，更多地采用“控制体”的概念，这中间存在一个变换。 研究流体和运动物体的相互作用，常运用动量定理。 伯努利方程是能量守恒关系的一种表现形式。 质量守恒给出物理参数的相互关系式，常配合其它方程求解。 第一节 流体动力学基本概念一、流体运动的研究方法 流体运动学是研究流体的运动规律，即速度、加速

2、度、变形等运动参数的变化规律，不涉及引起运动的力学原因。因而流体运动学所研究的问题及其结论对于理想流体和粘性流体均适用。 连续介质模型的引入告诉我们，流体可以看成是由无数质点组成的，而且流体质点连续地、被此无间隙地充满空间。因此，流体的运动实际上是大量流体质点运动的总合。我们把流体质点运动的全部空间称为“流场”。 由于流体是连续介质，所以描述流体特征的物理量运动参数(如速度、加速度等)均为所选坐标的连续函数。通常，描述流体运动有两种不同的方法。第一节 流体动力学基本概念 1 拉格朗日(Lagrange)法 拉格朗日法研究流场中每一个流体质点的运动，分析运动参数随时间的变化规律，然后综合所有的流

3、体质点，得到整个流场的运动规律。显然，这个方法可以了解每个流体质点的运动规律。 2 欧拉(Euler)法（又称局部法）（又称为随体法） 欧拉法研究某瞬时整个流场内位于不同位置上的流体运动参数，然后综合所有空间点，用以描述整个流体的运动，欧拉法的着眼点不在于个别的流体质点，而在于整个流场各空间点处的状态。 一般情况下，同一时刻，不同空间点上的运动参数是不同的。因此，运动参数是空间点坐标(x,y,z)的函数。而在不同时刻，同一空间点上的运动参数也不相同，因而运动参数也是时间的函数。第一节 流体动力学基本概念 二、定常流动和非定常流动 通常情况下，流场中流体的运动参数要随空间点的位置和时间变化。然而

4、，工程实际和自然现象中也存在着不同的情况，为研究方便起见，按流体质点通过空间固定点时，运动参数理否随时间变化把它分为两类。 定常流动(又称恒定流动) 流场中，每一点的运动参数不随时间变化，这样的流动称为定常流动。当然，不同点的运动参数一般情况下是不同的。第一节 流体动力学基本概念 贮水容器侧面装有一泄水短管，水自管中流出。当我们采用某种方法补充流出的流体，使容器中的液面高度保持不变时，管内的点A、B处的流速和压力以及流出液流的轨迹都将保持不变。而A、B两点的参数值可以互不相同。显然，这种流动是定常流动。 2. 非定常流动(又称非恒定流动) 若流场中运动参数不但随位置改变而改变，而且也随时间而变

5、化，这种流动称为非恒定流动。 若不往容器中加水，水面将不断下降。这时不但A、B两点的运动参数不同，而且每点上的运动参数也招随时间而改变。自管中流出的水流轨迹亦将不断变化。这种流动即为非定常流动。三、流线与迹线 1 流线第一节 流体动力学基本概念 （1）流线的定义 流线（stream line）是表示某一瞬时流体各点流动趋势的曲线，曲线上任一点的切线方向与该点的流速方向重合。 （2）流线的作法： 在流场中任取一点，绘出某时刻通过该点的流体质点的流速矢量u，再画出距1点很近的2点在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量u2，如此继续下去，得一折线1 2 3 4 ，若各点无限接近，其极限就是某时刻的流

6、线。 （3）流线的性质 a.同一时刻的不同流线，不能相交。 因为根据流线定义，在交点的液体质点的流速向量应同时与这两条流线相切，即一个质点不可能同时有两个速度向量。 b.流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。 因为流体是连续介质，各运动要素是空间的连续函数。 c.流线簇的疏密反映了速度的大小（流线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小）。 因为对不可压缩流体，元流的流速与其过水断面面积成反比。 U2U1L1L2第一节 流体动力学基本概念 第一节 流体动力学基本概念 流线的特点：流线不相交。（奇点除外）奇点有两种：速度为零及速度为无限大。每一空间点均有流线通过，由这些流线构成流谱。流线的形状和位置，在

7、定常流动时不随时间变化；而在不定常流动时，随时间变化。 定常流动时，流线与迹线两者重合。（4）流线的方程 根据流线的定义，可以求得流线的微分方程： 设ds为流线上A处的一微元弧长: u为流体质点在A点的流速: 因为流速向量与流线相切，即没有垂直于流线的流速分量，u和ds重合。 所以 即 展开后得到： 流线方程 或用它们余弦相等推得 第一节 流体动力学基本概念 udsA第一节 流体动力学基本概念 2.迹线 (1)迹线的定义 迹线(path line)某一质点在某一时段内的运动轨迹线。 (2)迹线的微分方程 式中，ux,uy,uz均为时空t,x,y,z的函数，且t是自变量。 注意：流线和迹线微分方

8、程的异同点。 流线方程 第一节 流体动力学基本概念 第一节 流体动力学基本概念 第一节 流体动力学基本概念 第一节 流体动力学基本概念 四. 流管 流束 总流 1 流管：由流线组成的管状形体。 在流场中任取一封闭曲线l，过曲线上各点作流线，所有这些流线构成一管状曲面，称为流管。 位于流管表面上的各流体质点只具有切于流管方向的速度。没有法向速度分量，因而不能穿越流管。即没有流体通过流管向内或向外流动。流管如同真实的固体管壁，将其内部的流体限制在管内流动。 在流体作恒定流动时，流管的形状和空间位置不随时间改变。流管在流场中不能产生也不能终断。2 流束 若在流场中取一曲面S，则过曲面上各点所作流线的

9、总合，称为流束。 可见，流束由流管所围空间内的所有流线所组成。 若所取曲面为无穷小面积dS，则所取得流束称为微小流束。微小流束的极限可认为是流线，通常可以用流线方程来确定微小流束。 但须注意两者之间的差共别。另外，由于微小流束断面无限小，可以认为其断面上的运动参数均匀分布。例如，可认为各点的速度大小相同互方向一致，都垂直于截面。第一节 流体动力学基本概念 S五. 过流断面 流量 流速 在流束或总流中与所有流线都相垂直的横断面称为过流断面或有效断面。 过流断面可能是平面也可能是曲面。1. 过流断面（过水断面）第一节 流体动力学基本概念 3 总流无数微小流束的总和。 单位时间内流过总流过流断而的流

10、体量称为流量。流体量可以用体积、重量和质量来表示，分别称为体积流量、重量流量和质量流量。 在SI制中三种流量的单位分别为：m3/s、N/s和kg/s。2. 流量流过微元面积 d A 的体积流量为 dQv dA流经整个过流断面 A 的流量第一节 流体动力学基本概念 体积流量重量流量质量流量 在流体力学的某些研究和在大量实际工程计算中，往往不需要知道过流断面上每一点的实际流速，只需要知道该过流断面上流速的平均值。因此引入平均流速的概念。过流断面的平均流速是一种假想的流速。过流断面上每一点的平均流速都相同，以平均流速流过过流断面的流量与以实际流速流过的流量相等，若平均流速以V标记，则3. 断面平均流

11、速 显然，由于实际流体具有粘性，流速在过流断面上的分布肯定不会是均匀的（抛物线分布，指数分布）等。因此，每点的实际流速可以表示为第一节 流体动力学基本概念 一、直角坐标系下的流体连续性微分方程 在流场内取一微元六面体，边长为dx,dy,dz，中心点O流速为（ux, uy, uz） 以x轴方向为例： 左表面流速 右表面流速 第二节流体流动的连续性方程 在流体力学的研究中，把流体看作是连续介质，即使是在运动流体内部，流体质点也是连续充满所占据的空间，彼此间不会出现空隙。流体的这种性质称为连续性，用数学形式表达出来就是连续性方程。它是物质不灭定律在流体力学中的具体表现。连续性方程实质上是质量守恒方程

12、。 单位时间内x方向流出流进的质量流量差： x方向： 同理可得： y方向： z方向： 质量守恒定律：单位时间内流出与流入六面体的流体质量差之总和应等于六面体内因密度变化而减少的质量，即： （1）流体的连续性微分方程的一般形式 适用范围：理想流体或实际流体；恒定流或非恒定流；可压缩流体或不可压缩流体。 （2）可压缩流体恒定流动的连续性微分方程 当为恒定流时，有 则 适用范围：理想、实际、可压缩、不可压缩的恒定流。 （3）不可压缩流体的连续性微分方程 当为不可压缩流时，有 则 式为 物理意义：不可压缩流体单位时间内流入单位空间的流体体积（质量），与流出的流体体积（质量）之差等于零。 适用范围：理想

13、、实际、恒定流或非恒定流的不可压缩流体流动。 二、流管状态下的微小流束和总流的连续性方程 对微小流束，根据定义，流体质点不能穿过其侧表面，而在微小流束内流体连续，没有间隙。 单位时间内自dA1流入的流体质量ru1dA1 单位时间内自dA1流入的流体质量ru2dA2 1.微小流束连续性方程单位时间流入和流出的流体质量差对定常流动dM=0对不可压缩流体的定常流动r1=r22.总流连续性方程 对于图示由A1、A2断面所限定的流束段，其连续性方程可由对微小流束连续性方程在Al、A2面上积分得到，即如v1、v2为A1、A2面上的平均流速则得 此方程给出了流量、平均流速和过流断面面积之间的关系即流束的断面

14、平均流速与过流断面面积成反此。如果流量一定，过流断面大，流速小；而过流断面小则流速大。 显然，由连续性方程可以证明前面的论断：流管在流场中不能中断或产生。因为，若流管中断或产生则流出流入流束的流量将不等。 理想流体（无压缩性和粘性的流体）的运动微分方程。 一、理想流体运动微分方程欧拉（Euler）方程 在流场中，任意一点A的流速U即是空间坐标的函数，又是时间的函数，x，y和z轴向所受的表面力：微元六面体质量力在x，y和z的轴向分量：第三节流体运动微分方程微元六面体示意图 由牛顿第二定律得：如果运动状态不随时间变化（处于平衡状态）理想流体运动微分方程（欧拉方程）流体平衡微分方程 二、粘性流体运动

15、微分方程纳维斯托克斯（N-S）方程 二、粘性流体运动微分方程纳维斯托克斯（N-S）方程微元六面体在yz平面内的压力和切应力对中心A取矩：不计高阶无穷小得同理可得：实际流体只存在三个独立的切向向量txy，tyz和tzx。 微元六面体的压力和切应力 微元六面体在yz平面内的压力和切应力流体质点运动时的剪切变形率为牛顿流体的剪切应力 流体运动时发生直线变形，使原来的流体产生拉伸或缩短，引起附加的法向压力pxx, pyy pzz ,流体法向应力为： 直线变形引起附加的法向压力pxx, pyy pzz可由广义的牛顿内摩擦定律计算：对不可压缩的流体： 在表面力和质量力作用下x轴方向流体运动微分方程 在表面

16、力和质量力作用下x、y、z轴方向流体运动微分方程 对不可压缩的流体：N-S方程N-S方程理想流体的运动微分方程只有在少数特殊情况下才能求解。在下列几个假定条件下：（1）不可压缩理想流体的定常流动（2）沿同一微元流束(也就是沿流线)积分（3）质量力只有重力一、理想流体运动微分方程的伯努利积分第四节理想流体微元流束的伯努力方程设质量力是定常和有势的，W=W(x,y,z)为质量力的势函数沿流线积分，因定常流动，流线与迹线重合 由欧拉方程得质量力定常有势不可压缩流体定常流动流线与迹线重合则：二、理想微流束的伯努利方程1. 质量力只有重力:由伯努利积分得对任意两点有流体处于静止状态时重力场中静力学基本方

17、程 图示叶轮以恒定角速度旋转。若将直角坐标系oxy固定在叶轮上，与叶轮一起作同步旋转运动，则坐标系相对于地球作等速旋转运动。这时，若人站在叶轮上观察流体流动，得到液体质点七相对于叶片作相对恒定流动。 这种运动与上述的绝对运动不同之处在于：(1) 人观察到的是流体质点的相对速度，而不是绝对速度；(2) 作用于流体上的质量力除重力外，还受到离心力的作用。单位质量液体质点上作用的离心力2r，于是若l、2为同一条流线(或微元流束)上的任意两点，则上式也可写成2. 如质量力为重力和离心力共同作用：利用功能原理推导理想流体微流束伯努利方程*作用在该段微流束流体的外力:表面力，质量力。作用在该段微流束流体的

18、外力所作的功:动压强p1和p2所作的功A1质量力所作的功A2该段微流束流体的动能变化DE动能定理：该段微流束流体的动能变化DE等于外力所作的功A理想流体微流束伯努利方程第五节伯努利方程式的意义伯努利方程1几何意义 每一项的量纲与长度相同，它表水单位重量液控体所具有的水头。1) z 表示所研究点相对某一基准面的几何高度，又称位置水头。2) 表承所研究点处压强大小的高度，因它具有长度因次，所以表示与该压强相当的液柱高度，又称之为测压管高度，或称为测压管水头；3) 表示所研究点处速度大小的高度，也具有长度因次，所以称为测速管高度、或称为速度水头。 因此，伯努利方程表明对重力作用下的理想流体恒定流动，

19、几何高度、测压管高度和测速管高度之和为一常数，称为水力高度或总水头。 在流体静力学中， 但是在流体动力学中，由于流速的存在，测压管水头线不再是一条水平线，它随各点流动速度而变，可能上升，也可能下降。2 物理意义（能量意义）伯努利方程的每一项表示单位重量流体具有的能量。 z -单位重量流体对其基准面具有的位置势能。 单位重量流体具有的压力能，即由于流体动压力的存在，可以使流体上升至一定高度，称为压力位能。因此，流体的压力实际上是一种潜在的能量。 单位重量流体具有的动能。表示单位重量流体所具有的总位能。表示单位重量流体所具有的位能和动能之和。伯努利方程表示单位重量流体总机械能为一常数。 位能、压力

20、能和动能既然是一种能量，就可以相互转变，流速变小，动能转变为压力能。压力能将增加；反之，压力能亦可转变为动能。对于理想流体恒定流动，三项之和为一常数，表示任意一个流体质点运动过程中的位能、压力能和动能之和保持不变。因此，对于理想流体，伯努利方程又是流体力学中的能量守恒定律。 一、微小流束的伯努利方程 在实际流体的流动中，有效断面上各点的速度是不相同的，但是在同一微小流束断面上速度是相同的，因此我们首先讨论实际流体沿微小流束的伯努利方程式。在总流中任取一条微小流束来研究 实际中所有的流体都是有粘性的，在流动的过程中由于粘性而产生流体层与流体层之间以及流体与管壁之间的摩擦，要产生能量损失，使流体的

21、机械能降低，另外流体在通过一些局部地区过流断面变化的地方，也会引起流体质点互相冲撞产生旋涡等而引起机械能的损失。因此在实际流体的流动中，单位重力流体所具有的机械能在流动过程中不能维持常数不变；而是要沿着流动方向逐渐减小。第六节 实际流体的伯努利方程及应用二 粘性流体总流的伯努里方程 流体的实际流动都是由无数微元流束所组成的，其有效截面为有限值的总流流动，例如流体在管道中和渠道中的流动等。 微元流束的有效截面是微量，因而在同一截面上流体质点的位置高度z、压力p和流速u都可认为是相同的。而总流的同一有效截面上各点，流体质点的位置高度z、压力p和流速u是不同的。总流是由无数微元流束所组成的。 因此，

22、由粘性流体微元流束的伯努里方程推导总流的伯努里方程，对总流有效截面进行积分时，将遇到一定的困难，这就需要对实际流动作某些必要的限制条件。为了便于积分，首先考虑在什么条件下总流有效截面上各点的： ?这只有在有效截面附近处是缓变流动时才能符合这个要求。 理想不可压缩流体作定常流动时，质量力仅为重力情况下的微元流束的伯努里方程说明流体微团沿流线运动时总机械能不变。但是对于粘性流体，在流动时为了克服由于粘蛙的存在所产生的阻力将损失掉部分机械能因而流体微团在流动过程中，其总机械能沿流动方向不断地减少。 如果粘性流体从截面1流向截面2，则截面2处的总机械能必定小于截面l处的总机械能。若以hw表示单位重量流

23、体自截面1到2的流动中所损失的机械能(又称为水头损失)，则粘性流体微元流束的伯努里方程为第六节 实际流体的伯努利方程及应用 实际总水头线沿微元流束下降，而静水头线则随流束的形状上升或下降。几何解释：第六节 实际流体的伯努利方程及应用 任意两点的微流束伯努利方程对A1和A2积分微流束断面上的一定流体质量的能量方程对渐变流流过断面A的流体动能用平均速度表示过流断面的流体动能动能修正系数实际液体伯努利方程 实际液体的伯努利方程任意两点的微流束伯努利方程对A1和A2积分微流束断面上的一定流体质量的能量方程对渐变流理想流体微流束伯努利方程作用在该段微流束流体的外力作用在该段微流束流体的外力所作的功动压强

24、p1和p2所作的功A1质量力所作的功A2第六节 实际流体的伯努利方程及应用缓变流动是指流线几乎是平行的直线均匀流动，在这种流动中有效截面可看作是平面，如图所示。它满足下列两个条件： (1)流线之间的夹角(即扩散角)很小，即流线几乎是平行的； (2)流线的曲率半径R很大，即流线几乎是直线。不满足上述两个条件或其中之一的流动称为急变流动。 由于流线几乎是平行直线，则各有效截面上相应点的流速几乎不变，成为均匀流，由于速度的变化很小即可将惯性力忽略不计； 又由于流线的曲率半径很大，故向心加速度很小，可将离心力忽略。 于是缓变流动中的流体微团只受重力和压力的作用，故缓变流动的有效截面上各点的压力分布与静

25、压力分布规律一样，即在同一有效截面上各点三 伯努利方程的应用伯努利方程应用的几点注意事项(1)方程式不是对任何液流问题都能适用，必须注意它的使用条件； 流体为不可压缩的实际流体； 流体的运动为定常流动； 流体所受质量力只有重力；(2)方程式中，位置水头是相比较而言的。另外，基准面只要是水平面就可以。为了方便起见，常常通过两个计算点中较低的一点作为基准面，这样可以使方程式中的一个位置水头为正值。 所选取的两过流断面必须处在缓变流段中。(3)在选取两个断面时，尽可能包含一个未知数。但两个断面的平均流速可以通过连续性方程求得，只要知道一个流速，就能求出另一个流速。(4)两个断面所用的压力标准必须一致

26、，一般多用表压。第七节 动量方程和动量矩方程 在许多工程实际问题中，不必考虑流体内部的详细流动过程，而只需求解流体边界上流体与固体的相互作用力或力矩，例如求弯管中流动的流体对弯管的作用力，叶轮机械的叶片通道中流动的流体受到叶片的作用力或作用力矩等问题，这时常常应用动量定理或动量矩定理直接求解显得十分力便。由于不需要了解流体内部的流型，所以不论对理想流体还是实际流体，可压缩流体还是不可压缩流体，动量定理和动量矩定理都能适用。一、定常流动的动量方程 由理论力学中的动量定理可知：质点系动量变化率等于作用在质点系上的各外力的矢量和，即或第七节 动量方程和动量矩方程式中 质点系的动量；作用在质点系上各外力的矢量和 设不可压缩流体在弯管中作定常流动，如图所示，取有效截面11和22之间的一个流段。1 动量方程第七节 动量方程和动量矩方程 两截面上的平均流速分别为Rl和萨，流段在质量力、两截面上的压力和管壁的作用力的外力作用下，经过dt时间后从位置1-2流到位置1-2。与此同时，流段的动量发生了变化，其变化等于流段在1-2和1-2位置时的动量之差。 由于定常流动中流管内各空间点的流速不随时间变化，因此1-2这部分流体(团中阴影部分)的动量没有改变。于是在dt时间内流段的动量变化就等于2-2段的动量和1-l段的动量之差，即1.1.5 动量方程式用于计算流体与固体边界的相互作用力质点系动量定理微流