信号与系统教案第7章-2016

1、第七章 信号流图与状态变量分析 7.1 信号流图7.2 状态变量与状态方程7.3 连续系统状态方程的建立与求解7.4 离散系统状态方程的建立与求解 前面的分析方法称为外部法，它强调用系统的输入、输出之间的关系来描述系统的特性。其特点：（1）只适用于单输入单输出系统，对于多输入多输出系统，将增加复杂性；（2）只研究系统输出与输入的外部特性，而对系统的内部情况一无所知，也无法控制。 本章将介绍的内部法状态变量法是用n个状态变量的一阶微分或差分方程组（状态方程）来描述系统。优点有：（1）提供系统的内部特性以便研究。（2）便于分析多输入多输出系统；（3）一阶方程组便于计算机数值求解。并容易推广用于时变

2、系统和非线性系统。 引言1、定义：一般而言，信号流图是一种赋权的有向图。它由连接在结点间的有向支路构成。2、信号流图中常用术语 （1）结点： 信号流图中的每个结点对应于一个变量或信号。 （2）支路：连接两个结点之间的有向线段。 支路增益：每条支路上的权值。 支路增益就是该两结点间的系统函数即用一条有向线段表示一个子系统。 一、信号流图 7.1 信号流图（3）源点、汇点、混合结点： 仅有出支路的结点称为源点（输入结点）。 仅有入支路的结点称为汇点（或输出结点）。 有入有出的结点为混合结点。 （4）通路、开通路、闭通路（回路、环）、不接触回路、自回路：沿箭头指向从一个结点到其他结点的路径称为通路。

3、如果通路与任一结点相遇不多于一次，则称为开通路。若通路的终点就是通路的起点（与其余结点相遇不多于一次），则称为闭通路。相互没有公共结点的回路，称为不接触回路。只有一个结点和一条支路的回路称为自回路。 7.1 信号流图（5）前向通路：从源点到汇点的开通路。 （6）前向通路增益、回路增益： 前向通路中各支路增益的乘积称为前向通路增益。 回路中各支路增益的乘积称为回路增益。 3、信号流图的基本性质 （1）信号只能沿支路箭头方向传输。 支路的输出=该支路的输入与支路增益的乘积。 （2）当结点有多个输入时，该结点将所有输入支路的信号相加，并将和信号传输给所有与该结点相连的输出支路。7.1 信号流图如：x

4、4= ax1+bx2+dx5 x3= cx4 x6= ex4（3）混合结点可通过增加一个增益为1的出支路而变为汇点。 4、方框图流图 注意：加法器前引入增益为1的支路。 7.1 信号流图5、流图简化的基本规则： （1）支路串联：支路增益相乘。 X2=H2X3=H2H1X1（2）支路并联：支路增益相加。 X2=H1X1+H2X1 =(H1+H2) X17.1 信号流图（3）混联： X4=H3X3=H3(H1X1+ H2X2)= H1H3X1 + H2H3X27.1 信号流图（4）自环的消除： X3=H1X1+H2X2+ H3X3所有来向支路除以1 H37.1 信号流图（1）将串联支路合并从而减少

5、结点；（2）将并联支路合并从而减少支路；（3）消除自环。 反复运用以上步骤，可将复杂的信号流图简化为只有一个源点和一个汇点的信号流图，从而求得系统函数。6.信号流图化简步骤7.1 信号流图例1：化简下列流图。注意化简具体过程可能不同，但最终结果一定相同。 解：消x3消x2消x4消自环7.1 信号流图二、梅森公式 所有不同回路的增益之和； 所有两两不接触回路的增益乘积之和； 所有三三不接触回路的增益乘积之和; i 表示由源点到汇点的第i条前向通路的标号； Pi 是由源点到汇点的第i条前向通路增益； i 称为第i条前向通路特征行列式的余因子 。消去接触回路 信号流图的特征行列式7.1 信号流图例2

6、: 求下列信号流图的系统函数。 解： （1）首先找出所有回路： L1=H3G L2=2H1H2H3H5 L3=H1H4H5 （2）求特征行列式 =1-（H3G+2H1H2H3H5+ H1H4H5）+ H3G H1H4H5（4）求各前向通路的余因子：1 =1 ， 2 =1-GH3 （3）找出所有的前向通路： p1=2H1H2H3 p2=H1H4 7.1 信号流图例3：某LTI连续因果系统的信号流图如下，求（1）系统函数；（2）列写出系统的微分方程；（3）判断该系统是否稳定。7.1 信号流图系统稳定例4：某LTI连续因果系统的信号流图如下，求其系统函数。7.1 信号流图例5：某LTI离散因果系统的

7、信号流图如下，求（1）系统函数；（2）列写出系统的差分方程；（3）判断该系统是否稳定。7.1 信号流图例6：如图所示 （1）求系统函数； （2）求单位序列响应和阶跃响应； （3）列写该系统的输入输出差分方程。7.1 信号流图Mason公式是由流图 H(s)或H(z) 下面讨论，由H(s)或H(z) 流图或方框图 三、系统的模拟 对于同一系统函数，通过不同的运算，可以得到多种形式的实现方案，常用的有直接形式、级联和并联形式等。7.1 信号流图1、直接实现-利用Mason公式来实现 设二阶系统的系统函数将上式分子、分母乘以s-2,上式可写为7.1 信号流图例7： 某连续系统的系统函数为 用直接形式

8、模拟系统。解： 将H(s)改写为根据梅森公式，可画出上式的信号流图如下图。7.1 信号流图7.1 信号流图2、级联实现将H分解为若干简单（一阶或二阶子系统）的系统函数的乘积，即一、二阶子系统函数 7.1 信号流图将H分解为几个较简单的子系统之和，即把H展开成部分分式，将每个分式分别进行模拟，然后将它们并联起来。 3、并联实现7.1 信号流图其函数形式分别为 一阶和二阶子系统的信号流图和相应的框图如图所示：7.1 信号流图例8： 某连续系统的系统函数分别用级联和并联形式模拟系统。解：（1）级联实现 首先将H(s)的分子、分母多项式分解为一次因式与二次因式的乘积。于是7.1 信号流图7.1 信号流

9、图（2）并联实现 将系统函数展开为部分分式令7.1 信号流图画出H1(s)和H2(s)的信号流图，将二者并联即得H(s)的信号流图7.1 信号流图一、状态与状态变量的概念从一个电路系统实例引入以u(t)和iC(t)为输出 若还想了解内部三个变量uC(t), iL1(t), iL2(t)的变化情况。a7.2 状态变量与变量方程 这是由三个内部变量uC(t)、iL1(t)和iL2(t)构成的一阶微分方程组。 若初始值uC(t0)、iL1(t0)和iL2(t0)已知，则根据tt0时的给定激励uS1(t)和uS2(t)就可惟一地确定在tt0时的解uC(t)、iL1(t)和iL2(t)。 系统的输出容易

10、地由三个内部变量和激励求出：一组代数方程 7.2 状态变量与变量方程状态与状态变量的定义 某一时刻t0的状态是指表示该系统所必需最少的一组数值。状态变量是描述状态随时间t 变化的一组变量。 对n阶动态系统需有n个独立的状态变量，通常用x1(t)、x2(t)、xn(t)表示。 说明（1）系统中任何响应均可表示成状态变量及输入的线性组合；（2）状态变量应线性独立；（3）状态变量的选择并不是唯一的 。在初始时刻的值称为初始状态。7.2 状态变量与变量方程二、状态方程和输出方程在选定状态变量的情况下 ，用状态变量分析系统时，一般分两步进行：（1）根据系统的初始状态求出状态变量； （2）用这些状态变量来

11、确定初始时刻以后的系统输出。 状态变量是通过求解由状态变量构成的一阶微分方程组来得到，该一阶微分方程组称为状态方程。 状态方程描述了状态变量的一阶导数与状态变量和激励之间的关系 。 描述输出与状态变量和激励之间关系的一组代数方程称为输出方程 。通常将状态方程和输出方程总称为动态方程或系统方程。 7.2 状态变量与变量方程对于一般的n阶多输入-多输出LTI连续系统，如图 。其状态方程和输出方程为： 7.2 状态变量与变量方程写成矩阵形式：状态方程输出方程其中A为nn方阵，称为系统矩阵，B为np矩阵，称为控制矩阵，C为qn矩阵，称为输出矩阵，D为qp矩阵 对离散系统，类似状态方程输出方程状态变量分

12、析的关键在于状态变量的选取以及状态方程的建立。7.2 状态变量与变量方程一、由电路图直接建立状态方程 首先选择状态变量 。通常选电容电压和电感电流为状态变量。 必须保证所选状态变量为独立的电容电压和独立的电感电流。 四种非独立的电路结构7.3 连续系统状态方程的建立和求解由电路图直接列写状态方程和输出方程的步骤： （1）选电路中所有独立的电容电压和电感电流作为状态变量；（2）对接有所选电容的独立结点列出KCL电流方程，对含有所选电感的独立回路列写KVL电压方程；（3）若上一步所列的方程中含有除激励以外的非状态变量，则利用适当的KCL、KVL方程将它们消去，然后整理给出标准的状态方程形式；（4）

13、用观察法由电路或前面已推导出的一些关系直接列写输出方程，并整理成标准形式。 7.3 连续系统状态方程的建立和求解例1：电路如图，以电阻R1上的电压uR1和电阻R2上的电流iR2为输出，列写电路的状态方程和输出方程。 解： 选状态变量x1(t) = iL(t), x2(t) = uC(t) L 1(t)+R1x1(t)+x2(t) = uS1(t) aC 2(t) + iR2(t) = x1(t) 消去 iR2(t)，列右网孔KVL方程： R2iR2(t) + uS2(t) - x2(t) = 0 代入整理得状态方程：7.3 连续系统状态方程的建立和求解输出方程：uR1(t) = R1x1(t)

14、 R2iR2(t) + uS2(t) - x2(t) = 0 7.3 连续系统状态方程的建立和求解二、由输入-输出方程建立状态方程 这里需要解决的问题是： 已知系统的外部描述（输入-输出方程、系统函数、模拟框图、信号流图等）；如何写出其状态方程及输出方程。具体方法：（1）由系统的输入-输出方程或系统函数，首先画出其信号流 图或框图；（2）选一阶子系统(积分器）的输出作为状态变量；（3）根据每个一阶子系统的输入输出关系列状态方程；（4）在系统的输出端列输出方程。7.3 连续系统状态方程的建立和求解例2： 某系统的微分方程为 y(t) + 3 y (t) + 2y(t) = 2 f (t) +8

15、f (t)试求该系统的状态方程和输出方程。解：由微分方程写出其系统函数 方法一：画出直接形式的信号流图设状态变量x1(t)、 x2(t)x1x2由后一个积分器，有由前一个积分器，有系统输出端，有 y(t) =8 x1+2 x27.3 连续系统状态方程的建立和求解方法二：画出级联形式的信号流图设状态变量x1(t)、 x2(t)x2x1设中间变量 y1(t)y1系统输出端，有 y(t) =2 x27.3 连续系统状态方程的建立和求解方法三：画出并联形式的信号流图f(t)y(t)设状态变量x1(t)、 x2(t)x1x2系统输出端，有 y(t) = 6x1 -4 x2可见H(s)相同的系统，状态变量

16、的选择并不唯一。7.3 连续系统状态方程的建立和求解例3：某LTI连续因果系统的信号流图如下，列写出系统矩阵形式的状态方程和输出方程。7.3 连续系统状态方程的建立和求解例4： 某系统框图如图，状态变量如图标示，试列出其状态方程和输出方程。解： 对三个一阶系统其中， y2= f - x3输出方程 y1(t) = x2y2(t) = -x3 + f7.3 连续系统状态方程的建立和求解三、由状态方程列输入-输出方程例5： 已知某系统的动态方程如下，列出描述y(t)与f(t)之间的微分方程。解法一： 由输出方程得y(t)=x1(t)y (t)=x1(t) = 4 x1(t) + x2(t)+ f(t

17、)y(t)= 4 x1(t) + x2(t)+ f (t)= 44 x1(t) + x2(t)+ f (t) + 3 x1(t) + f (t) + f (t)= 13 x1(t) 4x2(t) 3 f (t) + f (t)y+a y + by=(13 4a +b) x1+(4+a) x2+ f (t) +(a3) f (t) a=4，b=3y+4 y + 3y= f (t) + f (t) 7.3 连续系统状态方程的建立和求解解法二： 对方程取拉氏变换，零状态。7.3 连续系统状态方程的建立和求解7.3 连续系统状态方程的建立和求解四、用拉普拉斯变换法求解状态方程状态方程和输出方程的一般形

18、式为 sX(s) -x(0-) = A X(s) + BF(s) ( sI -A )X(s) = x(0-) +BF(s) X(s)=(sI -A )-1x(0-) +(sI -A )-1BF(s)=(s)x(0-) +(s)BF(s) 式中(s) = ( sI -A )-1常称为预解矩阵 。Y(s) = CX(s) +DF(s)Yzi(s) = C(s)x(0-) Yzs(s) = C(s)B +D F(s) H(s) = C(s)B +D (s)的极点就是H(s)的极点。即| sI-A|=0的根。=C(s)x(0-) + C(s)B +D F(s)7.3 连续系统状态方程的建立和求解例6：

19、 描述LTI因果系统的状态方程和输出方程为 起始状态x1(0-)=3，x2(0-)=2，输入f(t) =(t)。求状态变量和输出。并判断该系统是否稳定。7.3 连续系统状态方程的建立和求解解：X(s) = (s)x(0-) +BF(s) 7.3 连续系统状态方程的建立和求解y(t) = 1 1x(t) + f(t) =(t)+ 6e-2t(t) 由于H(s)的极点均在左半平面，故该因果系统稳定。H(s)的极点就是|sI-A|=0的根。 |sI-A|=(s+2)(s+3)7.3 连续系统状态方程的建立和求解与连续系统类似，具体方法为：（1）由系统的输入-输出方程或系统函数，首先画出其信号流图或框图；（2）选一阶子系统(迟延器）的输出作为状态变量；（3）根据每个一阶子系统的输入输出关系列状态方程；（4）在系统的输出端列输出方程。7.4 离散系统状态方程的建立和求解例1：某离散系统的差分方程为 y(k) + 2y(k 1) y(k 2) =